Núcleo Pedagógico de Jacareí Orientação Técnico-Pedagógica Formação - Escolas Prioritárias Matemática Núcleo Pedagógico de Jacareí

Níveis de proficiência estabelecidos pelo SARESP O direcionamento que daremos aqui neste tópico destinado aos níveis de Proficiência será de estabelecer uma análise das reais necessidades em que esses indicadores possam direcionar uma proposta de formação docente e posterior intervenção em sala de aula.

PROFICIÊNCIA Classificação Nível de Proficiência Descrição “Os alunos neste nível demonstram domínio insuficiente dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram.” Insuficiente Abaixo do Básico

PROFICIÊNCIA Classificação Nível de Proficiência Descrição Básico “Os alunos, neste nível, demonstram domínio mínimo dos conteúdos, competências e habilidades, mas possuem as estruturas necessárias para interagir com a proposta curricular no ano/série subsequente” Básico Suficiente “Os alunos, neste nível demonstram domínio perfeito dos conteúdos, competências e habilidades desejáveis para o ano/série escolar em que se encontram”. Adequado

PROFICIÊNCIA Classificação Nível de Proficiência Descrição Avançado “Os alunos, neste nível, demonstram conhecimentos e domínio dos conteúdos, competências e habilidades acima do requerido no ano/série escolar em que se encontram”. Avançado Avançado

Objetivos de trabalho Classificação Nível de Proficiência Insuficiente Abaixo do Básico Básico Suficiente Adequado

Para o tratamento desta problemática, iniciaremos este estudo com algumas indicações de Gerard Vergnaud em seu artigo: “O longo e o curto prazo na aprendizagem da Matemática”

Teoria dos Campos Conceituais Base Teórica: Teoria dos Campos Conceituais Vergnaud (2011) refere-se ao “longo prazo” como perspectiva de desenvolvimento, ou seja, há de se respeitar o tempo de aprendizagem do sujeito de aprendizagem e que o resultado não é instantâneo, necessita de certo período de acomodação dos conhecimentos já adquiridos. O longo prazo e o curto prazo na aprendizagem da Matemática o “curto prazo” refere-se à situação na qual o aluno está agindo em determinada situação de aprendizagem, utilizando os esquemas de ações, envolvendo as invariantes operacionais, ou seja os teoremas e os conceitos em ação, previamente estabelecidos e o professor é o ente de ligação, que lhe dá condições para facilitar e guiar o processo de aquisição.

Piaget e Vergnaud Para Vergnaud, Piaget reduz seu estudo às estruturas lógicas gerais, independentes do conteúdo do conhecimento: “complexidade lógica geral”. Piaget não trabalhou em contextos escolares, centro de interesse de Vergnaud. Vergnaud retoma os princípios de Piaget, porém adota como referência o conteúdo do conhecimento.

Considerou-se um epistemólogo genético porque investigou a natureza e a gênese do conhecimento nos seus processos e estágios de desenvolvimento. Fonte: PORTAL EDUCAÇÃO - Cursos Online : Mais de 1000 cursos online com certificado  http://www.portaleducacao.com.br/psicologia/artigos/26650/principios-sobre-o-desenvolvimento-para-jean-piaget#ixzz2gZMDWmQj

Vergnaud (1994), define Campo Conceitual, da seguinte maneira: um conjunto de situações cujo tratamento implica esquemas, conceitos e teoremas em estreita relação, assim como representações linguísticas e simbólicas que podem utilizar-se para simbolizá-los. (VERGNAUD, 1994, p. 75)

a proposta de Vergnaud é que se identifique, valorize e estude as ações dos estudantes no momento em que eles estão resolvendo problemas, pois é nesse momento que os conceitos e conhecimentos traduzidos em forma de invariantes implícitos, isto é quando aparecem os esquemas de ação do sujeito, formando assim os elementos constitutivos dos esquemas desses alunos, e que o esquema é “uma espécie de modo finalizado pela intenção do sujeito e estruturado pelos meios que este emprega para alcançar seu objetivo” Vergnaud e Laborde (1994, p. 68).

Mapa Conceitual

Para Vergnaud, esquema é o conceito mais importante da psicologia cognitiva, quando se trata em teorizar sobre ação e atividade, pois a maior parte de nossas atividades cognitivas é efetuada através de esquemas. Esquema Conceito Invariantes Pensar é um gesto, sob o aspecto de produzir sequências de ações, ou operações sob certas circunstâncias, com objetivos, ou sub-objetivos, de agrupar informações e processá-las

Esquema Vergnaud, (1998), destaca quatro características principais em um esquema: Objetivos e antecipações; Regras de ação, procura de informação e controle; Invariantes Operacionais (conceitos em ação e teoremas em ação), que pilotam o reconhecimento pelo sujeito dos elementos pertinentes da situação e da coleta de informações sobre a maneira da situação a tratar. Possibilidades de Inferências;

- Conjunto de esquemas postos em prática - Conjunto de invariantes utilizáveis na ação. - Neste caso não se discute a validade ou não de um conceito, mas sim o uso de palavras, enunciados e signos. - Isto leva a considerar que um conceito é uma tríade dos conjuntos: C= (S, I, R) Conceito

Tríade (S,I,R) S: é o conjunto das situações que dão sentido ao conceito (a referência); I: é o conjunto de invariantes sobre os quais descansa a operacionalidade dos esquemas (os significados); R: é o conjunto de formas linguísticas e não linguísticas que permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações e os procedimentos de tratamento (os significantes).

Invariantes operatórios Conceitos em ação. Teoremas em ação.

Conceitos em ação. Conceitos em Ação são relevantes ou não ou são parcialmente relevantes para identificar e selecionar a informação, porém relevância ou irrelevância não significam: verdadeiro ou falso, não há significado em dizer que os conceitos do triângulo, ou número, ou simetria ou operação escalar, ou transformações são, elas mesmas, verdadeiras ou falsas; e ainda estes conceitos são conceitos matemáticos relevantes para caracterizar representação e ação em tarefas matemáticas.

Teoremas em Ação são definidos como relações matemáticas que devem ser levados em consideração pelos alunos quando eles escolhem uma operação ou uma sequência de operações para resolver um problema. Estas relações geralmente não são expressas verbalmente pelos alunos. Assim, Teoremas em Ação não são teoremas de senso convencional porque a maioria deles não são explícitos. Teoremas em ação

Teoremas em ação Portanto, teoremas em ação, são formas de analisar as estratégias intuitivas dos alunos e consequentemente ajudá-los à transformar conhecimento intuitivo em conhecimento explícito e também oferecer um caminho para diagnosticar o conhecimento do aluno e assim oferecer situações que permitirão consolidar seu conhecimento.

Campo Conceitual das Estruturas Aditivas

Aditiva:  Composição de Medidas;  Transformação de Medidas;  Comparação de Medidas. Multiplicativa:  Multiplicação;  Divisão por Partes;  Divisão por Cotas.

[...] o campo conceitual das estruturas aditivas é simultaneamente o conjunto de situações cujo tratamento implica uma ou várias adições ou subtrações, é o conjunto de conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas. São elementos das estruturas aditivas, os conceitos de cardinal, medida, transformação, temporal por aumento ou diminuição, relação de comparação qualitativa, inversão. (VERGNAUD, 1990, p. 146.) Definição.

Segundo Vergnaud (1991) as relações aditivas são relações ternárias que podem ser articuladas de diversas maneiras e oferecer uma grande variedade de estruturas aditivas. O autor identifica seis esquemas ternários básicos, elencados a seguir. Categorias

Duas medidas se compõem para dar lugar à outra medida; (composição protótipo); Tipologia: Nesta categoria estão essencialmente os problemas de reunião ou do desmembramento de coleções com valores mensuráveis. De acordo com que se pede, o todo ou uma das partes, a operação associada será uma adição ou uma subtração. Categorias Composição de duas medidas em uma terceira

© Alex Sandro Gomes e José Castro Filho Composição de Medidas Ex.: Paulo tem seis bolas de vidro e oito de aço. Quantas ele tem ao todo? 6 8 14 © Alex Sandro Gomes e José Castro Filho

Categorias Relação de transformação de estados Uma transformação opera sobre uma medida para dar lugar a uma outra medida Tipologia: Esta categoria trata de enunciados que descrevem as situações que são desenvolvidas frequentemente no tempo, em que é possível identificar um estado inicial, uma transformação (positiva ou negativa) e que opere sobre estado para chegar a um estado final. Esta estrutura define ainda outras seis categorias de problemas, segundo o tipo de transformação: positiva ou negativa e se a busca leva a um estado final ou um estado inicial.

Transformação de estados +4 7 11 Paulo tinha sete bolas antes de jogar. Ele ganhou quatro. Quantas ele tem agora ? © Alex Sandro Gomes e José Castro Filho

Uma relação que une duas medidas. Categorias Relação de comparação aditiva Uma relação que une duas medidas. Tipologia: Aqui temos dois estados relativos a duas medidas mensuráveis ou localizáveis, se comparam de maneira aditiva, onde uma das medidas desempenha um papel de referente a outra referido. A relação se enuncia mediante as expressões “a mais” ou “a menos”.

© Alex Sandro Gomes e José Castro Filho Relação entre Medidas 8 Paulo tem oito bolas. José tem cinco bolas a menos. Quantas bolas tem José ? -5 3 © Alex Sandro Gomes e José Castro Filho

Categorias Composições de transformações duas transformações se compõem para dar lugar a uma terceira transformação. Tipologia: Duas transformações ou mais se aplicam entre si entre estados desconhecidos (pois se forem conhecidos, cairiam na família de “relações de transformações”). A transformação única, composta por estas transformações, permite transformar o estado inicial no estado final obtido após a aplicação de todas as transformações implicadas.

Composição de Transformações Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ? +6 -9 -3 © Alex Sandro Gomes e José Castro Filho

Categorias Transformação de uma relação Uma transformação opera sobre um estado relativo (uma relação) para dar lugar a um estado relativo.

Transformação de Relações -6 +4 -2 Paulo devia seis bolas a Henrique. Ele deu-lhe quatro. Quantas ele deve agora ? © Alex Sandro Gomes e José Castro Filho

Categorias Composição de duas transformações Dois estados relativos (relações) se compõem para dar lugar a um estado relativo. Tipologia: Estes dois últimos casos podem ser descritos de maneira análoga às duas primeiras categorias. Não existe nenhum tipo de problema, destas duas últimas categorias, que pode ser aplicado nas séries iniciais do ensino fundamental.

Composição de Transformações Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ? +6 -9 -3 © Alex Sandro Gomes e José Castro Filho

Campo Conceitual das Estruturas Aditivas Quadro Resumo Campo Conceitual das Estruturas Aditivas COMPOSIÇÃO Parte X B A Todo Protótipo Em um jardim encontramos rosas e cravos, contaram-se 10 rosas e 12 cravos, qual é o total de rosas e cravos deste jardim? Parte B X A Todo 1ª Extensão Em um jardim foram contadas 22 flores entre cravos e rosas, destas flores 12 eram cravos, quantas rosas existiam no jardim?

Campo Conceitual das Estruturas Aditivas Quadro Resumo Campo Conceitual das Estruturas Aditivas TRANSFORMAÇÃO X T I Protótipo Em um dado momento de um campeonato, uma equipe possuía 20 pontos, ao vencer um jogo ela acumulou 3 pontos. Qual é a pontuação desta equipe neste momento do campeonato? F I X 1ª Extensão Luzia tinha 4 figurinhas, participou de um jogo de bafo e no final do jogo ficou com 10 figurinhas. O aconteceu no jogo? T -t X F 2ª Extensão Paulo comprou 10 quilos de arroz para sua casa e verificou que ficou com 40 quilos de arroz. Qual era o seu estoque inicial?

Problemas Mistos COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Nesta classe de problemas existe a composição de transformações, sendo que uma medida sofre uma transformação, que resulta em uma transformação intermediária e posteriormente sofre outra transformação resultando em estado final.

Problemas Mistos COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na segunda partida?

Problemas Mistos COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na segunda partida? 1º Aspecto do pensamento. Um raciocínio que pode ser utilizado aqui seria o princípio da equivalência, da seguinte maneira: se na primeira partida ele ganhou 7 bolinhas, para saber o quanto ele tinha anteriormente basta subtrair 7 bolinhas, ou seja, anulamos os resultados.

Problemas Mistos COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na segunda partida?

Problemas Mistos COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na segunda partida? 2º Aspecto do pensamento. Se anteriormente havíamos subtraído 7 para sabermos o quanto ele tinha de bolinhas ao iniciar a partida, então o valor relativo da primeira transformação é -7 e se na segunda partida ele perdeu 2 (-2), então a composição das medidas relativas é -9, que é o número relativo que representa o valor de x, pois (-9) + (+7) = (-2)

Problemas Mistos COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na segunda partida?

Problemas Mistos COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas, ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na segunda partida?

Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas

As relações multiplicativas básicas, segundo Vergnaud (1991), não são relações ternárias, elas são quaternárias, pois os problemas mais simples de multiplicação e divisão implicam na proporção simples de duas variáveis uma em relação a outra. As relações multiplicativas estão divididas em dois grandes grupos; o isomorfismo de medidas e o produto de medidas. Definição.

As relações quaternárias, segundo Vergnaud (1991), são as mais utilizadas na escola primária, quando se introduz a multiplicação e fazem parte da formação da grande maioria dos problemas de tipo multiplicativo. Como o próprio diz, elas se relacionam entre si através de quatro quantidades, sendo as duas primeiras medidas de certo tipo que se relacionam com duas de outro tipo de medidas. Pertencem à classe das relações quaternárias os problemas de isomorfismos de medidas, ou seja, os problemas de multiplicação, a divisão como partição, a divisão como quotição e a quarta proporcional

Já as relações ternárias, consistem em relações entre três quantidades, de tal forma que uma é o produto das outras duas, ou seja, o produto de medidas, tanto no plano numérico como no plano dimensional, estão inseridos neste contexto os problemas que dizem respeito ao produto cartesiano, proporções múltiplas e comparação multiplicativa.

RELAÇÕES QUATERNÁRIAS Categorias Isomorfismo de Medidas. RELAÇÕES QUATERNÁRIAS 1 3 10 X Pacotes Bombons Tenho 3 pacotes de bombons, com 10 bombons cada. Qual é a minha quantia total de bombons? Multiplicação Multiplicou por 10 1 3 10 X Multiplicar por 3 (30) Multiplicou por 3 Multiplicar por 10 (30)

RELAÇÕES QUATERNÁRIAS Categorias Isomorfismo de Medidas. RELAÇÕES QUATERNÁRIAS 1 4 40 x Carrinho Valor Pela compra de 4 carrinhos, Carlos gastou R$ 40,00. Quanto ele gastou em cada carrinho? Divisão como partição Multiplicar por 10 (10) 1 4 40 x Dividir por 4 (10) Multiplicou por 4 Multiplicou por 10

RELAÇÕES QUATERNÁRIAS Categorias Isomorfismo de Medidas. RELAÇÕES QUATERNÁRIAS 1 6 30 x Pacotes Valor Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar alguns pacotes de bombons que custam R$ 6,00 cada pacote. Qual é a quantidade de pacotes que Pedro irá comprar? Divisão como quota Multiplicou por 6 1 6 30 x Multiplicar por 5 (5) Multiplicou por 5 Dividir por 6 (5)

RELAÇÕES QUATERNÁRIAS Categorias Isomorfismo de Medidas. RELAÇÕES QUATERNÁRIAS Tenho 3 pacotes de bombons, com 10 bombons cada. Qual é a minha quantia total de bombons? 1 3 10 X Multiplicação Pela compra de 4 carrinhos, Carlos gastou R$ 40,00. Quanto ele gastou em cada carrinho? 1 4 40 x Divisão como partição Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar alguns pacotes de bombons que custam R$ 6,00 cada pacote. Qual é a quantidade de pacotes que Pedro irá comprar? 1 6 30 x Divisão como quota

RELAÇÕES QUATERNÁRIAS Categorias Isomorfismo de Medidas. RELAÇÕES QUATERNÁRIAS Para executar certo serviço em 6 horas, necessito de 4 funcionários. Quantos funcionários serão necessários para executar este mesmo serviço em 3 horas? 6 3 4 X Tempo (h) funcionários Quarta Proporcional 6 3 4 X Dividiu por 2 Multiplicar por por 2 “metade” de 6 “dobro” de 4 = 8

Categorias Produtos de medidas Proporções múltiplas RELAÇÕES TERNÁRIAS Uma dada receita foi descrita da seguinte maneira: para cada copo de leite são necessários 3 ovos, e para cada ovo são necessários 2 xícaras de farinha. Pretende-se fazer esta receita com 2 copos de leite, quantas xícaras de farinha serão necessárias? Proporções múltiplas Copo de leite Ovos Xícaras de farinha Taxa: x 3   1 3 Taxa: x 2 2 6 X= 12

Categorias Produtos de medidas Produto Cartesiano - Bilinearidade RELAÇÕES TERNÁRIAS Um parque de diversão cobra 2 reais para brincar em qualquer brinquedo por 1 hora. Maria quer levar seus três filhos para brincar no parque por quatro horas. Quanto ela pagará? Produto Cartesiano - Bilinearidade Crianças Horas 3 4 Par: (criança x horas) 3 x 4 Taxa: x 2 Valor a pagar x

Categorias Produtos de medidas Produto Cartesiano RELAÇÕES TERNÁRIAS Em uma sorveteria, o sorvete de uma bola pode ser servido em casquinha ou copinho. Existem quatro variedades de sabores: menta, baunilha, chocolate ou morango. De quantas maneiras diferentes podemos montar um sorvete de uma bola. Produto Cartesiano R= {a,b}, (sendo a= casquinha e b= copinho) o conjunto dos recipientes S= {c, d, e, f}, (c= menta, d= baunilha, e=chocolate, f=morango) o conjunto dos sabores   R S c d e f a (a,c) (a,d) (a,e) (a,f) b (b,c) (b,d) (b,e) (b,f)

Categorias Produtos de medidas Espaço Contínuo RELAÇÕES TERNÁRIAS Em uma sala de aula em formato retangular, existem 8 filas de carteiras, com 5 carteiras cada. Quantas carteiras a sala possui? Espaço Contínuo Par (horizontal x vertical) = nº de carteiras na horizontal x nº de carteiras na vertical

Comparação multiplicativa Categorias Comparação multiplicativa RELAÇÕES TERNÁRIAS Comprei uma boneca por R$ 21,00 e uma bola por R$ 3,00. Quantas vezes a boneca foi mais cara que a bola? A B Referido Referente ÷? Relação

Comparação multiplicativa Categorias Comparação multiplicativa RELAÇÕES TERNÁRIAS Comprei uma bola por R$ 3,00 e comprei uma boneca 7 vezes mais cara que a bola. Quanto custou a boneca. x B Referido Referente X 7 Relação

O conceito de esquema aliado aos invariantes operatórios, são os pontos centrais da Teoria dos Campos Conceituais, nesta teoria o conceito de esquema se refere à organização estrutural das ações do sujeito frente a uma dada classe de situações e possuem duas características distintas, a primeira dá o sentido organizador do esquema, pois é ele que organiza e dá sentido às ações, a outra caracteriza a dinâmica do esquema como assimilador e antecipador, pois ele pode mudar sua significação e se transformar no decurso das ações.

Referências bibliográficas. VERGNAUD. G. - A Teoria dos Campos Conceptuais: in Didáctica das Matemáticas, Brun, J (Dir), Lisboa: Instituto Piaget, 1996, 280 p., Cap. 3, 155-191 ____________ A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education, in Journal of Mathematical Behavior, 17, vol. 2, pp 167 – 181, 1998. ____________. - El Niño, las Matemáticas y la Realidad, México: Editorial Trilhas, 1991. YAMANAKA.O.Y - Um Estudo sobre a Introdução Algébrica nas Séries Iniciais – 2009. 156 f. Dissertação ( Mestrado Acadêmico) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2009.

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