Universidade do Estado de Santa Catarina – CCT/UDESC INTRODUÇÃO A LÓGICA THOBER CORADI DETOFENO, MSC. Aula 04 JOINVILLE 2013

História da Lógica PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) A história da Lógica tem início com o filósofo grego ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da Ciência. Após sua descoberta, ela permaneceu praticamente intacta por mais de dois mil anos, sendo retocada em detalhes de pouca importância. E. Kant chegou mesmo a asseverar que a ciência descoberta pelo Estagirita se constituía numa ciência acabada: a lógica não havia dado nenhum passo para diante e nenhum para trás. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX .

História da Lógica PERÍODO BOOLEANO (± 1840 a ± 1910) Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE MORGAN (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra da lógica, respectivamente com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC. GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu. GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da matemática se deve a essa escola italiana.

História da Lógica PERÍODO ATUAL (1910 - ...) Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA. DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes contribuições. Surgem as Lógicas não-clássicas: N.C.A. DA COSTA com as lógicas paraconsistentes , L. A. ZADEH com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas lógicas para a Informática, no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas Especialistas. Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam muitas áreas do conhecimento.

O que é Lógica? Observemos que o público não especialista costuma empregar o termo “lógica” em várias acepções: por exemplo, costumamos ouvir expressões como “a lógica do amor”, “a lógica do técnico de futebol”, “a lógica do presidente”, e assim por diante. Uma definição popular de lógica é: Lógica é o estudo das inferências (raciocínios) válidos. Tal definição não está incorreta, porém, ela não é adequada se observarmos o que a Lógica é modernamente. Por exemplo, a Lógica de Fuzzy, um ramo importante da Lógica atualmente, dificilmente se enquadraria nessa definição. Outra definição que encontramos em algumas obras de Lógica é a seguinte: Lógica é o estudo do raciocínio feito pelos matemáticos... Uma definição que nos parece mais adequada: Lógica é o que os lógicos cultivam ou o que está nos tratados de Lógica. Não existe uma definição satisfatória de Lógica. Tal questão pertence à Filosofia que trata, entre outras coisas, de temas que não possuem resposta cabal.

Conceito de Lógica Para Aristóteles, a Lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, um instrumento para todas as ciências. A Lógica Matemática lida com a formalização e a análise de tipos de argumentação utilizados na Matemática. Parte do problema com a formalização da argumentação matemática é a necessidade de se especificar de maneira precisa uma linguagem matemática formal. Linguagens naturais (Português ou Inglês) não servem para este propósito: elas são muito complexas e estão em constante modificação, além de serem ambíguas. Por outro lado, linguagens de programação, que são rigidamente definidas, são muito mais simples e menos flexíveis que as linguagens naturais. Diante disso, a Lógica tenta justamente combinar os benefícios das duas anteriores.

O homem olhava a foto de seu pai. Exercício de Lógica 1. Lógica matemática: Qual a lógica da seqüência dos números e quem é x? 2,4,4,6,5,4,4,4,4, x ? 2,10,12,16,17,18,19, x ? 1,11,21,1211,111221, x ? 2. Charadas: lógica filosófica. Um homem olhava uma foto, e alguém lhe perguntou: “De quem é essa foto? Ao que ele respondeu: “Não tenho irmãos nem irmãs, mas o filho deste homem é filho de meu pai. De quem é esta foto? 2,4,4, 6,5, 4,4,4, 4,x 10 11 12 13  x = 9 x = 200 x = 312211 O homem olhava a foto de seu pai.

Teste de Lógica 1. Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um dos guardas sempre fala a verdade, e o outro sempre mente e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade. Que pergunta você faria? Pergunte a qualquer um deles: Qual a porta que o seu companheiro apontaria como sendo a porta da liberdade? Explicação: O mentiroso apontaria a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro (o sincero) diria que é a porta da liberdade. E o sincero, sabendo que seu companheiro sempre mente, diria que ele apontaria a porta da morte como sendo a porta da liberdade. Conclusão: Os dois apontariam a porta da morte como sendo a porta que o seu companheiro diria ser a porta da liberdade. Portanto, é só seguir pela outra porta.

Teste de Lógica 2. Você é prisioneiro de uma tribo indígena que conhece todos os segredos do Universo e portanto sabem de tudo. Você está para receber sua sentença de morte. O cacique o desafia: "Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar for mentira você morrerá na fogueira, se falar uma verdade você será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação como verdade ou mentira, nós te libertaremos. O que você diria? Afirme que você morrerá na fogueira. Explicação: Se você realmente morrer na fogueira, isto é uma verdade, então você deveria morrer afogado, mas se você for afogado a afirmação seria uma mentira, e você teria que morrer na fogueira. Conclusão: Mesmo que eles pudessem prever o futuro, cairiam neste impasse e você seria libertado.

Teste de Lógica 3. Epiménides era um grego da cidade de Minos. Dizem que ele tem a fama de mentir muito. Certa vez, o mesmo citou esta passagem: Era uma vez um bode que disse: - Quando a mentira nunca é desvendada, quem está mentindo sou eu. Em seguida o leão disse: - Se o bode for um mentiroso, o que o dragão diz também é mentira. Por fim o dragão disse: - Quem for capaz de desvendar a minha mentira, então, ele estará dizendo a verdade. Qual deles está mentindo? Este teste é mais conhecido como paradoxo de Epiménides! Ao tentar responder ao enigma, encontram-se informações que se ligam umas às outras e acabam não levando a resposta alguma. Esse enigma pode ser denominado como Paradoxo do mentiroso. Veja o exemplo de um paradoxo simples e interessante: A afirmação abaixo é verdadeira. A afirmação acima é falsa.

Paradoxo do Cartão Proposto pelo matemático britânico P. Jourdain, em 1913: suponha- se que numa das faces de um cartão esteja escrita a frase Pergunta-se, a sentença escrita em cada um dos lados do cartão é verdadeira ou falsa ? E a resposta é que cada uma das sentenças é verdadeira se, e somente se, for falsa.

Cálculo Proposicional O cálculo proposicional é o estudo da linguagem proposicional. Ela estuda basicamente cinco símbolos:

Cálculo Proposicional As sentenças abaixo são as ditas sentenças declarativas. Tais sentenças são sentenças, como o próprio nome diz, que declaram (afirmam) algo. Portanto, o que afirmam é passível de ser considerada ou como verdadeira, ou como falsa. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 1. Exemplos de sentenças declarativas. 1. A neve é branca. (verdadeira) 2. 2 + 2 = 5 (falsa) 3. Há cinco milhões de grãos de areia na lua. (ninguém contou os grãos; mas sabemos ou que é verdade, ou que é falsa (provavelmente falsa)). Daqui em diante, toda sentença (declarativa) que trabalharmos é ou verdadeira ou falsa, mas nunca ambas simultaneamente. Daí a lógica clássica ser chamada de lógica bivalente. Existem várias notações para designarmos os valores-verdade ou valores- lógicos das sentenças. Adotaremos neste texto a notação booleana: “1” designa o valor-verdade “verdadeiro” “0” designa o valor-verdade “falso”

Cálculo Propocisional Negação (Ø) Dada a proposição A podemos considerar a proposição (ØA) denominada a negação de A. Como a proposição A ou é verdadeira ou falsa, a tabela-verdade da negação toma então a seguinte forma: Tabela-verdade da negação. A proposição A é verdadeira se e somente se sua negação (ØA) é falsa. 1. Seja A º (2 + 2 = 4) (no caso, verdadeira). Então ( ØA) º ( Ø(2 + 2 = 4)) constitui uma sentença falsa. Na aritmética comum, costuma-se escrever a última expressão como 2 + 2 ¹ 4. 2.Seja B º (2 Î {1, 3, 5}) (no caso, falsa). Logo, (ØB) º ( Ø(2 Î {1, 3, 5}) constitui uma sentença verdadeira. Na linguagem da Teoria dos Conjuntos (ver [Abe & Papavero, 92]), a última expressão é usualmente escrita como 2 Ï {1, 3, 5}.

Cálculo Propocisional Conjunção (Ù) Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A Ù B), a conjunção de A e B. A veracidade ou falsidade da proposição (A Ù B) depende da veracidade ou falsidade da proposição A e da proposição B. Logo, a tabela-verdade de (A Ù B) possui quatro possibilidades de valores-verdade para A e B. 1. A é verdadeira e B também é verdadeira. 2. A é verdadeira e B é falsa. 3. A é falsa e B é verdadeira. 4. A é falsa e B também é falsa. Postulamos que a proposição (A Ù B) é verdadeira se e somente se ambas as proposições A e B são verdadeiras. A proposição (A Ù B) é falsa se e somente se uma das proposições A ou B for falsa.

Cálculo Propocisional Conjunção (Ù) Tabela-verdade da conjunção: Exemplo: Observação. Convém frisar algumas diferenças entre os conectivos Ù (lógico) e “e” (da língua portuguesa). Na linguagem proposicional, se A e B são fórmulas, então (A Ù B) e (B Ù A) são logicamente equivalentes. Com efeito, vejamos os exemplos seguintes: a) (2 + 2 = 4 Ù 1 £ 2) e b) (1 £ 2 Ù 2 + 2 = 4) possuem o mesmo significado.

Cálculo Propocisional Disjunção (Ú) Postulamos que a proposição (A Ú B) é verdadeira se e somente se uma das proposições (ou ambas) A ou B são verdadeiras. A proposição (A Ú B) é falsa se e somente se quando ambas proposições A e B for falsa. Exemplo:

Cálculo Propocisional Disjunção Exclusiva( ) Na linguagem natural, muitas vezes o conectivo “ou” possui idéia de exclusão: “Bianca vai ao supermercado ou vai á escola”. Neste caso, é claro que Bianca vai fazer uma coisa ou outra, mas não ambas simultaneamente. O conectivo que leva em conta a observação anterior chama-se disjunção exclusiva. Em Lógica, como se observou, uma disjunção é verdadeira quando uma das proposições constituintes é verdadeira ou, também, quando ambas são verdadeiras simultaneamente.

Cálculo Propocisional Implicação ou Condicionamento (®) Na lógica e na matemática, a implicação, ou condicional é a indicação do tipo "SE...ENTÃO", indicando que uma condição deve ser satisfeita necessariamente para que a outra seja verdadeira. Por exemplo, a expressão: "Se João esquia, Maria nada" é uma implicação. Na lógica booleana, as implicações retornam FALSO se, e somente se, o antecedente é VERDADEIRO e o conseqüente é FALSO. Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A®B), a implicação de B por A. A proposição A chama-se antecedente da implicação (A ® B) e B chama-se o conseqüente da implicação (A®B).

Cálculo Propocisional Implicação ou Condicionamento (®) Quem diz uma frase da forma “se p, então q” está dizendo apenas “se p for verdadeiro, então q também é verdadeiro.” EXEMPLO. Quem diz “se Pedro passa no vestibular, então Pedro ganha um carro” só está mentindo se ocorrer o seguinte: Pedro passa no vestibular e Pedro não ganha um carro. Se nos perguntarem: "Quando 'se Pedro passa no vestibular, então Pedro ganha um carro' é falso?" Teremos que responder: “Ora, o único caso é quando Pedro passa no vestibular e Pedro não ganha o carro.” Para entender isso completamente, consideremos todos os quatro casos: (i) No caso em que p é verdadeiro e que q é verdadeiro, temos “se p, então q” verdadeiro (ii) No caso em que p é verdadeiro e que q é falso , temos “se p, então q” falso. (iii) No caso em que p é falso e que q é verdadeiro , temos “se p, então q” verdadeiro. (iv) No caso em que p é falso e que q é falso, temos “se p, então q” verdadeiro . OBS. Note que o único caso que “se p, então q” é falso, é o caso (ii), i.e. quando p é verdadeiro e q é falso. (Não esqueça isso jamais.)

Cálculo Propocisional Bi-implicação ou Bicondicionamento («) Dadas as proposições A e B podemos considerar a nova proposição (A«B), a bi- implicação de A e B. Postulamos que a proposição (A«B) é verdadeira se e somente se as proposições A e B possuem o mesmo valor-verdade. A proposição (A«B) é falsa se e somente se as proposições A e B tiverem valores-verdade trocados.

Linguagem simbólica X natural Não A; Não se dá que A; Não é fato que A; Não é verdade que A; Não é que A; Não se tem A. (A Ú B) A ou B ou ambos. (A Ù B) A e B; A, mas B; A, embora B; A, assim como B; A e, além disso, B; Tanto A como B; A e também B; Não só A, mas também B; A, apesar de B.

Linguagem simbólica X natural (A®B) se A, então B; se A, isto significa que B; tendo-se A, então B; quando A, então B; sempre que A, B; B, sempre que se tenha A; B, contanto que A; A é condição suficiente para B; B é condição necessária para A; Uma condição suficiente para B é A; Uma condição necessária para A é B; (A®B) B, se A; B, quando A; B, no caso de A; A, só se B; A, somente quando B; A, só no caso de B; A implica B, A acarreta B, B é implicada por A. (A«B) A se e só se B; A se e somente se B; A quando e somente quando B; A eqüivale a B; Uma condição necessária e suficiente para A é B; A é condição necessária e suficiente para B

Resumo da Tabela Verdade

Exercícios Responda sucintamente. 1. Dar algumas definições usuais do que é Lógica. A Lógica é uma Ciência? Discutir de forma breve. 2. O que é postura platônica ? 3. Comente o por quê a lógica clássica esteve estagnada por mais de dois milênios. 4. Quando pode ser considerado o início da lógica moderna ? 5. Quem foi o introdutor dos símbolos em lógica ? 6. O que é teoria dos conjuntos Cantoriana ? 7. A matemática que você viu até agora é feita em que teoria de conjuntos ? 8. Qual é o prêmio de maior prestígio em matemática ? 9. Por quê não existe prêmio Nobel em Matemática ? 10. Quais são algumas das principais áreas de pesquisa em Lógica Clássica na atualidade ?

Exercício 11. Entenda e descreva 3 Paradoxos semânticos? 12. Qual a diferença do paradoxo semântico e do paradoxo lógico? 13. Sejam as proposições A º “O livro é interessante” e B º “O livro é caro”. Fornecer uma sentença na linguagem natural que descreva cada uma das simbolizações abaixo: a) (ØA) b) (A Ù B) c) (A Ú B) d) (B Ú (ØA)) e) ((ØA) Ù (ØB)) 14. Sejam as sentenças: A º “A neve é branca” e B º “O sol é um astro”. Determinar o valor-verdade das sentenças abaixo: a) [A Ù (ØB)] b) [Ø(A Ú B)] c) [(ØA) Ú B] d) [(ØA) Ù (ØB)] e) [A« (ØB)]

Exercício 15. Em que casos as sentenças abaixo são falsas? (Em cada item estude todas as possibilidades) a) Ela é mineira e ele é paraense. b) Ela é mineira ou ele é paraense. c) É falso que ela é mineira e ele é paraense. d) É falso que ela é mineira e é falso que ele é paraense. 16. Sejam as expressões A º “O céu é azul”, B º “Deus existe” e C º “O Sol gira em torno da Terra”. Fornecer uma sentença na linguagem natural que descreva cada uma das afirmações abaixo: a) (ØA) b) (A Ù B) c) ((A Ú B) Ù C) d) (B Ú (ØC)) e) [(ØA) Ù (ØB)] f) [Ø((ØA) Ú C)] g) [Ø(A Ú (ØØB))] h) (C Ù (ØB)) 17. Escreva as sentenças em linguagem simbólica abaixo utilizando os conectivos Ø, Ù e Ú. a) Não é verdade que Galileu esteja certo. b) A água não pode ser simultaneamente líquida e sólida. c) O seguro da casa inclui incêndio ou roubo. d) Compro ou não compro. e) Não estudarei hoje, mas estudarei amanhã e quarta-feira.

Exercício 18. Indiquemos por A º “Está calor” e por B º “É verão”. Escrever em forma simbólica as seguintes afirmações: a) É verão somente se está calor. b) Uma condição necessária para estar calor é que seja verão. c) Uma condição suficiente para estar calor é que seja verão. d) Sempre que é verão, faz calor. e) Nunca é verão, quando está calor. 19 Escreva as sentenças a seguir em linguagem simbólica, usando sentenças básicas (ou atômicas), isto é, as sentenças que não podem ser construídas a partir de outras sentenças. a) Se Antônio está feliz, a esposa do Antônio não está feliz, e se o Antônio não está feliz, a esposa do Antônio não está feliz. b) Ou Antônio virá à festa e Pedro não, ou Antônio não virá à festa e Pedro se divertirá. c) Uma condição necessária e suficiente para o rei ser feliz é ele ter vinho, mulheres e música. d) Teresa vai ao cinema só se o filme for uma comédia.

Exercício 20. Traduza as sentenças abaixo, dado o seguinte esquema: A º Clarissa sorri B º Clarissa desperta C º Clarissa vai á praia D º Clarissa fica indecisa E º Clarissa sente o sol a) (B®A) b) (A®C) c) ((DÚ C) ® (A« (B Ù (ØE)))) 21. Simbolize as sentenças abaixo, dado o seguinte esquema: A º o estudante comete erros, B º há motivação para o estudo, C º o estudante aprende a matéria. a) Se o estudante não comete erros, então ele aprende a matéria. b) Se não há motivação para o estudo, então o estudante não aprende a matéria. c) Se há motivação para o estudo, o estudante não comete erros. d) O estudante aprende a matéria se, e somente se, há motivação para o estudo. 22. Traduza as sentenças abaixo, dado o seguinte esquema: A º há nuvens, B º choverá, C º ventará. D º fará bom tempo amanhã. a) (A®B) b) (A® (ØD)) c) ((ØD) Ù (B Ù C)) d) ((ØA) ®D) e) (A Ù (B Ú C)) f) ((A Ù B) Ú C) g) (A® (B Ú C)) h) ((A®B)ÚC) i) ((A«B) Ù ((ØC) ÙD)) j) (A«((B Ù C) ÚD))