SISTEMAS LINEARES II Prof. Marlon

11. Sistemas Escalonados Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação. O sistema é também chamado sistema triangular, pois a matriz associada é uma matriz triangular. Se fala também de triangular superior ou inferior para caracterizar a posição dos coeficientes não nulos.

11. Sistemas Escalonados Sistema triangular (escalonado) – forma matricial Superior Inferior Podem ser solucionados com Resolução Retroativa

11. Sistemas Escalonados 2y = -1 – 5 y = -3 3x = 2 – 3 + 5 3x = 4 Resolva o sistema: Resolução: Na 3ª equação: z = -5 Na 2ª equação: 2y – (-5) = -1 2y = -1 – 5 y = -3 Na 1ª equação: 3x – (-3) + (-5) = 2 3x = 2 – 3 + 5 3x = 4 x = 4/3 Logo, o conjunto solução será: (-5, -3, 4/3)

11. Sistemas Escalonados z = a, com a  . 3y – 2a = 1 3y = 1 + 2a Resolva o sistema: Resolução: Primeiro perceba que este sistema tem mais variáveis que equações. Perceba ainda que a variável z não aparece no começo de nenhuma equação, ela será chamada de variável livre. Para resolvermos este sistema, primeiro vamos atribuir um valor real arbitrário para a variável livre: z = a, com a  . Agora vamos calcular o valor de y na 2ª equação: 3y – 2a = 1 3y = 1 + 2a y = (1 + 2a)/3

11. Sistemas Escalonados Resolva o sistema: Agora que já conhecemos y e z, vamos calcular o valor de x: Logo a solução do sistema será: Essa solução é chamada de solução geral do sistema e esse sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO.

11. Sistemas Escalonados t = a e y = b, com a e b  Resolva o sistema: Resolução: Na 3ª equação: w = 2 Agora perceba que este sistema tem duas variáveis livres (não aparecem no começo de nenhuma equação), vamos atribuir valores para elas: t = a e y = b, com a e b  Na 2ª equação: Na 1ª equação:

11. Sistemas Escalonados Resolva o sistema: Logo a solução do sistema será: Essa solução é chamada de solução geral do sistema e esse sistema é POSSÍVEL E INDETERMINADO. Se desejarmos soluções particulares para esse sistema, basta atribuir valores para a e b, por exemplo:

12. Sistemas Equivalentes Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. verificamos que o par ordenado (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes, e escrevemos: S1 ~ S2 Sendo dado um sistema, é possível realizar sobre ele uma série de operações elementares sem alterar seu resultado, ou seja, obtendo sistemas equivalentes a ele, é que veremos a seguir.

13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares PROPRIEDADE 1: um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema. Exemplo: Sistema 1 Sistema 2 Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 2: x=3, y=2 e z=4.

13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares PROPRIEDADE 2: um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo. Exemplo: Sistema 1 Sistema 3 Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 3: x=3, y=2 e z=4.

13. Sistemas Equivalentes – Op. Elementares PROPRIEDADE 3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação, ou seja, MULTIPLICAR UMA EQUAÇÃO POR UM NÚMERO E SOMAR COM OUTRA. Exemplo: Sistema 1 Sistema 3 Solução do Sistema 1 = Solução do Sistema 4: x=3, y=2 e z=4.

14. Escalonamento de um Sistema Linear Podemos transformar um sistema escrito em sua forma normal para um outro equivalente, na forma escalonada, esse processo é chamado de ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR.   1º passo: Escolhemos, para 1a equação, uma em que o coeficiente da 1a incógnita seja não nulo. Se possível fazemos a escolha a fim de que esse coeficiente seja igual a -1 ou 1, pois os cálculos ficam, em geral, mais simples. 2° passo: Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita das demais equações, usando as propriedades 1 e 2. 3º passo: Desprezamos a 1a equação e aplicamos os dois primeiros passos com as equações restantes. 4º passo: Desprezamos a 1ª e a 2ª equações e aplicamos os dois primeiros passos nas equações restantes, até o sistema ficar escalonado.

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex1) Resolva o sistema: Resolução: Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação: Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para eliminá-la nas equações seguintes:

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex1) Resolva o sistema: Agora é só repetir o processo, só que usando a 2ª equação: Finalmente, é só usar o processo da resolução retroativa e encontrar a solução do sistema:

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex2) Resolva o sistema: Resolução: Vamos destacar a 1ª incógnita na 1ª equação: Agora vamos usar essa incógnita e seu coeficiente para eliminá-la nas equações seguintes:

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex2) Resolva o sistema: Agora vamos trocar as posições das equações 2 e 3: O sistema já está na forma escalonada. Perceba que ele apresenta uma variável livre (o t não aparece no começo de nenhuma equação) e portanto, ele é SPI:

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex2) Resolva o sistema: Já sabemos os valores de t e z:

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex3) Resolva o sistema: Resolução: A última equação indica que o sistema é SPI, e pode ser abandonada.

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex3) Resolva o sistema: Atribuímos valores para a variável livre z:

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex4) Resolva o sistema: Resolução: A última equação indica que o sistema é SI.

14. Escalonamento de um Sistema Linear Ex5) Resolva o sistema: Resolução: E agora, como fazemos se queremos usar 3 para eliminar -4? Neste caso, multiplicamos a 2ª e a 3ª equações e fazemos a soma das duas em separado. O resto é com você!

15. Discussão de um Sistema Linear Considere o seguinte sistema linear nas incógnitas x e y.   Observe que, além das incógnitas x e y, o sistema apresenta uma variável m. Tal variável é chamada de "parâmetro do sistema". Discutir esse sistema em função do parâmetro m significa classificá-lo como SPD, SPI ou SI para cada valor real assumido por m. Para tanto, utilizaremos o que aprendemos com o Teorema de Cramer: Para dirimir essa última dúvida, usaremos o que aprendemos com escalonamento de sistemas.

15. Discussão de um Sistema Linear Ex1) Discutir o sistema: Resolução: Sabemos que, se: O sistema é SPD. Resolvendo: Sabemos que, se: O sistema é SPI ou SI. Resolvendo: Como fazer para saber se é SPI ou SI?

15. Discussão de um Sistema Linear Ex1) Discutir o sistema: Agora que sabemos que se m = 6 o sistema é SPI ou SI, substituiremos esse valor no sistema e em seguida faremos o seu escalonamento. Resumindo temos:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex2) Discutir o sistema: Resolução: I. Sabemos que, se: O sistema é SPD. Resolvendo: II. Sabemos que, se: O sistema é SPI ou SI. Resolvendo:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex2) Discutir o sistema: Vamos substituir a = 0: Observando a 1ª equação concluímos que o sistema é SPI. Vamos substituir a = 6 e escalonar o sistema: Observando a 2ª equação concluímos que o sistema é SI.

15. Discussão de um Sistema Linear Ex2) Discutir o sistema: Resumindo temos:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex3) Discutir o sistema: Resolução: I. Sabemos que, se: O sistema é SPD. Resolvendo: II. Sabemos que, se: O sistema é SPI ou SI. Resolvendo:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex3) Discutir o sistema: Vamos substituir a = -2, e em seguida escalonar o sistema: Como se pode observar, a questão agora depende do valor de b, ou seja: Resumindo temos:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex4) Discutir o sistema: Resolução: I. Sabemos que, se: O sistema é SPD. Resolvendo: II. Sabemos que, se: O sistema é SPI ou SI.

15. Discussão de um Sistema Linear Ex4) Discutir o sistema: Resolvendo: Vamos substituir m = 0, e em seguida escalonar o sistema:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex4) Discutir o sistema: Resolvendo: Vamos substituir m = 1, e em seguida escalonar o sistema:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex4) Discutir o sistema: Resumindo temos:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex5) Discutir o sistema: Resolução: I. Sabemos que, se: O sistema é SPD. Resolvendo: II. Sabemos que, se: O sistema é SPI ou SI.

15. Discussão de um Sistema Linear Ex5) Discutir o sistema: Resolvendo: Vamos substituir a = 2, e em seguida escalonar o sistema: Como se pode observar, a questão agora depende do valor de b, ou seja:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex5) Discutir o sistema: Resumindo temos:

15. Discussão de um Sistema Linear Alguns sistemas lineares apresentam número de equações diferente do número de incógnitas, nestes casos, não poderemos usar o determinante dos coeficientes do sistema, pois a matriz dos coeficientes não será quadrada e, portanto, não existirá o determinante. Então, vamos discutir o seguinte sistema em função do parâmetro real m, por meio apenas do escalonamento. Ex6) Discutir o sistema: Resolução: Vamos analisar a última equação:

15. Discussão de um Sistema Linear Ex6) Discutir o sistema: É importante lembrar que esse sistema nunca será SPD, pois o número de equações não é igual ao número de incógnitas, logo ele não é um sistema normal. Resumindo temos:

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão Como um sistema linear homogêneo é formada por equações cujos termos independentes são todos nulos. Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, podemos escrever: Todo sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite a solução (0,0,0 ..., 0), chamada solução trivial. Observe que para um sistema linear homogêneo de n equações com n incógnitas, teremos sempre: Portanto, para discussão de um sistema linear homogêneo de n equações e n incógnitas é suficiente apenas o cálculo do determinante D dos coeficientes das incógnitas, isto é:

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão Observações Importantes: Sistema Homogêneo NUNCA SERÁ IMPOSSÍVEL; Se o número de equações for diferente do número de incógnitas, o sistema será SPI.

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão Ex1) Discutir o sistema: Resolução: Sendo o número de equações igual ao número de incógnitas, podemos calcular D: Como o sistema é homogêneo, só há duas possibilidades: Resolvendo:

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão Ex1) Discutir o sistema: Resolvendo: Resumindo temos:

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão Ex2) Classificar e resolver o sistema: Resolução: Podemos também classificar e resolver por meio do escalonamento, é o que veremos a seguir:

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão Ex2) Classificar e resolver o sistema: Agora vamos resolvê-lo:

16. Sistema Linear Homogêneo - Discussão Ex3) Determine a, de modo que o sistema admita soluções próprias: Resolução: Soluções próprias, são as demais soluções, além da solução trivial, ou seja, o sistema deve ser SPI: Então: