Estados de tensão e de deformação Capítulo 7 Estados de tensão e de deformação

Transformação de tensão para o estado plano

Tensões num plano qualquer 

Tensões de cisalhamento nulas Tensões principais Máxima/mínima  Raízes/planos Defasagem de 90o entre os planos Tensões principais Tensões de cisalhamento nulas

Tensões principais 1 y x xy yx 1 2 Tensões principais

Tensões de cisalhamento máxima e mínima Máxima/mínima  Raízes/planos A defasagem entre os planos é de 45o Tensões de cisalhamento máxima/mínima

Tensões de cisalhamento máxima e mínima Tensões normais associadas y x xy yx  máx mín 2 Tensões de cisalhamento máxima e mínima

Tensões principais e de cisalhamento máxima e mínima Defasagem entre os planos 1, 2, máx e mín

Determinar  e  para  = -22º 30’. Exemplo Determinar  e  para  = -22º 30’. Determinar as tensões principais e mostrar seu sentido num elemento adequadamente orientado. Determinar as tensões de cisalhamento máxima e mínima e respectivas tensões normais, e representar os resultados em um elemento convenientemente orientado.

Exemplo: solução a) b)

Exemplo: solução

Exemplo: solução c)

Círculo de Mohr para o estado plano de tensão Os pares (x,’xý) formam uma circunferência: Centro Raio

Círculo de Mohr para o estado plano de tensão (x,xy) e (y, yx) 1 e 2 1 e 2 máx e mín Invariante:

Círculo de Mohr para o estado triplo de tensão Tensões principais: Tensões de cisalhamento máxima e mínima:

Círculo de Mohr para o estado uniaxial de tensão y   1 máx 2 Compressão   1 máx 2 Tração

Círculo de Mohr para o estado de tensão de cisalhamento puro xy yx xy x y   1 máx 2

Estado plano de deformação

Deformações principais Máxima/mínima  Raízes/direções Defasagem de 90o entre as direções Deformações principais Distorções nulas

Deformações principais 1 y x xy 'yx 1  2 Deformações principais

Distorções máxima e mínima Máxima/mínima  Raízes/direções A defasagem entre as direções é de 45o Distorções máxima/mínima

Distorções máxima e mínima Deformações associadas y  x  xy yx  máx mín 2 Distorções máxima e mínima

Deformações principais e distorções máxima e mínima Defasagem entre as direções 1,  2, máx e mín  máx mín 1  2

Círculo de Mohr para o estado plano de deformação Os pares (x,’xý) formam uma circunferência: Centro Raio

Círculo de Mohr para o estado plano de deformação (x, xy) e ( y, yx)  1 e  2 1 e 2  máx e  mín Invariante:

Extensômetro Disposição delta 0o 120o 60o 45o 90o Delta Retangular x y Medidas de deformação Extensômetro Disposição delta 0o 120o 60o 45o 90o Delta Retangular x y

Disposição retangular Medidas de deformação Disposição retangular

Relações entre os estados planos de deformação e tensão As direções principais de deformação e de tensão coincidem, pois: Relação entre deformações e tensões principais (Lei de Hooke):

Para um material isotrópico: Relação entre E, G e  Para um material isotrópico:

Exemplo Em um certo ponto de uma peça de aço, as medidas feitas através de “strain-gages” dispostos retangularmente indicaram 0=-0,0005, 45=0,0002 e 90=0,0003. Admitindo que E=200 GPa e = 0,3, determine as tensões principais no ponto considerado.

Determinação de x, y e xy: Solução Determinação de x, y e xy: Deformações principais:

Solução Tensões principais: Direções principais: