SIMPLEX ANÁLISE COMPLETA ANDERSON BESTETTI 1, EDUARDO RIGHES 1, EVERTON FONTOURA 2, GUILHERME LAZZARI 3, RODRIGO SCHRAMM 3, ROGERIO MARTINS 4 1 {anderson.bestetti, 2 3 {guila, 4 UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS - UNISINOS CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGICAS PROGRAMAÇÃO EM PESQUISA OPERACIONAL PROFESSOR: ARTHUR TORGO GOMEZ

SOLUÇÃO EXATA PARA OS MODELOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR modelo de programação linear (PL) solução ótima encontra-se em um ponto extremo Problema: pode existir muitos pontos extremos Como obter soluções viáveis básicas do sistema de equações? Como evitar o teste de todas as soluções viáveis básicas possíveis para garantir a otimização do sistema? SOLUÇÃO = ALGORITMO SIMPLEX

O ALGORITMO PRIMAL SIMPLEX Seqüência de passos para a solução de sistemas de equações lineares sujeitos a uma função objetivo Dispõe de três situações a principio: O método de inversão da matriz básica m x m deduzida a partir de A, uma matriz de restrições m x n. As regras de troca de variáveis dentro da matriz básica, para que exista garantia de uma continua melhoria da solução ao longo do desenvolvimento dos passos do algoritmo. As regras de parada do algoritmo e a interpretação dessa situação final.

ALGORITMO SIMPLEX (continuação) resolução do primeiro aspecto = usa-se operações elementares – Permite-se com o uso dessa técnica que o esforço de inversão já gasto anteriormente seja aproveitado a cada passo do algoritmo. segundo critério aborda a escolha da variável com maior contribuição terceiro critério abrange o teste de parada

O QUADRO SIMPLEX (TABLEAU) uso de formato tabular para o desenvolvimento do algoritmo simplex Passos do simplex: 1.Definir o Simplex, através de um conjunto de restrições ; 2.Escolher um dos vértices do Simplex como ponto inicial (qualquer ponto é uma solução viável); 3.Mover o ponto ao longo dos vértices adjacentes de modo a encontrar o melhor vértice vizinho ( uma solução melhor do que a atual); 4.Critério de parada: quando não existir nenhum ponto vizinho que leve a uma solução melhor do que a atual.

CONDIÇÕES PARA APLICAR O ALGORITMO SIMPLEX forma restrita e normal normal: todas as restrições técnicas são expressas na forma de igualdades restrita: cada restrição técnica tenha pelo menos um parâmetro com sinal positivo que não aparece em nenhuma outra restrição técnica.

EXEMPLO FORMA NORMAL MaximizarZ = 2 x x 2 Sujeito a6 x 1 - x 2 <= x x 2 <= 8 x 1 e x 2 = 0 FORMA NORMAL => introduzindo-se variáveis de folga ( f 1 e f 2 ) MaximizarZ = 2 x x 2 Sujeito a 6 x 1 - x 2 + f 1 = x x 2 + f 2 = 8 x 1, x 2, f 1 e f 2 = 0 Para resolver o problema pelo Simplex é preciso transcrevê-lo para uma tabela denominada de "tableau"

TABLEAU A vantagem deste formato é que uma solução inicial viável pode ser determinada imediatamente; basta zerar as variáveis de decisão, no caso x 1 e x 2. Maximizar Z = 2 x x 2 Sujeito a f 1 = x 1 + x 2, se x 1 e x 2 = 0 f 1 = 2 f 2 = x x 2, se x 1 e x 2 = 0 f 2 = 8 x 1, x 2, f 1 e f 2 0 ====> TABLEAU

PREENCHIMENTO DO QUADRO primeira linha = variáveis de decisão do problema (x j ) segunda linha = valor da função objetivo e dos pesos correspondentes às variáveis de decisão ( c j ); demais linhas = representadas as restrições técnicas. Primeira Linha x 1 x 2 Segunda Linhaz f f É importante observar que o "tableau" representa uma solução básica viável onde as variáveis da base tem valor zero ( x 1 e x 2 ) e as variáveis não básicas ( f 1 e f 2 ) tem seus valores definidos na coluna à direita ( 2 e 8, respectivamente).

MUDANÇA DE BASE Escolha da Variável que Saí da Base Escolha da Variável que Entra na Base Primeira Linha x 1 x 2 Segunda Linhaz f f

PIVOTAMENTO O valor escolhido portanto é -6, sendo denominado de pivô. O passo seguinte é fazer a operação de pivotamento que consiste em tirar da base a variável escolhida ( x 1 ) e colocar em seu lugar a variável não básica pertencente a linha do pivô ( f 1 ). – Este procedimento consiste em aumentar o valor da variável que vai sair da base até que o valor do pivô fique igual a zero. f 1 = 2 – 6x 1 + x 2 x 1 = (1/3) + (1/6)x 2 – (1/6)f 1 Nas restricões: f 2 = x 1 – 4 x 2 = 8 + 3( (1/3) + (1/6)x 2 – (1/6)f 1 ) – 4 x 2 = 9 - (7/2) x 2 - (1/2) f 1 Na função objetivo : z = 2 x 1 – 4 x 2 = 2((1/3) + (1/6)x 2 – (1/6)f 1 ) – 4 x 2 = 2/3 – (11/3) x 2 – (1/3) f 1

SOLUÇÃO FINAL Primeira Linha f 1 x 2 Segunda Linha z 2/3 -1/3 -11/3 x 1 1/3 -1/6 1/6 f /2 - 7/2 Esta sequência de operações referenta a mudança de base é repetida até que a segunda linha do tableau contenha apenas valores negativos associados as variáveis da base. Isto significa que não é mais possível melhorar o valor da função objetivo. O tableau acima, portanto, representa o valor ótimo que corresponde a: x 1 = 1/3, x 2 = 0, f 1 = 0, f 2 = 9 e z = 2/3.

SOLUÇÃO GERAL Maximizar Z = x 1 + x 2 + x 3 Sujeito a 2 x 1 + x 2 - x 3 10 x 1 + x x x 1 + x x 3 = 60 x 1, x 2 e x 3 0 Acrescentado as variáveis de folga, obtem-se: 2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10 x 1 + x x 3 - f 2 = 20 2 x 1 + x x 3 = 60

VARIÁVEIS AUXILIARES 2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10 x 1 + x x 3 - f 2 + w 1 = 20 2 x 1 + x x 3 + w 2 = 60 solução básica obtida => f 1 = 10, w 1 = 20, w 2 = 60 demais variáveis tem valor zero. Para aplicar o método Simplex as variáveis auxiliares devem sser eliminadas e a solução básica deve ser mantida. feito através dos métodos do M Grande ou da Função Objetivo Auxiliar.

MÉTODO DO M GRANDE Maximizar Z = x 1 + x 2 + x 3 – M 1 w 1 – M 2 w 2 Sujeito a 2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10 x 1 + x x 3 - f 2 + w 1 = 20 2 x 1 + x x 3 + w 2 = 60 x 1, x 2, x 3, f 1, f 2, w 1 e w 2 0

MÉTODO DA FUNÇÃO OBJETIVO AUXILIAR Maximizar Z = x 1 + x 2 + x 3 Sujeito a 2 x 1 + x 2 - x 3 10 x 1 + x x x 1 + x x 3 = 60 x 1, x 2 e x 3 0 Acrescentado as variáveis de folga e auxiliares, obtem-se: 2 x 1 + x 2 - x 3 + f 1 = 10 x 1 + x x 3 - f 2 + w 1 = 20 2 x 1 + x x 3 + w 2 = 60 Colocando-se em evidência as variáveis auxiliares nas restrições obtem-se: w 1 = 20 - x 1 - x x 3 + f 2 w 2 = x 1 - x x 3 W = - w 1 - w 2 = x 1 + 2x x 3 - f 2

FUNÇÃO OBJETIVO AUXILIAR (CONTINUAÇÃO) Primeira Linha x 1 x 2 x 3 f 2 Segunda Linha - W f w w

CASOS ESPECIAIS Degeneração e Ciclagem Múltiplas soluções ótimas