BCC 101 – Matemática Discreta I 11/28/06 BCC 101 – Matemática Discreta I Indução / Recursão Indução Forte

Princípio de Prova por Indução Para provar ∀n≥a. P(n): Seja n arbitrário e suponha que P(k) é true, para todo inteiro a ≤ k < n. Prove que P (n) é true. Hipótese de Indução Indução n. (a ≤ k < n. P(k))  P(n) _____________________________{Ind} n. P(n) Indução BCC101 - Matemática Discreta - DECOM/UFOP

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/12/2017 Fibonacci Considere a sequência de números de Fibonacci, definida por: F0 = 0 F1 = 1 Fn+2 = Fn+1 + Fn Compare a sequência de Fibonacci com a sequência de potências de 2: {Fn } = 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 {2n } = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 Podemos conjecturar que Fn < 2n para todo nN. Como podemos provar isso?

Fibonacci – solução Prova. Caso Base: (precisamos considerar os dois seguintes casos (porque?)) n = 0: F0 = 0 < 1 = 20  n = 1: F1 = 1 < 2 = 21  Caso Indutivo: (queremos provar Fn < 2n) Temos: Fn = Fn-1 + Fn-2 < 2n-1 + 2n-2 pela hipótese de indução = 2·2n-2 + 2n-2 = (2+1)·2n-2 < 22·2n-2 = 2n Portanto, Fn< 2n 

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/12/2017 Mais erros em provas Teorema Falso: Todo número de Fibonacci é par Prova: A prova é por indução forte. No caso base, verificamos que P(0) é par, pois F0 é 0. No caso indutivo, para n0, supomos que F0,F1,…,Fn são pares e usamos a definição da sequência de Fibonacci para provar que Fn+1 = Fn-1 + Fn é par Onde está o erro nessa prova?

Prove que, para todo n≥0, Fn é par se e somente se n é múltiplo de 3. Fibonacci de novo Prove que, para todo n≥0, Fn é par se e somente se n é múltiplo de 3. Prova: Devemos considerar 3 casos: n=0: n é divisível por 3 e Fn é par n=1: n não é divisível por 3 e Fn não é par n≥2: existem 2 subcasos a considerar: - n é divisível por 3 - n não é divisível por 3

Fibonacci de novo (continuação) Prova (continuação): n≥2: n é divisível por 3: Então (n-1) e (n-2) não são divisíveis por 3 e, portanto, Fn-1 e Fn-2 são impares. Como Fn = Fn-1 + Fn-2 , temos que Fn é par. n não é divisível por 3: Então exatamente um dentre (n-1) e (n-2) é divisível por 3 e, portanto, exatamente um entre Fn-1 e Fn-2é par. Como Fn = Fn-1 + Fn-2 , temos que Fn é impar

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/12/2017 Fatores Primos Teorema: Todo nN, n>1, pode ser expresso como um produto de números primos. Prova: por indução sobre n Caso base (n=2): Trivial, já que 2 é primo e portanto pode ser expresso como um produto de primos consistindo apenas dele próprio. Caso indutivo: … próximo slide

Fatores Primos (continuação) Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/12/2017 Fatores Primos (continuação) Caso indutivo: Pela hipótese de indução temos que todo 1<j<n pode ser expresso como um produto de primos. Devemos mostrar que n pode ser expresso como um produto de primos. Existem dois possíveis casos a considerar: n é primo: Trivial n não é primo. Então existem nos. naturais a e b, tais que n = a.b e 1< a,b < n. Pela hipótese de indução a e b podem ser ambos expressos como produtos de primos. Portanto, n pode ser expresso como um produto de primos.

Cardinalidade do Conjunto Potência Prove que, para todo conjunto S, e todo número n N, se |S| = n então |P (S)| = 2n Prova: caso base: n=0: Então S=∅ e P(S) ={∅}, e temos que |P(S)| = 1 = 20. n=1: Então S={a}, para algum a, e P(S)={∅,{a}}, e temos que |P(S)| = 2 = 21.

Cardinalidade do Conjunto Potência (continuação) Prova: caso indutivo: Suponha que |P(S)| = 2|n|, para todo conjunto S tal que 1< |S| < n. Seja S tal que |S| = n > 1 e seja a ∈ S. Temos que |S-{a}|=n-1 e: P(S) = P(S-{a}) ∪ {X∪{a} | X ∈ P(S-{a})}. Então, |P(S)| = |P(S-{a})| + | {X∪{a} | X ∈ P(S-{a})}| = 2n-1 + 2n-1 pela H.I = 2n

Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/12/2017 Exercícios Considere a sequência: a1 = 0 a2 = 2 an = a n div 2 + 2, para n>2 Encontre os 5 primeiros termos da sequência Prove que an é par, para todo n≥1 b1 = 1 bn = 2 b n div 2, para n>2 Prove que bn ≤ n, para todo n≥1

Princípio de Indução não está convencido? Lecture 15 - CS 1813 Discrete Math, University of Oklahoma 4/12/2017 Princípio de Indução não está convencido? Axioma da Boa Ordem: Todo conjunto não vazio de números naturais possui um menor elemento. Todo conjunto X de números naturais é o conjunto de contra-exemplos de alguma proposição P(n) (especificamente, da proposição n ∉ X) Então, o Axioma da Boa Ordem pode ser reescrito como: Se a proposição P(n) é falsa para algum n  N, então a proposição (P(0) ∧ P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n − 1) ∧ ¬P(n)) é true para algum n  N. (1) Equivalentemente: Se uma proposição sobre números naturais tem um contra-exemplo, então ela tem um menor contra-exemplo.

Princípio de Indução não está convencido? O contrapositivo de (1) é: Se a proposição (P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n − 1) ∧ ¬P(n)) é falsa para todo n  N, então a proposição P(n) é true para todo n  N. Finalmente, podemos reescrever a primeira metade desta proposição na forma equivalente a seguir, substituindo ¬(p∧¬q) por p → q. Se (P(1) ∧ P(2) ∧ · · · ∧ P(n − 1)) → P(n) é true para todo n  N, então a proposição P(n) é true para todo n  N (Axioma de Indução)