FISIOLOGIA E BIOMECÂNICA DA ATIVIDADE MOTORA – AVALIAÇÃO E REABILITAÇÃO Modelos Matemáticos de Avaliação Dr. Luciano Luporini Menegaldo E-mail lmeneg@ipt.br Agrupamento de Sistemas de Controle Divisão de Mecânica e Eletricidade Instituto de Pesquisas Tecnológicas do Estado de São Paulo - IPT

Tópicos a serem abordados: 1) O que é um modelo 2) Tipos de modelos matemáticos em sistemas biomecânicos 3) Pesquisa em modelagem e simulação de sistemas músculo-esqueléticos: um exemplo

O que é um modelo? 1) Modelos matemáticos Uma representação intelectual de um sistema real Exemplos de modelos: ·        Representação dos átomos na química ·        Leis de Newton ·        Lei dos gases perfeitos ·        Fisiopatologia

Um bom modelo: Funciona? Até que funciona, na maior parte dos casos.   Funciona? Até que funciona, na maior parte dos casos. É um conhecimento verdadeiro? É. Não é mentira. É um conhecimento sempre aperfeiçoável? Sem dúvida.

Modelo Matemático É um tipo de modelo em que: Propõe-se um sistema físico equivalente ao sistema real Do sistema físico equivalente se estabelecem equações capazes de descrever o comportamento desse sistema 

Exemplos: Modelos da mecânica respiratória   Modelos da mecânica respiratória Modelos da contração muscular Modelos de carregamento de ossos

Multiplicidade de modelos: Sistemas reais admitem múltiplos modelos Modelos são bons ou ruins para fins específicos Exemplo: modelos de corpos rígidos para controle de movimento e para análise de tensões em ossos.

O que se pode fazer com um modelo? Por que fazer modelos? quantificar relações e comportamentos projetar intervenções cirúrgicas projetar tratamentos fisioterápicos (transferência de calor, exercícios etc.)

projetar tratamentos farmacológicos (quimioterapia, tratamentos de distúrbios neurológicos etc.) projetar dispositivos tecnológicos (respiradores artificiais, próteses anatômicas e neurais, órgãos artificiais, trajes etc.)

Tipos de modelos em sistemas biomecânicos Modelos estáticos Modelos de distribuição de forças Modelos de elementos finitos Modelos cinemáticos Modelos para laboratório de marcha (cálculo de ângulos articulares em função das coordenadas dos marcadores Modelos geométricos da anatomia

Modelos lineares e não-lineares Modelos da mecânica muscular Modelos dinâmicos Dinâmica direta e dinâmica inversa Cálculo de momentos articulares Modelos lineares e não-lineares Modelos da mecânica muscular

Modelos estáticos Modelos de distribuição de forças

Modelos de elementos finitos Geração da malha

Carregamento seção transversal da tíbia

  Análise de tensões

Modelos cinemáticos Modelos para laboratório de marcha (cálculo de ângulos articulares em função das coordenadas dos marcadores

Modelos geométricos e antropométricos

Modelos dinâmicos     Dinâmica direta e dinâmica inversa     Cálculo de momentos articulares   Modelos lineares e não-lineares Modelos da mecânica muscular

2a. Parte: Pesquisa em modelagem de sistemas biomecânicos Biomecânica e controle da postura humana Objetivo: Calcular sinais de excitação neuro-muscular capazes de levantar o corpo humano desde uma posição semi-agachada até a postura ereta minimizando uma função de custo

Com que utilidade? Pesquisas básicas em teoria de controle motor Estimar o efeito biomecânico e motor de procedimentos cirúrgicos Determinar as estratégias ótimas de controle motor que deveriam ser empregadas pelo SNC depois de uma cirurgia, e sugerir procedimentos de fisioterapia Determinar padrões ótimos de ativação para Estimulação Elétrica Funcional (FES)

Modelo biomecânico a) Sistema de múltiplos corpos rígidos

b) Modelo geométrico do membro inferior Modelo de domínio público desenvolvido por Scott Delp (Univ. Stanford), utilizado no SIMM (Musculographics Inc.), com 40 músculos e 5 articulações

Referenciais posicionados e dimensionados segundo acidentes anatômicos Transformações cinemáticas: p / referencial inercial no quadril, as coordenadas das origens e inserções musculares são expressas através de uma seqüência de transformações (3 rots., 3 desloc. p/ cada articulação)

Funções cinemáticas Exemplo: deslocamento dx da tíbia em função do ângulo de flexão do joelho

Parâmetros antropométricos e coordenadas de origens e inserções determinados a partir de vários cadáveres Calculo dos torques musculares

Relação entre as forças musculares e os torques articulares Comprimento do atuador músculo-tendíneo calculado como distância entre origem e inserção considerando os pontos de contorno

Ajuste de curvas de regressão múltipla para os braços de momento e comprimento dos atuadores - músculos agrupados segundo sua dependência das mesmas coordenadas generalizadas

Geração automática em Matlab dos arquivos de entrada para o SIMM: 20 pontos para cada amplitude de movimento por coordenada generalizada (para 3 coordenadas, 8000 pontos) Ajuste de curvas por mínimos quadrados

Equações de regressão propostas:

Seleção das equações com mínimo erro

Comprimento do rectus femoris. Real (branco); ajustada (cinza)

Braço de momento do rectus femoris (em relação ao quadri)

c) Modelo da mecânica muscular

Cálculo da rigidez no tendão

Rigidez normalizada do tendão:  

Cálculo de relações f - l e v - l

Hipérbole de Hill:       lembrando que

Isolando as forças nos elemento contrátil ( ), de rigidez em paralelo e de amortecimento e substituindo em (*), calcula-se através da solução de uma eq. algébrica de 2o. grau  é imposto pelo movimento

2a. equação: dinâmica da ativação onde Tact=1/(k1+k2) e Tdeac=1/k2.

Equações dinâmicas d) Equações dinâmicas

Problema de controle ótimo Malha aberta / malha fechada Controle ótimo

Controle da postura em malha aberta utilizando controle ótimo Objetivo: levar o modelo proposto de uma condição inicial do agachamento até a postura ereta, minimizando uma função de custo Os controles obtidos correspondem às excitações de cada músculo ao longo do tempo de simulação Principal vantagem do controle ótimo: solução do problema da redundância de atuadores

Solução do Problema de controle ótimo Utilização de Algoritmos de controle ótimo baseados na Teoria das aproximações consistentes (RIOTS) Diversos problemas numéricos precisaram ser resolvidos

6. Alguns resultados Modelo com 10 atuadores musculares não-lineares Hipóteses simplificadoras: Contração isométrica Relação força x comprimento constante Seleção de 10 grupos musculares, agrupando os músculos de função e morfologia semelhantes, eliminando músculos com r muito pequeno Modelo com 10 atuadores musculares não-lineares e braço de momento fixo LMT e rMT constantes, tomados na posição anatômica Mesmos parâmetros para a dinâmica da ativação em todos os músculos

Testes com tf=0.4 segundos Testes com tempos acrescido (aumento de 30% no tempo final, no máximo) Introdução da metodologia da gravidade variável Constatações feitas com esse modelo Necessidade de escolha criteriosa das tolerâncias de otimização e violação de vínculos Determinação do método e do nível de refinamento da malha de discretização mais adequados, bem como da ordem das splines Diminuição da função de custo com o aumento do tempo final 1. Resultados finais Modelo: 10 músculos não-lineares e braços de momento variáveis Resultados com tf = 0.4s Gravidade fixa Verificação de uma solução para um mínimo local com elevados valores da função de custo quando os vínculos de controle eram impostos depois dos vínculos terminais Impondo progressivamente os vínculos de controle e depois os terminais, foram obtidos os resultados abaixo:

Resultados com tf = 1.0s e gravidade variável Gravidade: 2 m/s2  4 m/s2  6 m/s2  8 m/s2  9 m/s2  9.81 m/s2 - Tempo total de 1 s de simulação: +- 30 dias de CPU e 490 MB RAM Pentium 600 MHz

Padrões de excitação semelhantes ao caso anterior Níveis de u(t), a(t) e F(t) mais baixos Velocidades máximas inferiores Queda no início do movimento mais pronunciada Oscilação maior do tronco

Trabalhos futuros 1. Novas funções de custo como, por exemplo, a maximização da altura do centro de massa. 2. Realizar estudos do movimento de levantar de uma cadeira e da marcha

3. Introduzir no modelo biomecânico expressões de momento passivo gerado por ligamentos do joelho 4. Formulação de protocolos para levantamento de parâmetros antropométricos individuais

3) Projetos em andamento Comprovação experimental dos resultados através de laboratório de marcha e análise de padrões EMG (Temático FAPESP / IOT) Nova versão do RIOTS: CAOS (Consistent Approximations Optimal control Solver)