Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ I Escola Brasileira de Ensino de Física UFABC, outubro de 2014
Sumário Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Fenômenos quânticos Princípios da mecânica quântica Sistemas quânticos simples: aplicações Emaranhamento Realismo, contextualidade e não-localidade Operadores, autovalores, autovetores C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades conceituais Dificuldades matemáticas Literatura Material didático: simulações, vídeos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Dificuldades conceituais Superposição quântica Probabilidade subjetiva x objetiva Complementaridade O problema da medida Realismo vs. localidade ... Dificuldades matemáticas Vetores Números complexos Espaços vetoriais complexos Operadores, autovalores, autovetores Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Ensino e aprendizagem de mecânica quântica Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações. Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais. Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996. I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998. S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000. G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000. G. Pospiech, Uncertainty and complementarity: the heart of quantum physics, Physics Education 35, 393, 2000. I. M. Greca, M. A. Moreira, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001. I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001. E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002. K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002. M. Alonso, Emphasize applications in introductory quantum mechanics courses, American Journal of Physics 70, 887, 2002; ver também a resposta de Müller e Wiesner na mesma página. I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003. F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004. D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007. M. Fanaro, M. Arlego, M. R. Otero, “El método de caminos múltiples de Feynman como referencia para introducir los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica en la escuela secundaria,” Caderno Brasileiro de Ensino de Física 24, 233, 2007. S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008. C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction, American Journal of Physics 76, 277, 2008. C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009. M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009. C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010. S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010. L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011. M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 020113, 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011. G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012. O. Levrini, P. Fantini, Encountering productive forms of complexity in learning modern physics, Science & Education 22,1895, 2013. C. C. Sahelices, J. A. M. Villagrá, Principios de mecánica cuántica en la resolución de problemas de estructuras atómicas en estudiantes de química, Experiências em Ensino Ciências 9, 1, 2013. W. Dür, S. Heusler, What we can learn about quantum physics from a single qubit, arXiv:1312.1463, 2013. A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014. J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014. C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching quantum interpretations: Revisiting the goals and practices of introductory quantum physics courses, arXiv:1409.8503, 2014. C. Baily, N. D. Finkelstein, Ontological Flexibility and the Learning of Quantum Mechanics, arXiv:1409.8499, 2014. A. Kohnle, C. Baily, S. Ruby, Investigating the influence of visualization on student understanding of quantum superposition, arXiv:1410.0867, 2014. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Livros R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988. H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002. I. M. Greca, V. E. Herscovitz, Introdução à Mecânica Quântica, UFRGS, 2002 (http://www.if.ufrgs.br/public/tapf/n13_2002_greca_herscovitz.pdf) O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003. D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000. J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006. B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006. A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013. L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014 G. Greenstein, A. G. Zajonc, The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics, Jones & Bartlett, 2005. M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006. D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley, 2012. M. Beck, Quantum Mechanics: Theory and Experiment, Oxford UP, 2012. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Simulações Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/ Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul) http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg) http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html PhET (University of Colorado) http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena SPINS (Oregon State University) http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html Quantum physics (École Polytechnique) http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Internet Quantum Physics (IoP) http://quantumphysics.iop.org/ Quantum Mechanics (Leonard Susskind) http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter Quantum Entanglement (Leonard Susskind) http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind) http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Fenômenos Quânticos Charles Addams, New Yorker, 1940 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Um experimento com a luz feixe luminoso pouco intenso semiespelho (50-50%) espelho detectores de luz D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Resultado do experimento Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez. D1 D2 ou 50% 50% probabilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Se a luz fosse uma onda D1 D2 ... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Se a luz é composta por partículas ou D1 D2 ... ou D1 dispara, ou D2 dispara. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Conclusão A luz é composta por partículas: os fótons. O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou. caminho 2 caminho 1 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O experimento de Grangier, Roger & Aspect Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect. A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir. ν1 ν2 átomo de cálcio τ = 4,7 ns C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O experimento de Grangier, Roger & Aspect w = 9 ns P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Resultado do experimento de Grangier et al. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sobre o ensino do conceito de fóton Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz. Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico. Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton. G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927) E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Outro experimento com a luz D2 D1 segundo semiespelho feixe luminoso “fóton a fóton” interferômetro de Mach-Zehnder C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Preliminares: um feixe bloqueado 1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O outro feixe bloqueado 1 2 50% 25% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Resultado fácil de entender com partículas 1 2 50% 25% = caminho do fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
De volta ao interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Resultado do experimento: 0% 100% D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos 1 25% 2 25% Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Proposição* Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2 consequência: probabilidade do detector Dn disparar apenas o caminho 2 aberto apenas o caminho 1 aberto * The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Teste da Proposição Experimentalmente: a proposição é falsa! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” Repetindo: A afirmativa “o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2” é falsa. “… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.” R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Por onde vai o fóton? 2 1 e 2 1 nem 1 nem 2 ou 1 ou 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Por onde vai o fóton? Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa. Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável. Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Uma resposta melhor Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2. A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta. Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado. - W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics (o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Fácil de entender num modelo ondulatório interferência construtiva destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Comprimentos variáveis L1 L2 PD2 PD1 L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Resultado experimental: L1 – L2 1 PD1 PD2 (linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD(2)) Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda. Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”. Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O experimento de Grangier, Roger & Aspect P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O experimento de Grangier, Roger & Aspect L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Interferência de nêutrons interferômetro de nêutrons S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Interferência de átomos interferômetro de átomos A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Interferência de elétrons A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
E se os caminhos forem distinguíveis? interferência desaparece ! diferença de “caminhos” (ajustável) P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
interferômetro de Ramsey E se os caminhos forem distinguíveis? o experimento real interferômetro de Ramsey P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
E se os caminhos forem distinguíveis? Massa = 0 caminho identificado não há padrão de interferência Massa ∞ caminho não identificado padrão de interferência N Massa P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
impossível determinar E se a informação sobre o caminho for apagada? impossível determinar o caminho interferência P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Quando há interferência? Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente interferência (“1 e 2”) Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente (“ou 1 ou 2”) não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Princípios da Mecânica Quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Princípios da Mecânica Quântica Vetores de estado e o princípio da superposição A regra de Born Complementaridade e o princípio da incerteza Colapso do vetor de estado Evolução unitária Sistemas de N estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Vetores de Estado e o Princípio da Superposição C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas de dois estados esquerda / direita horizontal / vertical para cima / para baixo sim / não 0 / 1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas de dois estados fóton refletido fóton transmitido cara coroa C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas de dois estados grandeza física observável: a2 a1 a2 a1 A = ? ou a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas clássicos Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2. Representação dos estados: pontos no “eixo A” sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 A a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas quânticos: vetores de estado Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2. Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões sistema tem A = a2 sistema tem A = a1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
A notação de Dirac vetor ↔ exemplos: identificação C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O que muda? ? O que muda é o seguinte: Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados. ? A a1 a2 O que muda é o seguinte: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O Princípio da Superposição Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Significado de |ñ A = a1 e A = a2 ? esquerda e direita? horizontal e vertical? sim e não? 0 e 1? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O espaço de estados é grande Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados. Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do espaço de estados. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Princípio da Superposição: formulação geral Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do sistema. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Um ‘detalhe técnico’ As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo). Deve-se ter cuidado com figuras como esta: c2 c1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Outro ‘detalhe técnico’ Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo? Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço? ? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
A Regra de Born C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
A Regra de Born c2 c1 A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é (n = 1, 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
A Regra de Born ? a1 a2 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Probabilidade total Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2. A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Normalização do vetor de estado c2 c1 Norma de |ñ: (tamanho do vetor |ñ) Com essa definição: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Normalização do vetor de estado |ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Normalização do vetor de estado Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo estado físico. Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”: ou seja, C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Vetores normalizados: a Regra de Born ? a2 a1 medidor de “A” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Amplitude de probabilidade cn amplitude de probabilidade probabilidade = |amplitude de probabilidade|2 “função de onda” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Frequência dos resultados de medidas N1 a1 N2 a2 N medidas de A (N ) podemos prever a frequência dos resultados: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Valor médio dos resultados valor médio de A: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Incerteza c2 c1 c1, c2 0 impossível prever o resultado de uma medida ou Se possível prever o resultado (probabilidade = 100%): valor de A “bem definido” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
A = incerteza de A no estado | ou A = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Complementaridade e o Princípio da Incerteza C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Complementaridade A B a1 a2 duas grandezas físicas: A e B b1 b2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Grandezas compatíveis e incompatíveis A e B compatíveis A e B incompatíveis A e B complementares: incompatibilidade “máxima” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O Princípio da Incerteza A bem definido, B incerto ( A = 0, B 0) A e B incertos ( A 0, B 0) B bem definido, A incerto ( B = 0, A 0) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O Princípio da Incerteza A e B incompatíveis nenhum estado | com A = 0 e B = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Exemplo: posição e momentum duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”) dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”) impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Resumo da “cinemática” quântica vetor no espaço de estados estado físico sistema de eixos (uma “base”) no espaço de estados grandeza física C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Resumo da “cinemática” quântica projeção do vetor de estado no eixo |an probabilidade da medida resultar em A = an probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1 ou A = a2 grandezas físicas incompatíveis (complementares) diferentes sistemas de eixos no espaço de estados C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Como o vetor de estado muda com o tempo? “Colapso” durante uma medida Evolução unitária (equação de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Colapso do Vetor de Estado
Colapso do vetor de estado antes da medida a2 a1 depois da medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Colapso do vetor de estado resultado A = a2 A = a1 medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Colapso do vetor de estado O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade. O estado | an é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade. | |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”. O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo: Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida. Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Medidas simultâneas de duas grandezas b2 b1 (A, B) ( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0) Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com A = 0 e B = 0. É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Evolução Unitária
A equação de Schroedinger Evolução temporal do vetor de estado: |(0) |(t) Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
A (solução da) equação de Schroedinger Sistema de dois estados Dois níveis de energia: E1, E2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
A (solução da) equação de Schroedinger ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas: A evolução |(0) |(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos). C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Propriedades da equação de Schroedinger Linearidade: t 0 t = 0 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Propriedades da equação de Schroedinger Conserva a norma do vetor de estado: tamanho não muda Conserva o ortogonalidade entre vetores: dois vetores perpendiculares continuam perpendiculares C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Demonstração da linearidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Demonstração da conservação da norma C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Demonstração da conservação da ortogonalidade |(0) e |(0) ortogonais |(t) e |(t) ortogonais C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Propriedades da equação de Schroedinger Determinismo Continuidade Linearidade Conservação da norma Conservação da ortogonalidade “evolução unitária” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Estados estacionários Estado de energia bem definida En: mesma “direção” que |En |(t) e |(0) representam o mesmo estado físico. Estados de energia bem definida são “estacionários”. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Conservação da energia C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Eq. de Schroedinger x Processos de medida Equação de Schroedinger: contínua determinista válida enquanto não se faz uma medida Colapso do vetor de estado: descontínuo probabilístico ocorre durante a medida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Eq. de Schroedinger x Processos de medida Dois tipos de evolução temporal? Equação de Schroedinger: interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos. A = a1 e A = a2 Colapso do vetor de estado: interação do sistema quântico com um aparato clássico, o aparelho de medida (o “observador”). A = a1 ou A = a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O “problema da medida” | | Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger? a2 a1 Descrição quântica do aparelho de medida: | | aparelho de medida: equação de Schroedinger: o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo ! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O “problema da medida” Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico? Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em duas direções ao mesmo tempo. Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto. Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos? Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Física quântica x física clássica Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos… L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica. N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935 …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica. J. Bell, Against measurement C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Física quântica x física clássica …a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação... - L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Os gatos de Schroedinger C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas de N Estados Você está em todo lugar C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Três valores possíveis para a grandeza A: Sistemas de 3 estados Três valores possíveis para a grandeza A: a3 a1 a2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
... ... Sistemas de N estados N valores possíveis para a grandeza A: (impossível desenhar N eixos perpendiculares) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas de infinitos estados N pode ser infinito: N pode ser infinito, e a ter valores contínuos: densidade de probabilidade: probabilidade: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas de infinitos estados Exemplo: a = x = posição de uma partícula função de onda: (x) densidade de probabilidade: probabilidade: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Sistemas de infinitos estados A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos: Exemplo: a = E = energia de uma partícula C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Aplicações a sistemas simples Instituto de Física Quântica Você está aqui e aqui C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Interferômetro de Mach-Zehnder Interferência de uma partícula Descrição quântica do interferômetro Interferência e indistinguibilidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O interferômetro de Mach-Zehnder interferência construtiva 0% 100% D1 D2 “ondas” interferência destrutiva C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O interferômetro de Mach-Zehnder 1 2 50% 25% D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Descrição quântica do interferômetro (caminho 1) (caminho 2) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Espaço de estados probabilidades: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 Semiespelho 1 2 evolução unitária probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade Semiespelho sinal negativo: evolução unitária conserva a ortogonalidade C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Interferômetro D1 D2 1 2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Primeiro semiespelho: Interferômetro Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Interferômetro Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é interferência destrutiva interferência construtiva P1 = 100% P2 = 0% C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O que interfere? (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 2 2 1 1 (1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2) 1 2 1 2 soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Caminho bloqueado 1 2 D2 D1 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Primeiro semiespelho: Caminho bloqueado Estado inicial: Primeiro semiespelho: Bloqueio: fóton bloqueado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
não há caminhos alternativos, logo não há interferência Caminho bloqueado Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P1 = 25% P2 = 25% P = 50% não há caminhos alternativos, logo não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Por que não há interferência? (1-1-1) (1-2-) (1-1-2) 1 1 2 1 2 não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Caminhos alternativos distinguíveis mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Caminhos alternativos distinguíveis 1, 2: caminho do fóton R: espelho em repouso M: espelho em movimento Estado inicial: Primeiro semiespelho: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Caminhos alternativos distinguíveis Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50% P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50% soma de probabilidades, não de amplitudes C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Apagando a informação sobre o caminho mola C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Apagando a informação sobre o caminho Segundo semiespelho: ou seja, o estado final é a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O palito de fósforo quântico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O palito de fósforo quântico fósforo “bom” fóton fósforo “ruim” fóton C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O palito de fósforo quântico palitos bons e ruins misturados Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Teste clássico palito bom queimado palito ruim C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Teste quântico D1 D2 C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
palito ruim D2 nunca dispara transparente palito ruim D2 nunca dispara C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Palito bom palito bom D2 dispara em 25% das vezes, 50% palito bom D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Teste quântico D2 fósforo bom intacto D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim Fósforo acende fósforo bom queimado Dos fósforos bons: 25% estão identificados e intactos 50% foram queimados 25% em dúvida Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Mais aplicações a sistemas simples O problema de Deutsch Molécula de H2+ Benzeno Oscilação de neutrinos Polarização do fóton Spin ½ Informação quântica C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Emaranhamento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Emaranhamento | | | | sistema I sistema II sistema composto subsistema I | subsistema II sistema composto C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Emaranhamento Estados do sistema composto: sistema I no estado |, sistema II no estado | sistema I no estado |, sistema II no estado | Superposição estado emaranhado: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Emaranhamento Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais. O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas. Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica. “O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.” - E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics (o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Realismo, Contextualidade e Localidade “Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?” C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
grandeza medida no experimento Variáveis ocultas Medidas: revelam um valor preexistente? criam o resultado encontrado? variável “oculta” que determina o valor de A grandeza medida no experimento C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Experimentos com um sistema composto II AI = 1 AII = 1 BII = 1 BI = 1 incompatíveis compatíveis C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Quatro experimentos com um sistema composto Quatro experimentos possíveis: Medida de AI e AII AI = +1 e AII = +1 encontrado algumas vezes Medida de AI e BII AI = +1 e BII = +1 nunca encontrado Medida de BI e AII BI = +1 e AII = +1 nunca encontrado Medida de BI e BII BI = -1 e BII = -1 nunca encontrado C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Quatro experimentos com um sistema composto grau de emaranhamento P(AI, AII) (em %) P(AI, BII) = 0 P(BI, AII) = 0 P(BI, BII) = 0 A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Experimentos com um sistema composto Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas: AI = +1 AII = +1 sempre BI = -1 BII = -1 !! Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)! C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
P(BI, BII) = 0 experimento 4 Estados de Hardy estado emaranhado P(BI, BII) = 0 experimento 4 L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992). L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3: C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Estados de Hardy Experimentos 1, 2 e 3: 3) 2) 1) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
medido em II (AII ou BII) Contextualidade o que está sendo medido em II (AII ou BII) o que está sendo medido em I (AI ou BI) C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Não-localidade I II AI AII BII BI C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
O teorema de Bell Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica é necessariamente não-local. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Operadores, autovalores, autovetores C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Conexão com os operadores Produto escalar: | Projetores: || Operador associado à grandeza A: Autovalores e autovetores de A: É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os “eixos” |an e valores an. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Em seguida: Simetrias e grandezas conservadas Posição e momentum Partícula em 1 dimensão: aplicações Partícula livre Potenciais constantes por partes: estados ligados, tunelamento, etc. Oscilador harmônico C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
E se houver tempo: Partículas idênticas Partícula em 3 dimensões; momento angular Soma sobre caminhos Descoerência Muitos-mundos, de Broglie-Bohm C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Concluindo É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio. Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples. Aspectos pouco (ou nada) intuitivos da mecânica quântica podem ser discutidos sem interferência de dificuldades adicionais associadas à matemática. C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Funciona? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014
Curtiu? C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014