CURSO DE MESTRADO PROFISSIONALIZANTE EM ENSINO DE FÍSICA E DE MATEMÁTICA Modelagem Matemática: contribuições para a formação inicial de professores de matemática Professora: Larissa Rosa dos Santos Orientadora: Prof.ª Dr.ª Vanilde Bisognin

Introdução A motivação para realização deste trabalho surgiu das queixas e os anseios dos meus alunos sobre o significado da Matemática na vida das pessoas. Sabemos que a dificuldade dos alunos em Matemática é um tema que tem preocupado educadores matemáticos nos últimos tempos e eles têm apontado, em trabalhos de pesquisa, que o uso de metodologias diferenciadas pode contribuir na superação dessas dificuldades.

Assim, este trabalho teve como propósito investigar a contribuição da metodologia da Modelagem Matemática no ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos relacionados com o tema água para a formação inicial de professores de Matemática. O tema foi lançado através da apresentação de três vídeos encontrados no site www.akatu.com.br, o qual trabalha com intuito de mobilizar as pessoas a ter um consumo consciente, visando a construção da sustentabilidade da vida no planeta.

Objetivo Geral Investigar as possibilidades que a metodologia da Modelagem Matemática oferece ao ensino e a aprendizagem dos conceitos matemáticos relacionados com o tema água para alunos em formação inicial de professores de um curso de Licenciatura Matemática.

Objetivos Específicos Analisar as atividades de Modelagem Matemática, realizadas pelos alunos a partir do tema “água”, do ponto de vista da Matemática e do contexto social;   Analisar o processo seguido pelos alunos no desenvolvimento das atividades com Modelagem; Investigar as contribuições que a metodologia da Modelagem Matemática oferece ao ensino e a aprendizagem de novos conceitos matemáticos.

Abordagem Metodológica O trabalho foi ancorado em uma metodologia de pesquisa de cunho qualitativo. Os instrumentos utilizados para a coleta de dados foram: Observação Participante; Diário de Campo; Questionário.  

Para a realização do trabalho em sala de aula, seguiram-se as etapas da Modelagem Matemática propostas por Burak(2010), conforme seguem: Escolha de um tema; Pesquisa Exploratória; Levantamento dos Problemas; Resolução dos Problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema; Análise Crítica das Soluções.

Participantes da Pesquisa A pesquisa desenvolveu-se em uma turma de alunos em formação inicial do curso de Licenciatura em Matemática que estão matriculados na disciplina Projetos em Ensino de Matemática, proposta para o quarto semestre do curso. A aplicação do trabalho teve a duração de seis semanas, perfazendo um total de dezoito horas/aula. A turma era composta de seis alunos que foram divididos em dois grupos, para realizar as atividades de Modelagem Matemática.

Unidades de ensino Unidades de Ensino I Unidades de Ensino II Vídeo 1 – Planeta Água  Situações - Problema  Unidades de Ensino I Unidades de ensino Vídeo 2 – Cidadania  Vídeo 3 – E eu com isso  Situações - Problema Unidades de Ensino II 

UNIDADE DE ENSINO I 1 Situação-Problema : 2 Situação-Problema : Os alunos tentaram compreender o significado de ter apenas 0,3% de água potável no mundo. Para isso, um aluno fez a seguinte simulação: Solução 2 Situação-Problema : Os alunos após a análise e discussão dos dados, buscaram no site “mundo sustentável”mais dados sobre o tema e propuseram a seguinte situação-problema: Qual a quantidade de água utilizada pelo Mcdonald’s na produção dos hambúrgueres no dia do McLanche Feliz? Solução

UNIDADE DE ENSINO I 3 Situação - Problema: 4 Situação - Problema: Qual é a quantidade necessária por dia de água para abastecer a população santa-mariense? Solução 4 Situação - Problema: A cidade tem reserva de água suficiente para abastecer a população de Santa Maria, até quando? Solução

Solução 1: Aluno C: basta fazer uma regra de três e isto corresponde a 0,03 litros de água. Aluno B: ou seja, toda a população do mundo teria disponível apenas 0,03 litros? Professora: o que isto significa para o Brasil e o restante dos países do mundo? Aluno B: segundo a simulação proposta pelo colega, se 10 litros corresponde a toda água do mundo, quantos litros estariam disponível para o Brasil? Aluno A: de acordo com os dados constantes no vídeo, dos 0,3% de água disponível para consumo, 12% estão disponíveis no Brasil. Então, penso que devemos calcular 12% dos 0,3% que, como vimos, corresponde a 0,03 litros. 

Aluno B: mas isso é muito pouco. Aluno A: fazendo novamente uma regra de três, daria 0,0036 litros. Isto significa que toda a população do Brasil deveria viver com esta quantidade de água. Aluno B: esta água é para tudo, ou seja, consumo da população, animais, plantações etc. Aluno C: mas 10 litros de água, segundo os dados apresentados, é mais ou menos um balde de água e isto corresponde a quantas garrafas de água? Aluno A: se for uma garrafa grande que, em geral, contém 900 ml não é um litro. 

Aluno C: quantos ml correspondem os 10 litros? Aluno B: tem que usar as medidas de capacidade e isto deve corresponder a 10.000ml que dá mais ou menos 11 garrafas. Aluno A: isto corresponde a toda a água do mundo, e a água potável corresponde a quantas garrafas no mundo e no Brasil? Aluno C: só vão sobrar algumas gotas. Professora: de fato, isto impacta a todos, não? Aluno C: agora entendi porque se faz tanta campanha para economizar água. OK

Solução 2: O grupo consultou a loja local e descobriu que, em média, a loja vende 1,4 milhões de hambúrgueres e, portanto, gasta-se 8,82 milhões de litros de água, somente em um dia na rede McDonald. Aluno D: é um dado assustador, pois a água que a rede gasta em um dia daria para atender 55.471 cidadãos norte americanos. Aluno E: como você pode afirmar isso? Aluno D: de acordo com os dados, cada cidadão gasta, em média, 159 litros diários de água e, portanto, o resultado é esse. Mas os dados variam em cada pais, região, estado e cidade, pois o que é calculado é a média do consumo das pessoas. OK

Solução 3: Não foi difícil concluir que a cidade necessita, em média, 33.592.079 litros de água, pois de acordo com o PNUD para o Brasil, no RS o gasto médio diário de água por pessoa é 128,69 litros e que a população de Santa Maria é de 261.031 mil habitantes. Aluno E: comparando com o gasto da rede de fabricação de hambúrgueres, a cidade gasta, apenas, 4 vezes mais do que aquela gasta . Aluno F: isto apenas para uma única refeição. 

Os alunos foram até a CORSAN e descobriram que a cidade de Santa Maria é abastecida por três barragens: DNOS (capacidade de 3.800.000 m3), Saturnino de Brito (capacidade de 315.000 m3) e Rodolfo da Costa e Silva (capacidade de 25.000.000 m3).  Aluno D: Considerando que a capacidade de água que abastece a cidade de Santa Maria, é de 29.115.000 m3 e que cada habitante gasta em média 128,69 litros de água por dia então quantas pessoas podem dispor desta água? Aluno E: Mas, para isso, precisamos transformar a média que cada habitante gasta de água em metros cúbicos. 

Aluno F: Isso, se um decímetro cúbico equivale a um litro, temos que, 128,69 decímetro cúbico correspondem a 0,128 metros cúbicos de água por dia. Aluno D: o melhor é fazer os cálculos, considerando o gasto anual por pessoa. Se uma pessoa gasta 128,69 litros diários, isso corresponde a 46,06 m3 por ano. A partir de uma regra de três simples, os alunos concluíram que a quantidade de água armazenada para a cidade de Santa Maria pode abastecer, aproximadamente, até 632.110 pessoas durante um ano. OK

Solução 4: Os alunos construíram um modelo para analisar a variação da população da cidade e, com isso, fazer a previsão do número de habitantes para os próximos 10 anos. O modelo descrito pelo grupo foi o seguinte: 

Razão entre duas populações Tabela 1: População de Santa Maria nos anos de 2000 a 2010 Ano T População – SM Razão entre duas populações (atual e a seguinte) 2000 243.611 1,008 2001 1 245.656 1.007 2002 2 247.396 1,007 2003 3 249.211 2004 4 251.036 2005 5 252.803 1,006 2006 6 254.658 1,009 2007 7 256.215 1,005 2008 8 257.722 2009 9 259.370 2010 10 261.031 - . 2020 20 J(20)  Fonte: Fundação de Economia e Estatística do RS (http://www.fee.tche.br)

em que t=0 corresponde ao ano de 2006 e k=0,0068(média das razões). Após a análise e discussão dos dados, os alunos construíram o seguinte modelo: dJ/dt = k.J J(0)= 243.611,   em que t=0 corresponde ao ano de 2006 e k=0,0068(média das razões). Com este modelo, os alunos conseguiram fazer a previsão da população de Santa Maria para o ano de 2020. Para isso, basta tomar t=15, na equação acima, obtendo-se que, aproximadamente, a população da cidade será de 280.219 habitantes em 2020. OK

UNIDADE DE ENSINO II 5 Situação-Problema: 6 Situação-Problema: Qual é a quantidade de água usada para a lavagem de um carro? Qual é a relação do custo de uma lavagem normal e uma lavagem ecológica feita com produto que dispensa o uso de água? Solução 6 Situação-Problema: É possível que a cidade de Santa Maria tenha um desperdício de água causado pelo vazamento nos canos que abastecem cada residência? Solução

Solução 5: Após uma pesquisa realizada no site http://www.sabesp.com.br, os alunos descobriram que o volume de água gasto em quinze minutos de lavagem de um carro é de duzentos e dezesseis litros. Logo, organizaram a seguinte a Tabela 2 comparando os dados obtidos pela CORSAN, conforme mostra a seguir: 

Tabela 2: Custo do metro cúbico de água Lavagem Água(m3) Custo(R$) Total(R$) Industrial 0,216 1,79 0,39 Residencial 3,20 0,69 Ecológica - 4,62 Fonte: CORSAN O grupo conclui que o custo de um metro cúbico de água é de R$ 3,20 e, portanto, a lavagem de um automóvel custa aproximadamente R$ 0,69. 

Para responder a segunda questão, os alunos pesquisaram na internet e encontraram, no site http://www.ecocleanshine.com.br, que existe um produto com custo de R$ 370,00 e que, com cada item, é possível lavar oitenta carros. Este é um produto ecológico que não necessita de uso de água e, portanto, cada lavagem de um carro custa apenas R$ 4,62. Com estes dados, o grupo concluiu que há uma diferença de R$ 2,29 para o consumidor, mas que tem uma grande economia de água. OK

Solução 6: Na busca dos dados, os alunos descobriram que em Santa Maria existe vazamento de água em 5% das residências (CORSAN), aproximadamente, 261 mil habitantes e 87 mil habitantes (Fundação de Economia e Estatística do RS). A partir dessas informações os alunos conjecturaram: Se 5% das residências possuem vazamento de água, quanto isto representa? Se, em cada residência, há um vazamento em um cano de 2mm, como o que foi apresentado no vídeo, quanto de água é desperdiçado em uma hora em cada residência? Na situação da letra (b), qual a quantidade de água que é desperdiçada em toda a cidade? 

Para responder a primeira questão, os alunos usaram uma regra de três simples para concluir que 5% correspondem a 4350 residências. Para responder a segunda questão, os alunos raciocinaram a partir dos dados fornecidos no vídeo sobre a cidade de São Paulo, nesse momento a professora questionou: Professora: se em uma hora são desperdiçados 132,65 litros de água, quanto é desperdiçado em duas horas, e em três horas, em quatro horas? E, em 14 horas? Aluno E: é melhor construir uma tabela professora. 

Tabela 3: Relação entre horas e a quantidade de água desperdiçada Quantidade de horas Quantidade de água (Litros) 1 132,65 2 265,30 . 14 1.857,10 Fonte: Instituto Akatu - Vídeo Cidadania (www.akatu.org.br) A partir da construção da tabela 3 a professora questionou: 

Aluno F: a cada hora há um valor que representa a quantidade de água desperdiçada. Professora: a correspondência é um a um? Aluno D: sim e isto parece ser uma função. Professora: de fato, na tabela está representada uma função. É possível encontrar uma expressão algébrica para descrever a situação acima para qualquer quantidade de hora? 

De acordo com a análise dos dados da tabela, os alunos verificaram que é possível encontrar o resultado, através da função y= 132,65.x, em que x é a quantidade de horas, e y a quantidade de água, em litros, desperdiçadas. Para responder a terceira pergunta, os alunos usaram o modelo construído, concluindo que um pequeno vazamento, a cada hora, a cidade desperdiça 577.507,5 litros de água ou 577,5 m3. OK

Referências: ALMEIDA, Lourdes M. W.; ARAÚJO, Jussara L.; BISOGNIN, Eleni (Orgs.). Práticas de modelagem matemática na educação matemática: relatos de experiências e propostas pedagógicas. Londrina: Editora da Universidade Estadual de Londrina, 2011.   BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e a perspectiva sócio-crítica. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2003, Santos, Anais... São Paulo: SBEM, 2003. 1 CD-ROM. Disponível em: <http://www.uefs.br/nupemm/sipem2003.pdf>. Acesso em: 23 abr. 2011. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e os professores: a questão da formação. BOLEMA, Rio Claro, Ano 14, n.15, p.5-23, 2001. BASSANEZI, R. C; Ensino – aprendizagem com Modelagem Matemática: Uma Nova Estratégia. São Paulo: Contexto, 2002. BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática e Implicações no Ensino-Aprendizagem de Matemática. Blumenau: Furb, 1999. 

Referências: BRASIL. Ministério de Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, Brasília, 1998. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf>. Acesso em: 15 abr. 2011.   BRAUMANN, Carlos.  A Matemática e Diferentes Modelos de Formação. In: BORRALHO, A.; MONTEIRO, C.; ESPADEIRO, R.(Orgs.). A Matemática na Formação do Professor. Lisboa: Sociedade Portuguesa de Ciências da Educação. Secção de Educação Matemática, 2004. BURAK, D. Modelagem Matemática sob olhar de Educação Matemática e suas implicações para a construção do conhecimento matemático em sala de aula. In: Revista de Modelagem na Educação Matemática. v.1, n.1, p.10-27, 2010. OLIVEIRA, A. M. P.; BARBOSA, J. C.; Modelagem Matemática e Situações de Tensão na Prática Pedagógica de Professores. BOLEMA, Rio Claro, v.24, nº38, p.265 a 296, 2011. PONTE, J. P.; A modelação no Processo de Aprendizagem. In: Revista Educação e Matemática, Lisboa, v.23, p.15-19, 1992. OK