Computer Vision Transformação de Imagens Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

Computer Vision AVISO O assunto da aula de Hoje pode ser encontrado em sua completude nas seguintes Bibliografia: Digital Image Processing, First Edition, 1993, Rafael Gonzalez e Richard Woods, Addison-Wesley, Chapter 3 Digital Image Processing, Third Edition, 2008, Rafael Gonzalez e Richard Woods, Prentice Hall, Chpater 4 Um Curso de Cálculo, Hamilton Guidorizzi, 1988, Livros Técnicos e Científicos, Volume 4, Capítulo 50

Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

Computer Vision Séries de Fourier Chama-se série trigonométrica, uma série da forma:

Computer Vision Séries de Fourier As constantes a 0, a k e b k (1,2,...) são os coeficientes da série trigonométrica Se essa série trigonométrica convergir, a sua soma é uma função periódica f(x) de período 2π, dado que sen(kx) e cos(kx) são funções periódicas de período 2π. De modo que: f(x) = f(x + 2π)

Computer Vision Séries de Fourier Problema: para uma função periódica f(x) de período 2π, quais as condições impostas a f(x) de modo que exista uma série trigonométrica convergente para f(x)? f(x)

Computer Vision Séries de Fourier A série acima pode ser então integrável de –π a π.

Computer Vision Séries de Fourier 0

Computer Vision Séries de Fourier Agora só falta de determinar a k e b k !!

Computer Vision Séries de Fourier Multipliquemos os dois membros da equação acima por cos(nx)

Computer Vision Séries de Fourier Integrando de –π a π termo a termo ambos os membros da equação acima

Computer Vision Séries de Fourier Lembrando que: 0 0

Computer Vision Séries de Fourier De maneira análoga, multiplicando a equação acima por sen(nx) ao invés de cos(nx), chegamos a: que se junta a:

Computer Vision Séries de Fourier

Computer Vision Série de Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Paper de 1807 para o Institut de France: Joseph Louis Lagrange ( ), and Pierre Simon de Laplace ( ).

Computer Vision Coeficientes da Série t f(t)f(t) 0 T

Computer Vision Série de Fourier com números complexos

Computer Vision Transformada de Fourier DIRETA INVERSA

Computer Vision Transformada de Fourier (outra notação)

Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

Computer Vision Introdução a Transformada de Fourier

Computer Vision Transformada Discreta de Fourier

Computer Vision Transformada Discreta de Fourier

Computer Vision Resultados da Transformada de Fourier

Computer Vision Exemplo 1: Função caixa (box) f(x)f(x) x a b

Computer Vision Transformada da função box F( w ) 0 1/b2/b 3/b -1/b-2/b-3/b ab w f(x)f(x) x a b

Computer Vision Distribuição normal: Gaussiana

Computer Vision Exemplo 2: Gaussiana f(x) x || F(w) || w

Computer Vision Exemplos Considere a função mostrada abaixo: f(x) 2 f(x 0 ) f(x 0 + d x ) f(x 0 + 2d x ) f(x d x ) x x f(x)=f(x + d x )

Computer Vision Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

Computer Vision Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

Computer Vision Exemplos f(x) = [2, 3, 4, 4]

Computer Vision Exemplos F(u) = [3.25, -0.5+j0.25, -0.25, j]

Computer Vision Algumas Propriedades Importantes da Transformada de Fourier Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

Computer Vision Separabilidade Lembrando o par de Transformadas de Fourier

Computer Vision Separabilidade Ou, considerando M = N para simplificar ainda mais:

Computer Vision Separabilidade Expandindo e arrumando:

Computer Vision Separabilidade Da mesma forma, para a transformada inversa:

Computer Vision Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

Computer Vision Separabilidade Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D

Computer Vision Translação Um problema para visualizar o espectro de Fourier de Uma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0

Computer Vision Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização Pode ficar comprometida f(x,y) |F(u,v)|

Computer Vision Translação No entanto, pode-se provar que, para constantes u 0, v 0, x 0, y 0 : e

Computer Vision Translação Mas, quando M = N e u 0 = v 0 = N/2 : Substituindo (2) em (1), concluímos que:

Computer Vision Translação Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11: Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y) de sua inversa por -1 elevado a soma x + y

Computer Vision Translação No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização é claramente melhor f(x,y) |F(u,v)| sem Shift |F(u,v)| com Shift

Computer Vision Periodicidade e Simetria Conjugada A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:

Computer Vision Rotação Se introduzirmos coordenadas polares: Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:

Computer Vision Rotação Exemplo de Rotação

Computer Vision Distributividade Uma vez que: A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO Mas... A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO

Computer Vision Escala Para dois escalares a e b

Computer Vision Valor Médio

Computer Vision Valor Médio

Computer Vision Transformada do Delta de Dirac f(x) x (x) || F(w) || w 1

Computer Vision Pares importantes

Computer Vision Propriedades da transformada

Computer Vision Ainda há muita Teoria pra falar sobre a Transformada de Fourier! Mas já dá para brincar com imagens utilizando o com o MatLab!

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

Computer Vision Resultado F(0,0) = 0 Filtragem no Domínio da Frequência

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com uma função Gaussiana Passa-Baixa Passa-Alta

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com uma função Gaussiana

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Ideal Lowpass Filter (ILPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Ideal Lowpass Filter (ILPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Ideal Lowpass Filter (ILPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Butterworh Lowpass Filter (BLPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Butterworh Lowpass Filter (BLPF)

Computer Vision ILPFBLPF

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Butterworh Lowpass Filter (BLPF)

Computer Vision Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain Chapter 4 Image Enhancement in the Frequency Domain Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (BLPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (BLPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: Comparação Gaussian-Butterworth Lowpass Filters

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (GLPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (GLPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência com Gaussian Lowpass Filter (GLPF)

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: Highpass Filters

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: IHPF

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: BHPF

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência: GHPF

Computer Vision IDEAL BUTTERWORTH GAUSSIAN

Computer Vision Filtragem no Domínio da Frequência

Computer Vision Compressão JPEG Paulo Sérgio Rodrigues PEL205

Computer Vision Compressão JPEG JPEG é o anacrônico para Joint Photographic Experts Group Baseia-se nos seguintes passos: Subdivisão da Imagem em blocos de 8 x 8 pixels Quantização com a matriz de normalização Da JPEG Cálculo de DCT Codificação baseada no tamanho das variáveis Compressão Decodificação baseada no tamanho das variáveis Desquantização com a matriz de normalização Da JPEG Cálculo DCT Inversa Composição da Imagem usando os em blocos de 8 x 8 pixels Descompressão

Computer Vision Transformada Discreta de Cosseno

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 1, subdivisão da Imagem em Blocos de 8 x 8 pixels 8 x 8

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 2, Cálculo da DCT em cada Bloco Exemplo de Bloco 8 x

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 2, Cálculo da DCT em cada Bloco Shift de

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 2, Cálculo da DCT em cada Bloco

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização Matriz de Normalização JPEG

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização Suponha que um coeficiente DCT encontrado seja: T(0,0) = -415, De acordo com a matriz de quantização JPEG, o valor correspondente é Z(0,0) = 16. Sendo assim, o cálculo do novo valor, quantizado, será:

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização O principal resultado da quantização é a geração de uma matriz esparssa

Computer Vision Compressão JPEG Compressão: Passo 3, Quantização O que permite algum tipo de codificação eficiente: [ EOB] Mais de 60% de Compressão no Bloco

Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 1, Descodificação [ EOB]

Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 2, Desquantização A desquantização pode ser obtida pela inversa:

Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 3, cálculo da DCT Infersa

Computer Vision Descompressão JPEG Compressão: Passo 4, Shifting de

Computer Vision Descompressão JPEG Diferença entre a Imagem (Bloco) original e o descomprimido < 1% de erro