TRIÂNGULO DE PASCAL 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL 1) O primeiro e o último elementos de cada são iguais a 1 2) Combinações complementares Observe a seguinte linha do triângulo 1 7 21 35 35 21 7 1 Generalizando
3) Relação de Stifel: Considere as seguintes linhas do triângulo: Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1 Linha 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 6 + 15 = 21 20 + 15 = 35 Generalizando Exemplos
4) Soma dos termos de cada linha: 1 1 = 20 1 + 1 2 = 21 1 + 2 + 1 4 = 2² 1 + 3 + 3 + 1 8 = 2³ 16 = 24 1 + 4 + 6 + 4 + 1 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 32 = 25 Considerando que cada linha do triângulo é formada pelas combinações de um número natural, podemos concluir:
Potenciação de binômios – Binômio de Newton Observe o que ocorre com desenvolvimento de (a+b)n, sendo “n” um número natural. (a + b)0 = 1 1 (a + b)1 = a + b 1 1 (a + b)2 = a² + 2 ab + b² 1 2 1 (a + b)³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³ 1 3 3 1 (a + b)4 = a4 + 4 a³b + 6 a²b² +4 ab³ + b4 1 4 6 4 1 (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a³b² + 10 a²b³ + 5 ab4 + b5 1 5 10 10 5 1 (a +b)6 = a6 + 6 a5b + 15 a4b² + 20 a³b³ + 15 a²b4 + 6 ab5 + b6 1 6 15 20 15 6 1 Considerando que os coeficientes binomiais são combinações simples, podemos generalizar o desenvolvimento da seguinte forma:
Observações: 1) O desenvolvimento de (a +b)n possui n + 1 termos; 2) Os coeficientes binomiais, que são combinações simples podem ser escritos de duas formas, observe: Exemplo: 3) No desenvolvimento dos binômios (a + b)n e (b + a)n, encontramos os mesmos coeficientes.
Soma dos coeficientes do desenvolvimento de um binômio: Considere o desenvolvimento do binômio (2a + 3b)4 : Soma dos coeficientes = 16 + 96 + 216 + 216 + 81= 625 (2 + 3)4 = 54 = 625