Resultados de Medições Indiretas

Motivação b ± u(b) Como estimar a incerteza do valor de uma grandeza que é calculada a partir de operações matemáticas com os resultados de outras grandezas medidas? c ± u(c) A = b . c u(A) = ?

Medições indiretas Considerações Preliminares: O valor do mensurando é determinado a partir de operações matemáticas envolvendo resultados de duas ou mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: A área de um terreno calculada através do produto entre sua largura pelo seu comprimento. Determinação da corrente elétrica multiplicando a queda de tensão sobre um resistor pelo valor da sua resistência.

O Modelo Matemático É necessário um modelo matemático que relacione as grandezas de entrada com o valor do mensurando. Exemplos: A = l . h V = d / t

Dependência estatística e correlação Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes ou não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não guardam nenhum tipo de sincronismo com as da segunda. Exemplo: a temperatura da água do mar na praia da Joaquina e a cotação do Dólar.

Dependência estatística Duas variáveis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes ou correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de forma sincronizada com as variações aleatórias da segunda. Exemplos: Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar. A temperatura da água do mar em duas praias próximas.

Correlação direta Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável.

Correlação inversa Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal forma que: (a) o aumento aleatório do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de uma redução proporcional da segunda variável. (b) a redução aleatória do valor da primeira variável aleatória é acompanhado de um aumento proporcional da segunda variável.

Analogia da Gangorra ... A C B C B A A e B possuem correlação direta A e C possuem correlação inversa B e C possuem correlação inversa

Coeficiente de Correlação sendo (X,Y) o coeficiente de correlação entre X e Y cov(X, Y) a covariância entre X e Y X o desvio padrão da variável aleatória X Y o desvio padrão da variável aleatória Y

Estimativa do Coeficiente de Correlação sendo r(X, Y) estimativa do coeficiente de correlação para X e Y xi e yi i-ésimo par de valores das variáveis X e Y valores médios das variáveis X e Y n número total de pares de pontos das variáveis X e Y

Correlação direta e inversa Correlação direta perfeita: ρ(X, Y) = +1,00 Correlação inversa perfeita: ρ(X, Y) = -1,00 Ausência total de correlação ρ(X, Y) = 0,00

Correlação entre múltiplas variáveis aleatórias B C D A B C D A B C D +1 -1

Nas medições indiretas há boas chances de correlação quando: Há erros sistemáticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de influência age fortemente em ambos processos de medição; Ambas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração ou muito tempo após a calibração ter sido realizada.

Nas medições indiretas há boas chances de não haver correlação se: Ambos os sistemas de medição foram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; Distintos sistemas de medição são utilizados em condições em que não há uma mesma grandeza de influência presente que possa afetar significativamente ambos os processos de medição.

Estimativa da Incerteza Combinada em Medições não Correlacionadas (MNC)

Caso Geral de MNC = coeficiente de sensibilidade Podem ser calculados analitica ou numericamente

Exemplo: Adição de MNC mT = m1 + m2 MNC 2 1 m1 = (1000 ± 6) g u(mT) = 5 g m2 = (2000 ± 8) g U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g u(m1) = 6/2,0 = 3 g mT = (3000 ± 10) g u(m2) = 8/2,0 = 4 g

Exemplo: Subtração de MNC mC = m2 – m1 MNC 1 2 u(mC) = 5 g m1 = (1000 ± 6) g m2 = (2000 ± 8) g U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g mC + m1 = m2 mC = (1000 ± 10) g

Exemplo: Divisão de MNC Determine a corrente elétrica que passa por um resistor de (500,0 ± 1,0)  sobre o qual foi medida uma queda de tensão de (150,0 ± 3,0) V. I R u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V

Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

Valor da corrente elétrica: U(I) = 2,000 . u(I) U(I) = 2,000 . 0,003014963 = 0,006029925 A I = (0,300  0,006) A I = (300  6) mA

Exemplo: Caso Geral de MNC Na determinação da massa específica (ρ) de um material usou-se um processo indireto, medindo-se em um laboratório, com uma balança, a massa (m) de um cilindro cujo diâmetro (D) e altura (h) foram determinados por um micrômetro e um paquímetro respectivamente. Após a compensação dos erros sistemáticos, foram encontrados os seguintes resultados e os respectivos números de graus de liberdade para cada grandeza de entrada:

Medições Realizadas Para a massa: m = (1580 ± 22) g νm = 14 Para o diâmetro: D = (25,423 ± 0,006) mm νD = ∞ Para a altura: h = (77,35 ± 0,11) mm νh = 14 h D

Massa Específica h D

Considerando que as medições foram efetuadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas foram compensadas, é muito provável que as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeficiente t de Student: u(m) = U(m)/t14 = 22/2,195 = 10,023 g u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,195 = 0,0501 mm

Cálculo da incerteza combinada

Cálculo do número de graus de liberdade efetivos

Valor da massa específica: U() = 2,195 . u() U() = 2,195 . 0,000256765 = 0,000563598 g/mm3  = (0,04024  0,00056) g/mm3

Estimativa da Incerteza Combinada de Medições Correlacionadas (MC)

Caso Geral = coeficiente de sensibilidade Pode ser calculado analitica ou numericamente

Medições correlacionadas e não correlacionadas Para múltiplos termos: C D B A G = A + B + C + D r A B C D +1 -1

Medições correlacionadas e não correlacionadas

Medições correlacionadas e não correlacionadas

Correlação parcial com r(h, α) = -0,5

Bibliografia Albertazzi, A., Souza, A. R. “FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA E INDUSTRIAL”. 407p., Editora Manole, 2008. Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, 2003 SI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf VIM 2008 - VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/VIM_2310.pdf