Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis André Lacerda Biurrum Jaqueline Maschmann Goes MAT PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 2

FATORIAL FRACIONÁRIO Definição : Experimento que consiste apenas parte das combinações de tratamentos de uma repetição completa. Principal uso: experimentos pilotos (screening experiments) são experimentos, nos quais, usamos muitos fatores, com o propósito de identificar aqueles com efeito significativo. Geralmente são realizados numa etapa anterior ao experimento definitivo. Os fatores identificados com efeito significativo, são estudados num experimento mais completo.

Características: Os experimentos fatoriais fracionários caracterizam-se como experimentos preliminares (screening experiments) trabalhando com as seguintes idéias: (1) Princípio do Efeito Escasso (sparsity effect), onde os efeitos principais e as interações de baixa ordem são de interresse inicial, (2) Propriedade de Projeção e (3) Experimentação Seqüencial. FATORIAL FRACIONÁRIO

IDÉIAS BÁSICAS: 1) Quando existem muitas variáveis, o processo ou o sistema é conduzido por alguns poucos efeitos principais e interações de menor ordem; 2) A partir dos experimentos fatoriais fracionários podemos projetar experimentos mais completos (maiores) dentro de um subconjunto de fatores significativos; 3) Pode-se combinar dois ou mais experimentos fracionários, seqüencialmente e, assim, estimar os efeitos e interações de interesse.

CARACTERIZAÇÃO Fração 1/2 de um delineamento 2 k Vamos considerar didaticamente um experimento fatorial: 2 3 =8 tratamentos. Porém, só podemos realizar 4 tratamentos, assim, temos: A tabela com sinais de + e - para o fatorial 2 3 é dada na tabela a seguir: 2 k-p onde k=3 e p=1

CONTRASTE DE DEFINIÇÃO Podemos escolher os tratamentos a, b,c, abc, para o nosso experimento. Observe que o nosso fatorial fracionário 2 3-1, é formado pelos tratamentos com sinal + para a coluna ABC. Então, ABC é chamado de GERADOR da fração. Observe que, para a fração escolhida, temos: I=ABC denominada de CONTRASTE DE DEFINIÇÃO. Em geral, o contraste de definição, sempre será o conjunto de todas as colunas que são iguais a coluna identidade I. No exemplo, temos uma só coluna.

ESTIMATIVAS DOS EFEITOS Observando-se a tabela de sinais (+ e -), as combinações lineares para estimar os efeitos principais de A, B e C, são: Observamos, também, que as combinações lineares para estimar os efeitos das interações com dois fatores são: Observamos, que: A redução do tamanho do experimento, de grande vantagem em muitas situações, não poderá ser levada a efeito impunemente. Os resultados de um experimento em repetição fracionada exigem, para sua interpretação, cuidados de outra ordem que os encontrados nos delineamentos com repetições completas.

ESTRUTURA DOS ALIASES A estrutura dos aliases pode ser encontrada usando a relação de definição I=ABC. Multiplicando qualquer coluna pela relação de definição, obtemos os aliases para aquele efeito. No exemplo, o aliás do efeito A é: A.I=A.ABC=A 2 BC=A 0 BC=BC A=BC De forma similar, encontramos: B.I=B.ABC=AB 2 C=AB 0 C=AC B=AC e C.I=C.ABC=ABC 2 =ABC 0 =AB C=AB

CONSEQÜÊNCIAS A conseqüência do uso de uma meia repetição apenas é a perda de um efeito fatorial, ABC, e o confundimento de todos os efeitos principais como uma das interações simples. Se um experimento acusar um aparente efeito de A, não há maneira de saber se o observado é realmente do fator A, ou se é devido à interação BC, ou se é mistura de ambos. Na interpretação dos resultados cabe ao experimentador decidir a qual aliás atribuir o efeito observado.

OBSERVAÇÕES Aliases são efeitos fatoriais estimados pela mesma comparação; É possível obter novas frações caso seja de interesse do pesquisador. Em uma segunda divisão deve-se obter outro contraste de definição; O contraste de definição é a interação de ordem mais elevada.

DELINEAMENTOS DE RESOLUÇÃO III: os efeitos principais tem como aliás as interações simples I= ABC IV: nenhum efeito principal tem como aliás outro efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás outra interação simples. I= ABCD V: os efeitos principais ou interação simples não tem como aliás qualquer efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás as interações tríplices. I= ABCDE VI: os efeitos principais têm como aliases as interações quíntuplas, as interações simples têm como aliases somente as interações quádruplas e as interações tríplices têm como aliases somente as interações tríplices. I= ABCDEF

Meia repetição do fatorial 2 4 : contraste de definição I=ABCD Causas de Variação GL Efeitos Principais4 Erro experimental (de interações simples) 3 Total 7

Meia repetição do fatorial 2 5 : contraste de definição I=ABCDE

Meia repetição do fatorial 2 6 : contraste de definição I=ABCDEF

EXEMPLO Exemplo: (Montgomery). Sobre a produção de um produto químico em um recipiente sob pressão. É um experimento fatorial 2 4, com uma repetição, onde os fatores são: A= Temperatura; B= Pressão; C= Concentração de formaldeído; D= Taxa de agitação. Vamos usar o delineamento 2 4-1, com contraste de definição I=ABCD, com esta escolha do gerador vamos conseguir um delineamento com a maior resolução possível (IV). O delineamento é mostrado na tabela a seguir.

RESULTADOS

Observamos, na tabela acima, os seguintes efeitos significativos: A, C, D, AC e AD. Como o fator B, não é significativo, vamos desconsiderá-lo da análise. Pode-se verificar o efeito das interações na figura abaixo. Temperatura (A) - + Agitação - + Concentração (C) (D)

Para o exemplo acima o experimentador utilizou-se da Propriedade de Projeção (2) que está apoiada na idéia de que se o experimentador tem K fatores e acredita que apenas K-1 destes têm efeito importante, então, um delineamento fatorial fracionário de resolução K projetar-se-á em um fatorial completo com K-1 fatores significativos. Assim, para uma projeção do delineamento, o experimentador considerou os efeitos A, C e D, bem como as interações AC e AD como significativos. RESULTADOS

ANOVA

GRÁFICO DOS EFEITOS PRINCIPAIS

GRÁFICO DAS INTERAÇÕES SIMPLES

Fração 1/4 de um delineamento 2 k Estes experimentos contém 2 k-2 =2 k 2 -2 =2 k /2 2 =2 k /4 tratamentos. São chamados de fatoriais fracionários 2 k-2. Construção: vamos através de um exemplo ilustrar a construção desses fatoriais fracionários.

Vamos considerar um fatorial fracionário ) Inicialmente, vamos escrever um fatorial completo com k-2 fatores, no exemplo, 6-2=4 (ver tabela na próxima página). 2) Adicionar duas colunas, com escolha apropriada de interações com os primeiros k-2 fatores. Assim os fracionários 2 k-2, tem dois geradores. Suponha que escolhemos I=ACDF e I=BCDE como geradores. A interação dos geradores ACDF e BCDE é ABEF; portanto, o contraste de definição completo é dado por: I=ACDF=BCDE=ABEF, sendo um delineamento de resolução IV. Fração 1/4 de um delineamento 2 k

Os aliases, para qualquer efeito, é obtido multiplicando-se este fator por cada letra do contraste de definição. Por exemplo, para o efeito A, temos: A=CDF=ABCDE=BEF (cada fator tem 3 aliases).Os efeitos principais estão associados com interações de três e cinco fatores, ao passo que interações com dois fatores estão associados com interações de dois fatores ou mais. Portanto, quando estimamos A, na verdade estamos estimando, A+CDF+ABCDE+BEF. Se as interações triplas ou de maior ordem são desprezíveis, então este delineamento dá estimativas dos efeitos principais.

Fração 1/4 de um delineamento 2 k Exemplo usando fatorial 2 6-2, onde A=concentração de farelo de aveia; B=níveis de gordura; C=níveis de bromato de potássio; D=níveis de fermento; E= água; F=leite em pó. Vamos supor que o pesquisador usou as 16 combinações da tabela abaixo:

Fração 1/4 de um delineamento 2 k

I = A*B*E*F = A*C*D*F = B*C*D*E A = B*E*F = C*D*F = A*B*C*D*E B = A*E*F = C*D*E = A*B*C*D*F C = A*D*F = B*D*E = A*B*C*E*F D = A*C*F = B*C*E = A*B*D*E*F E = A*B*F = B*C*D = A*C*D*E*F F = A*B*E = A*C*D = B*C*D*E*F A*B = E*F = A*C*D*E = B*C*D*F A*C = D*F = A*B*D*E = B*C*E*F A*D = C*F = A*B*C*E = B*D*E*F A*E = B*F = A*B*C*D = C*D*E*F A*F = B*E = C*D = A*B*C*D*E*F B*C = D*E = A*B*D*F = A*C*E*F B*D = C*E = A*B*C*F = A*D*E*F A*B*C = D*E*F = B*D*F = A*E*F A*B*D = A*C*E = B*C*F = D*E*F

ANOVA * significativo a 0,05 ** significativo a 0,01

CONCLUSÃO Os maiores efeitos são: C (níveis de bromato de potássio); D (níveis de fermento) e a interação AF (Farelo de aveia*Leite em pó). Como a interação AF foi significativa, para manter o princípio da hierarquia, recomenda-se incluir no modelo os efeitos de A e de F.

Fatoriais fracionários 2 k-p Quando usamos a fração 1/(2 p ), temos um experimento com 2 k-p tratamentos e o experimento é denominado de fatorial fracionário 2 k-p. - Necessita-se de p geradores independentes - A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente selecionados e as 2 p -p-1 interações. A estrutura de aliases pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito pelo contraste de definição.

Fatoriais fracionários 2 k-p Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial fracionário 2 k-p, de tal forma que efeitos de interesse não estejam associados com outros também de interesse. Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o delineamento tenha a maior resolução possível. Montgomery, 1997, página , apresenta uma série de experimentos fatoriais fracionários 2 k-p para k 15fatores e até 128 tratamentos. Apresenta sugestões de geradores os quais resultam num delineamento de maior resolução possível.

PROCEDIMENTO NO MINITAB