Distribuição F Considere duas populações com distribuição de Gauss com médias 1, 2 e variâncias 12 e 22 . Retire uma amostra aleatória de tamanho n1 da primeira população, tendo uma variância s12, e outra amostra aleatória de tamanho n2 da segunda população com variância s22 . A estatística indica a relação entre as razões das variâncias amostral e da população. Supondo que as variâncias amostrais sejam oriundas de amostras aleatórias independentes e com as mesmas variâncias populacionais, então: F=s12 /s22. A distribuição teórica que modela essa razão denomina-se Distribuição F

Teste igualdade de variâncias Altura média de um país é de 1,68 m com variância 0,30m2. Em uma amostra de 31 pessoas de uma determinada região do país a variância foi 0,25m2 . EXCEL No Menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F:duas amostras para variâncias, que realiza o teste de igualdade de variâncias.

Teste igualdade de variâncias H0: 2 = 20 Ha: 2  20 (ou 2 > 20 ou 2 < 20 ) Para testar a hipótese H0, obtemos uma amostra de tamanho n da população e consideramos a quantidade:

Teste igualdade de variâncias S2 = variância amostral se população da qual a amostra foi retirada se comporta de acordo com o modelo normal, então, sob a hipotese H0 temos que: H0: 2 = 0,30 Ha: 2 < 0,30

Utilizando-se a tabela 2 com 30 graus de liberdade e =0,05 crit= 18,49 logo obs > crit, portanto não rejeitamos H0

Exercício - Teste F Y= medida do diâmetro de esferas por método novo X= medida do diâmetro de esferas por método antigo Y= medida do diâmetro de esferas por método novo xobs= 29,93 mm s2Xobs = 0,03 mm2 n1=15 yobs= 29,89 mm s2Yobs = 0,19 mm2 n2=15 Construir teste de hipótese H0: 2X = 2Y X ~ N(X, 2X) Ha: 2X  2Y Y ~ N(Y, 2Y) Utilizaremos a quantidade: F = S2X / S2Y

Exercício - Teste F Para a distribuição de Fisher-Snedecor utilizamos a notação F (a, b) sendo que a = n1-1 e b = n2-1 (portanto a e b são os graus de liberdade) P (F > fc)

Exercício - Teste F A região crítica para o teste bilateral é dada por: RC=    :  < 1 ou  > 2 Portanto se obs  RC, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias P (F < 1 ou F > 2 ) = F  F (n1-1; n2-1) H0: 2X = 2Y H0: 2X/2Y =1 Ha: 2X  2Y Ha: 2X/2Y  1 F= S2X/S2Y  F (14; 14)

Exercício - Teste F Determinamos a região crítica do teste, de modo que, P(F < 1)=0,05 e P(F >2)=0,05 P (F >1) = 1 - P (F 1) = 0,95 Essas quantidades estão representadas nas figuras: 0,95 0,05 1 2

Exercício - Teste F Da tabela a distribuição de Fisher-Snedecor com 14 GL para o numerador e 14 GL para o denominador temos: 1 = 0,403 e 2 = 2,484 Logo: RC=   + :  < 0,403 ou  > 2,484  obs= S2X/S2Y = 0,03/0,19 = 0,158  RC Portanto, confirmando as evidências fornecidas pela análise descritiva, concluímos, ao nível de =10% que existem diferenças em termos de homogeniedades dos diâmetros das esferas, dependendo do método utilizado

Exercício - Teste F Y= peso de panetones de segunda qualidade Para panetones de 500 g, suspeita-se que o produto de segunda qualidade apresenta maior variabilidade que o de primeira, quanto ao peso. X= peso de panetones de primeira qualidade Y= peso de panetones de segunda qualidade s2Xobs = 0,29 n1=26 s2Yobs = 0,73 n2=20 H0: 2X = 2Y versus Ha: 2X < 2Y

Exercício - Teste F Para determinar a região crítica e quantidade de F corretamente: H0: 2X /2Y=1 versus Ha: 2X / 2Y <1 F = S2X /S2Y A região crítica será da forma: RC=    :  <  c F~F(25, 19) para  = 0,05 c=0,495 obs= S2X /S2Y=0,29/0,73=0,356  RC, portanto, concluímos que os panetones de segunda qualidade apresentam pesos com maior variabilidade do que os de primeira qualidade

Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias Considerando iguais as variâncias das populações A variável aleatória X1 é modelada por uma distribuição de Gauss com média 1 e variância 12, isto é, X1~N(1, 12) e a variável X2, também é de Gauss, isto é, X2~N(2, 22) O intervalo de 100(1-)% de confiança para a diferença (1 - 2 ) entre as médias das duas populações é dado por: Com a variância comum, ponderada, dada por:

Distribuição Qui-quadrado Considere uma população de tamanho n que tem uma distribuição de Gauss com média 0 e variância 1, ou seja, z12, z22, ..., zn2. A distribuição qui-quadrado(2) é definida como a soma dos quadrados dos n valores de zi: 2=z12 + z22 + z32 + ... + zn2 Se continuarmos a retirar as amostras da mesma população, cada uma das n quantidades terá uma distribuição de probabilidade 2 que poderá ser representado por um histograma. Com o número de amostras(n) grande, tem-se a distribuição do qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

Distribuição Qui-quadrado f(x) região crítica 2

Análise de Variância Considere um número qualquer de amostras amostras a>2, definidas por uma variável qualitativa (fator, por exemplo sexo, tratamento, etc.). A análise de variância faz a comparação entre as correspondentes médias de cada nível do fator. É possível o cálculo: da variância total; da variância entre as amostras; e da variância dentro das amostras.

Análise de Variância A variância total (sT2), é aquela que se obtém quando as a amostras são reunidas de modo a constituir uma única amostra, composta de todos os seus elementos. Consideremos a situação em que todas as a amostras têm o mesmo tamanho n, pode-se dizer a reunião de todas a amostras fornece an=N elementos

Análise de Variância A soma de quadrados em relação as amostras reunidas(soma de quadrados total): e considerando que esta soma de quadrados tem an-1 ou N-1 graus de liberdade, então tem-se também que a variância total é:

Análise de Variância A variância entre as amostras, ou simplesmente, a variância entre, que pode ser simbolizada por s2E, mede a variação existente entre todas as a amostras. Consideremos as a médias fornecidas pelas amostras. Soma de quadrados entre: Variância entre ou Quadrado médio entre:

Análise de Variância A variância dentro das amostras, ou simplesmente, variância dentro pode ser simbolizada por s2D, mede a variação dentro dentro das a amostras tomadas do em conjunto. Soma de quadrados dentro: Variância dentro ou Quadrado médio dentro:

Análise de Variância Temos todos os elementos para testar a hipótese nula de que as a amostras representam a mesma população, contra a hipótese alternativa de que isto não é verdadeiro. Ho:as a médias não diferem significativamente entre si ou seja, as médias das a amostras estimam a mesma média . Ha:as médias das a amostras não estimam a mesma média , porque elas diferem significativamente entre si.

Análise de Variância De acordo com a fórmula geral da variância entre, tem-se que seu valor será tanto menor quanto mais semelhantes forem as médias amostrais , ocorrendo o inverso, quando as médias diferirem muito entre si. A fórmula geral da variância dentro indica que seu valor não é afetado pela variação existente entre as diferentes médias amostrais. A razão entre as variâncias entre e dentro, é o valor de F calculado por:

Análise de Variância O valor de F calculado, será tanto maior quanto forem as diferenças entre as médias das amostras analisadas. Se F calculado for inferior ao F crítico ao nível de significância estabelecido, não rejeitamos Ho, ou seja, as médias das amostras não diferem significativamente. Se F calculado for superior ao F crítico ao nível de significância estabelecido, rejeitamos Ho, ou seja, as médias das amostras diferem significativamente.

Análise de Variância Fontes de Variação GL SQ QM F -------------------------------------------------------------------------- entre tratamentos t -1 SQE E(QME) E(QME) dentro tratamento N -t SQD E(QMD) E(QMD) Total N - 1 SQT E(QME)=E(QMtrat)=2res+ t2trat E(QMD)=E(QMres)= 2res

Análise de Variância