A Modelagem Matemática e o Método dos Mínimos Quadrados Mestrado Profissionalizante em ensino de Física e Matemática A Modelagem Matemática e o Método dos Mínimos Quadrados Aluno do Mestrado Rodrigo Fioravanti Pereira Colaboradores: Prof. Gilberto Orengo - UNIFRA Profª Alice Kozakevicius – UFSM

Descrição da Experiência Esta experiência didática apresenta uma atividade baseada na Modelagem Matemática em uma abordagem experimental, seguida de tratamento de dados, proposição e discussão de modelos obtidos através do Método dos Mínimos Quadrados e de recursos computacionais.

Contexto da Experiência O púbico alvo foi uma turma de oito alunos de Cálculo Numérico Computacional do Curso de Física Médica e 2 alunos do Curso de Engenharia Ambiental no Centro Universitário franciscano. UNIFRA.

Atividade desenvolvida Foi solicitado aos alunos que medissem a deformação de uma mola cada vez que fossem adicionadas massas de 23g à mola e que anotassem os resultados. Os dados obtidos pelos alunos foram organizados numa tabela. Os alunos deveriam construir um gráfico com os resultados , analisá-los e fazer conjecturas.

Objetivos da atividade Descobrir a função matemática que modela os pontos do gráfico. Trabalhar a matemática em lápis e papel e com recursos computacionais. Familiarizar-se com os softwares VCN 5.1 e Curve Expert

Experiência Uma mola foi fixada no quadro negro pela sua extremidade superior enquanto que na outra extremidade havia um gancho onde se colocavam os discos de 23g a cada etapa do experimento.

O experimento foi adaptado às condições da sala. Cada aluno observava a mola em diferentes ângulos de visão. As diferentes medidas levaram à utilização da média dos dados.

Construção da tabela Os dados coletados pelos alunos foram colocados numa tabela : MASSA (g) DEFORMAÇÃO (mm) Média 23 13 8,5 7 11 10,01 46 24 20 22 21,6 69 39 31 29 33 34 33,2 92 51 43 41 45 115 62 53,5 50 56 55 55,3 138 67 64,8 68 65,96

Os alunos não mostravam aos demais os dados que estavam apurando, assim a disparidade observada nas colunas 2 e 3 só foi diagnosticada no final das observações Construção da tabela Os dados coletados pelos alunos foram colocados numa tabela : MASSA (g) DEFORMAÇÃO (mm) Média 23 13 8,5 7 11 10,01 46 24 20 22 21,6 69 39 31 29 33 34 33,2 92 51 43 41 45 115 62 53,5 50 56 55 55,3 138 67 64,8 68 65,96

A construção do Gráfico Cada aluno construiu o seu gráfico a partir dos dados que ele próprio levantou. O professor construiu um gráfico a partir da média dos dados dos alunos.

Gráfico de dispersão Abaixo temos o gráfico de dispersão a partir da média dos dados dos alunos construído com o software Curve Expert.

Todos perceberam que se tratava de uma reta. Análise do gráfico de dispersão em busca da função que ajusta os pontos Todos perceberam que se tratava de uma reta. Questão do professor: Qual a reta que melhor ajusta os pontos? Algumas Suposições dos alunos a reta que liga o primeiro e o último ponto. a reta que passa pelo maior número de pontos. a reta que está no meio do conjunto de pontos.0 s s s s Como determinar esta reta? As respostas introduziram o assunto de Interpolação e Ajuste de Curvas

Método dos Mínimos Quadrados Consiste num processo que, conhecidos alguns valores de uma função f(x), determina uma função g(x) que melhor se aproxima daqueles valores de f(x). O critério para esta melhor aproximação dá nome ao método, a idéia é minimizar o quadrado do erro que se comete a cada ponto tabelado. A função g(x) pode ser uma combinação de funções polinomiais, exponenciais, trigonométricas, etc. s s s s

Média da elongação (mm) Aplicando o Método dos Mínimos Quadrados Considerando a massa e a média das elongações, a tabela fica assim: MASSA (g) Média da elongação (mm) 23 10,01 46 21,6 69 33,2 92 45 115 55,3 138 65,96

Desenvolvimento do Método Massa(x) Elongação(y) x² x.y 23 10,01 529 230,23 46 21,6 2116 993,6 69 33,2 4761 2290,8 92 45 8464 4140 115 55,3 13225 6359,5 138 65,96 19044 9102,48 Σ483 Σ231,07 Σ48139 Σ23116,61

Uso de dois aplicativos para a resolução da atividade

Resultado obtido através do Curve Expert

Resultado obtido através do VCN 5.1

Análise da Função Obtida Através da função g(x) = 0,4877639x - 0,75333 obtém-se uma elongação de -0,75333 para uma massa de zero gramas, o que não condiz com a realidade pois zero gramas significa que a elongação também é zero. Os alunos diagnosticaram o problema e perceberam que o erro foi causado no levantamento dos dados no início da atividade. Como o erro é pequeno, decidiram que o melhor a fazer seria desconsiderar este coeficiente, ficando a função na forma g(x) = 0,4877639x

Cálculo da massa e da elongação por meio do modelo Matemático O modelo matemático que descreve a elongação da mola em função da massa é dado pela equação g(x) = 0,4878x Pergunta-se: Qual a elongação que 40g produzirão na mola? O resultado é obtido calculando-se o valor da função para x = 40, isto é, g(40) =0,4878(40)=19,51 Portanto a elongação produzida ao colocar-se uma massa de 40g é de 19,51mm.

Quantos gramas são necessários para se obter uma elongação de 50mm? Nesse caso tem-se, 50 = 0,4877639x ou x = 50 / 0,4877639 = 102,50 Os valores encontrados são condizentes com a tabela o que indica que o modelo obtido fornece uma boa aproximação para os dados reais.

Aspectos Positivos da Experiência Visão geral do conteúdo Contextualização do conteúdo Variação na forma de apresentação dos resultados usando lápis e papel e recursos tecnológicos, Diversificação do modo de trabalhar o conteúdo Participação efetiva do aluno na realização das atividades.

Aspectos Positivos da Experiência Valorizou a produção dos alunos Permitiu a análise e superação dos erros pelos alunos Desenvoltura no uso de softwares com embasamen -to matemático consistente.