Capítulo 40 Mais ondas de matéria

40.1 A estrutura dos átomos Inicio séc. XX estrutura átomo? 1926 física quântica Partículas = ondas de matéria Eq. de Schroedinger

40.2 Ondas em cordas e ondas de matéria Confinamento Þ quantização Estados discretos Energias discretas “O confinamento de uma onda leva à quantização, ou seja, à existência de estados discretos com energias discretas. A onda pode ter apenas uma destas energias.”

40.3 Energia de um elétron confinado Ondas em cordas:

Armadilhas unidimensionais V ® -¥ V=0 V ® -¥ x L x = 0 x = L x U(x) L

Cálculo das energias quantizadas De Broglie (onda de matéria) 3o. Estado excitado 2o. Estado excitado 1o. Estado excitado Estado fundamental L=0.39 nm Poço de potencial infinito

Mudanças de energia E E4 Emissão ou absorção de fótons: E3 E2 E1

Verificação Coloque em ordem os seguintes pares de estados quânticos de um elétron confinado a um poço unidimensional infinito de acordo com as diferenças de energia entre os estados, começando pela maior: (a) n = 3 e n = 1; (b) n = 5 e n = 4; (c) n = 4 e n = 3.

(a) (b) (c) Portanto (b) > (a) > (c)

Exercícios e Problemas 11P. Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional de 250 pm de largura e se encontra no estado fundamental. Quais são os quatro maiores comprimentos de onda que podem ser absorvidos pelo elétron de uma só vez?

E E5 E4 E3 E2 E1

40.4 Funções de onda de um elétron aprisionado Resolvendo eq. de Schroedinger: para

Probabilidade de detecção Probabilidade p(x) de detecção no intervalo dx com centro em x Densidade de probabilidade y2n(x) no ponto x (Intervalo dx ) = Probabilidade de detecção entre x1 e x2 =

Princípio da correspondência “Para grandes valores dos números quânticos, os resultados da física quântica tendem para os resultados da física clássica.”

Verificação A figura abaixo mostra três poços infinitos de potencial de largura L, 2L e 3L; cada poço contém um elétron no estado n=10. Coloque os poços na ordem (a) do número máximo de máximos da densidade de probabilidade do elétron, começando pelo maior; (b) na ordem das energias do elétron, começando pela maior. L 2L 3L

Normalização Partícula em algum lugar do espaço, logo: Ex.:

Energia de ponto zero Menor valor para n é 1, portanto menor energia é: “Em sistemas confinados não existem estados de energia zero.”

Verificação As partículas a seguir estão confinadas em poços de potencial infinitos de mesma largura: (a) um elétron, (b) um próton, (c) um deuteron e (d) uma partícula alfa. Coloque as partículas na ordem das energias de ponto zero, começando pela maior.

40.5 Um elétron em um poço finito Poço infinito = idealização Poço finito = mais realista U U(x) U0 x L Equação de Schrödinger:

E (eV) 450 E3=280 eV E2=109 eV E1=24 eV U0 = 450 eV L = 100 pm L 450 Alto do poço Não-quantizada U0 = 450 eV L = 100 pm n=3 n=2 n=1 x (pm) 100

Exercícios e Problemas 19E. Um elétron no estado n = 2 do poço de potencial finito da Fig. 40.7 absorve uma energia de 400 eV de uma fonte externa. Qual é a energia cinética do elétron após esta absorção, supondo que o elétron seja transferido para uma posição onde x > L? x U0 L U U(x) U0 = 450 eV L = 100 pm

E (eV) 450 E3=280 eV E2=109 eV E1=24 eV U0 = 450 eV L = 100 pm 450 Alto do poço Não-quantizada U0 = 450 eV L = 100 pm

40.6 Outras armadilhas para elétrons Nanocristalitos CdSe

Pontos quânticos Auto-organizados

Pontos quânticos

Pontos quânticos Estruturados

Currais quânticos Átomos de Fe sobre cobre

40.7 Armadilhas eletrônicas bidimensionais e tridimensionais

Curral retangular (2D) x y z Ly Lx curral

Verificação Na notação da equação abaixo, a energia do estado fundamental do elétron em uma caixa retangular é E0,0 ; E1,0 ; E0,1 ou E1,1? nx, ny = 1, 2, 3, …

Caixa retangular (3D) x y z Ly Lx Lz

Exercícios e Problemas 26P. Um curral retangular de larguras Lx=L e Ly=2L contém um elétron. Determine, em múltiplos de h2/8mL2, onde m é a massa do elétron, (a) a energia do estado fundamental do elétron, (b) a energia do primeiro estado excitado, (c) a energia dos primeiros estados degenerados e (d) a diferença entre as energias do segundo e do terceiro estado excitado.

(a) (b)

(c) (d)

40.8 O átomo de hidrogênio e- p+

Energias dos estados do átomo de hidrogênio Distância radial (Å) Energia (eV)

A teoria de Bohr do átomo de hidrogênio

Números quânticos do átomo de hidrogênio Módulo do momento angular orbital Orientação no espaço do momento angular orbital

Verificação (a) Um grupo de estados quânticos do átomo de hidrogênio tem n = 5. Quantos valores de l são possíveis para os estados do grupo? (b) Um subgrupo de estados do átomo de hidrogênio dentro do grupo n = 5 tem l = 3. Quantos valores de ml são possíveis para os estados deste subgrupo?

A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio a é o raio de Bohr:

Densidade de probabilidade radial, estado fundamental

Estados do átomo de hidrogênio com n = 2

Estados do átomo de hidrogênio com n = 2

Estados do átomo de hidrogênio com n = 3

Estados do átomo de hidrogênio com n = 3

Estados do átomo de hidrogênio com n = 3

Exercícios e Problemas 43P. Um fóton com um comprimento de onda de 486,1 nm é emitido por um átomo de hidrogênio. (a) Que transição do átomo é responsável por esta emissão? (b) A que série pertence esta transição?

Série de Lyman Série de Balmer

Perguntas 1. Quando multiplicamos por 2 a largura de um poço de potencial infinito unidimensional, (a) a energia do estado fundamental do elétron confinado é multiplicada por que número? (b) As energias dos outros estados são multiplicadas por este número ou por algum outro, que depende do número quântico?

Perguntas 2. Três elétrons são aprisionados em três diferentes poços de potencial infinitos unidimensionais de largura (a) 50 pm, (b) 200 pm e (c) 100 pm. Coloque os elétrons na ordem das energias dos estados fundamentais, começando pela maior?

Perguntas 3. Se o leitor quisesse usar a armadilha idealizada da figura abaixo para capturar um pósitron, teria que mudar (a) a geometria da armadilha, (b) o potencial elétrico do cilindro do meio ou (c) os potenciais elétricos dos cilindros das extremidades? (O pósitron é uma partícula de carga positiva com a mesma massa que o elétron). V ® -¥ V=0 V ® -¥ L x = 0 x = L

Perguntas 4. Um elétron confinado em um poço de potencial infinito unidimensional se encontra no estado n = 17. Quantos pontos de (a) probabilidade zero e (b) probabilidade máxima; possui a onda de matéria associada ao elétron?