A Classe NP Teoria da Computação Profa. Sandra de Amo

Definição de NP NP = {A | A é decidida por uma M.T. M, não determinista a uma fita, tal que NTime M (n) = O(n k )} O que é NTime M (n) ? Considere um input w de tamanho n Considere a árvore de execução Arv de M em w A árvore Arv(w) é finita, pois M decide A. Considera p(w) = o comprimento do maior ramo de Arv(w) NTime M (n) = max{p(w) | |w| = n }

Verificador versus Decididor Seja A um problema. Um verificador para o problema A é uma M.T V determinista a uma fita tal que V Input w Certificado c qa se c é uma “prova” de w é input positivo de A qr se c é um “indicio” de w pode ser input negativo de A

Teorema Um problema A é NP se e somente se tem um Verificador V tal que Time V (n) = O(n k ), isto é um Verificador polinomial Veja que o fato de A estar em NP significa que tem um Decididor exponencial Isto é: decididor exponencial  verificador polinomial

Lembrando: Transformação MT Não-det em MT determinista FITA DE INPUT FITA DE CÁLCULO FITA DAS POSSIBILIDADES Serão executados 3 passos de M’ Passo 1 : opção 1 Passo 2 : opção 1 Passo 3 : opção 2

Demonstração (ida) Suponha que o problema A tenha um verificador V em tempo polinomial. Vamos construir uma M.T. N não-determinista que o decide em tempo polinomial. V pára sempre em qualquer input em um número de passos p(n), onde p = polinomio em n, n = tamanho do input w Logo, os certificados possiveis de V tem no máximo tamanho p(n), sendo portanto em um número finito. A máquina N é definida como: N = No input w faça, 1.Escolhe um string c dentre os possiveis certificados de V 2.Execute V em 3.Se V aceita, N pára em qa 4.Se V rejeita, N pára em qr Número de passos de N é polinomial, pois o tamanho de c é polinomial em n e o número de passos de V é polinomial em n.

Demonstração (volta) Suponha que o problema A seja decidível por uma máquina de Turing N, não- determinista a uma fita, em tempo polinomial. Vamos construir verificador polinomial para A. Seja a = número máximo de opções dos comandos de N Seja w um input de N de tamanho n p(n) = tamanho máximo dos ramos da árvore de execução de N ao ser executada em w. Todos os ramos são finitos e terminam em qa ou qr. Considere todos os strings c de comprimento no máximo p(n) sobre o alfabeto {1,...,a}. Cada string c representa uma possivel execução de N em w. V = No input faça 1. Execute a sequência de operações de N (em w) indicadas pelo string c, como uma escolha possivel para N 2. Se este ramo de N pára em qa, V pára em qa 3. Se este ramo de N pára em qr, V pára em qr. V é um verificador para A, em tempo polinomial, já que o string c tem comprimento polinomial em n e “dita” o número de operações a serem executadas

Classes de Complexidade P  NP NP  EXP –Toda máquina não-det N de tempo polinomial p(n) é equivalente a uma máquina det a 3 fitas M de tempo exponencial 2 O(p(n)). –Esta máquina M com 3 fitas pode ser transformada em uma outra máquina determinista com 1 fita com complexidade 2 O(p2(n)). Uma destas inclusões é estrita  –pois P  EXP Problema em aberto desde os anos 70 : qual delas ???