Determinação das características geométricas de superfícies planas

Apresentação da aula Introdução Baricentros e centróides Momentos de primeira ordem ou momentos estáticos Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia Produtos de inércia Translação de eixos Rotação de eixos Momentos e eixos principais de inércia Exemplos numéricos

1. INTRODUÇÃO disciplinas Resistência dos Materiais e Análise de Estruturas : cálculo de esforços internos e externos resultantes de ações aplicadas nas estruturas deslocamentos e tensões características geométricas das superfícies planas formadas pelas seções transversais das barras

Viga em balanço Análise de Estruturas equaciona o problema de determinação da flecha f na extremidade da barra:   função proporcional à ação P aplicada e ao comprimento da peça L e inversamente proporcional à capacidade de deformação do material (representada pelo módulo de elasticidade E) e também ao denominado Momento de Inércia I, uma característica geométrica da seção transversal 

Baricentros e centróides Superfície de espessura constante Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔP O peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por: sendo que, no limite:

Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos , ou sejam: Levando tais expressões ao limite, tem-se: Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:   onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem com as do Baricentro.

Momentos de primeira ordem ou momentos estáticos As integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do Centróide recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relação aos eixos y e x, respectivamente, cuja notação é expressa por:   Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia aos momentos dos pesos, como momentos das áreas em relação aos eixos coordenados, motivo pelo qual são denominadas Momentos Estáticos.

VARIAÇÃO DE SINAIS DOS MOMENTOS ESTÁTICOS Dependendo da posição do eixo escolhido, o resultado numérico do Momento Estático pode apresentar sinais distintos ou mesmo se anular, conforme pode ser observado no exemplo da figura.

Momentos de segunda ordem ou momentos de inércia De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas expressões contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo são denominadas Momentos de Segunda Ordem ou Momentos Inércia em relação aos eixos x e y respectivamente, em notação dada por: Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se que é um problema de integração dupla. Para calculá-las, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:

FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA      

De maneira análoga, para o eixo y: Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura:   onde Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas. De maneira análoga, para o eixo y: b h x y

Produtos de inércia Outra característica geométrica de importância para utilização nos itens que se seguem, denomina-se Produto de Inércia, definido pela integral dada por:   A exemplo dos momentos estáticos, é fácil verificar que seu resultado apresenta variação de sinais, conforme mostra a figura, dependendo da posição que a área se encontrar em relação aos eixos (x,y). y x (x,y) (-x,y)

Para exemplificar, calcula-se a seguir o Produto de Inércia do retângulo da figura, aproveitando-se os parâmetros utilizados para o cálculo de Ix. Nesse caso basta substituir a função na fórmula de integração dupla, ou seja:   Para outra posição de eixos coordenados passando pelo Centróide, é fácil verificar que o resultado de Ixy é zero, face à simetria e ao produto dos sinais indicados nos respectivos quadrantes.   b h - +   + - x' y'

Translação de eixos Demonstra-se que é possível estabelecer uma relação entre Momentos de Inércia localizados em relação aos eixos passando pelo Centróide e eixos paralelos quaisquer conforme ilustra a firura, por meio do denominado Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner), conforme a seguir se expõe. O Momento de Inércia da superfície, referido ao eixo x, é:

Conhecendo-se as coordenadas (xc , yc ) do baricentro da área, e havendo interesse em obter o Momento de Inércia relativo a novo eixo x’ paralelo a x passando por C, basta ter em conta que: Substituindo tal relação na expressão de Ix obtém-se:   Desenvolvendo o termo elevado ao quadrado e retirando das integrais as constantes pertinentes tem-se: ou ainda, à vista que o momento estático em relação ao Centróide é nulo, resulta: ou

Analogamente, para o eixo y:   Nos dois casos, conhecendo-se os Momentos de Inércia em relação ao Centróide, o valor do Momento de Inércia em relação a qualquer eixo paralelo pode ser obtido adicionando-se uma parcela correspondente ao produto da área pelo quadrado da distância transladada ou vice versa. Procedimento idêntico pode ser realizado para o Produto de Inércia em relação a novos eixos paralelos escrevendo: ou

Rotação de eixos Completando o estudo, passa-se à determinação das características geométricas em relação a novos eixos localizados na mesma origem e girados de um ângulo qualquer. Observe-se que, embora de caráter geral, em aplicações práticas interessa providenciar a rotação ao redor dos eixos ( x’ , y’ ) localizados no Centróide. Por esse motivo, estabeleceu-se para a redação das fórmulas deste item, a convenção ilustrada na figura, onde estão indicadas fórmulas para rotação das coordenadas.    

Assim sendo, para obter Iu, Iv e Iuv como funções de Ix’, Iy’ e Ix’y’ é o bastante substituir as novas coordenadas ( u , v ) nas expressões das características geométricas relativas a esses eixos, ou sejam: Após algumas manipulações algébricas, obtêm-se as seguintes fórmulas mais concisas:

Momentos e eixos principais de inércia Tendo em vista que os Momentos de Inércia Iu e Iv estão relacionados a Ix’ e Iy’ apenas como funções do ângulo θ, é possível determinar seus valores extremos, bastando para tanto derivar tais expressões, igualando-as a zero, providência que conduz a:   A solução dessa equação tem como resultado dois valores de θ defasados de 90o , que definem outro par de eixos denominados Eixos Principais de Inércia, indicados por ( 1 , 2 ) , nos quais os Momentos de Inércia são extremos, e denominados Momentos Principais de Inércia, em notação expressa por

5. Esforços solicitantes em estruturas planas isostáticas 5.1- Definição e convenção de sinais Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes em uma seção transversal genérica são as forças que equilibram as ações externas que atuam à esquerda ou à direita desta seção. Os esforços solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos) de mesma direção e intensidade, porém de sentidos contrários, nas duas seções transversais.

Estas forças atuantes na seção transversal podem ser reduzidas a uma força resultante aplicada em um ponto (centro de gravidade da seção) e a um momento (binário) resultante. Para facilitar os cálculos destes esforços solicitantes, obtêm-se as componentes destas resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos eixos ortogonais a este, que contêm a seção transversal da barra.

N - força normal ou axial V - força cortante M - momento fletor T - momento torçor As componentes destas forças, considerando-se estrutura plana e carregamento contidos no plano xy, são os esforços solicitantes esforço axial N, momento fletor Mz e esforço cortante Vy.

Convenção de sinais: sentidos positivos dos esforços Esforço normal (axial): N Esforço cortante: V Momento fletor: M Momento torçor: T

Determinação dos esforços solicitantes As equações de equilíbrio determinam as condições da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita da seção transversal estudada. Exemplo apoio fixo A: deslocamentos restritos vx e vy apoio móvel C: deslocamento restrito vy x 5,0 kN/m y 8,0 kN B A C 4,0 1,5 m 8,0 kN HA VA Vc

Equações de equilíbrio Reações de apoio Carga distribuída transformada em força concentrada fictícia, Fq = 5,0.5,5=27,5 kN Equações de equilíbrio x y RA Rc HA 4,0 1,5 m 27,5 kN 8,0 kN

Esforços solicitantes Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A) equações de equilíbrio x y 2,0 10,0 kN MB HA NB RA VB

6. Equações analíticas e diagrama de esforços Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção transversal; Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do elemento estrutural ou da estrutura como um todo; Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica. As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da estrutura.

Esforços solicitantes Seção transversal S (distante de s do apoio A) Variação de a coordenada s: 0 < s < 4,0 m equações de equilíbrio x y s s 5,0.s MS HA NS RA VS

Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios Para s=0: Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):

Esforços solicitantes Seção transversal S (distante de s do apoio A) Variação de a coordenada s: 4,0 < s < 5,5 m x y s s 5,0.s MS HA NS RA RC VS

Esforços solicitantes para o trecho CD, em balanço Para s=4,0: Para s=5,5 (seção extrema do balanço):

Diagrama dos esforços solicitantes As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos esforços solicitantes seguindo algumas convenções: Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados abaixo do eixo de abcissa x B 1,4 11,4 _ V (kN) + 7,5 + 8,6 5,6 _ M (kN.m) + 7,2

Observações: Força cortante: descontinuidade no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio) A diferença (ou a soma dos módulos) dos valores de força cortante, à direita e à esquerda do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN) representam a carga concentrada naquele ponto (reação de apoio VC=18,9kN) Momento fletor: descontinuidade da inclinação no diagrama devido a uma carga concentrada no ponto C (reação de apoio)

7. Relações diferenciais entre os esforços solicitantes e carregamentos As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão (momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais entre si. Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada uniformemente:

Equações de equilíbrio

Integrando-se as duas equações, tem-se: onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a partir da definição de condições de contorno do problema estudado.

Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de carga distribuída: q=0: V - constante M - variação linear q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau q=linear: V – pol. 2o. Grau M - polinômio 3o. grau E ainda:

Bibliografia ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p. DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem. Zigurate, 1998. FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976. GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São Carlos: Publicação EESC/USP, 1993. MACHADO JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos: Publicação EESC/USP,1999. SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo: Harbra, 1984.