Mecânica dos Sólidos não Linear Sumário e Objectivos Sumário: Resolução de Problemas em Elasticidade Plana Recorrendo à Função de Tensão de Airy. Entrega dos Trabalhos Objectivos da Aula: Apreensão do Método da Função de Tensão para Efeitos de Solução de Alguns Problemas Planos. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear ESTADO PLANO DE TENSÃO Tensões Nulas no Estado Plano de Tensão Equações de Equilíbrio Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Forças de Volume O vector das Forças de Volume pode ser estabelecido em termos de uma função potencial V corresponde em termos energéticos a considerar um campo de forças conservativo. Equações de Equilíbrio tomam a forma: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Função de Tensão É possível definir uma Função de Tensão tal que: As Tensões assim definidas verificam automaticamente as Equações de Equilíbrio Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Deformações em termos da Tensões As Deformações relacionam-se com as tensões através da Lei de Hooke generalizada Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Deformações em Termos da Função de Tensão Tendo em conta as equações anteriores as deformações exprimem-se em termos da função de tensão do seguinte modo: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Equações de Compatibilidade de St Venant Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Equações de Compatibilidade no Caso do Estado Plano de Tensão No caso do Estado Plano de Tensão todas as derivadas em ordem a z são nulas e as deformações fora do plano x,y são tais que: As equações de compatibilidade relevantes são Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Equação de Compatibilidade em Termos da função de Tensão ou Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Equações Fundamentais O processo de deformação correspondente a um estado plano de tensão passa a ser regido pelas equações seguintes Ou na ausência de forças de volume Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO No caso do Estado Plano de Deformação as Equações a que se chega são: Ou na ausência de Forças de Volume Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Equação Biharmónica Na ausência de Forças de Volume a solução de Probemas de Estados Planos de Tensão e Deformação passa pela solução da equação Biharmónica ou seja pela solução de Soluções Polinomiais são possíveis para alguns problemas e têm a forma Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Placas Rectangulares S1 S12 cy x y S2 (a) (b) Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Função de Tensão para as placas Rectangulares Placa da Figura (a) uma função de tensão possível é As Tensões correspondentes são: Condições de Fronteira Coeficientes ai Função de Tensão Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Função de Tensão para as placas Rectangulares Placa da Figura (b) uma função de tensão possível é Esta função de tensão conduz às tensões seguintes: Para x=0 e x=L as tensões são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Função de Tensão para as placas Rectangulares Para y=±b/2 as tensões são: Estas condições de fronteira implicam que as constantes sejam: ou seja a função de Airy é: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual h y x P b z l Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual A função de tensão neste caso é: As componentes da tensão são A tensão máxima é Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída y x b z p l h Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída Afunção de Airy a considerar é de 5ª ordem e tem a forma seguinte: as condições de fronteira que são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída A equação de compatibilidade obriga a que seja Tendo em conta as condições de fronteira referidas obtém-se as constantes seguintes: Consequentemente as tensões, são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS  r  rr Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS As Equações de Equilíbrio de Forças tomam a forma: As relações Deformações – Deslocamentos são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS As derivadas de uma função em ordem a x e a y podem ser calculadas a partir das derivadas em ordem a r e q do seguinte modo: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Transformação do Tensor das Tensões de Coordenadas Cartesianas em Polares Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Derivadas da Função de Tensão De modo análogo se calculam as derivadas em ordem a yy e xy. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS A relação entre as tensões e a função de Airy em coordenadas cilíndricas toma a forma: A equação Biharmónica toma a forma seguinte: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problemas Axisimétricos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Solução da Equação Biharmónica para Problemas Axiximétricos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Deslocamentos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Deslocamentos Comparando as duas expressões obtidas para o deslocamento na direcção radial conclui-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problemas Quasi Axisimétricos No caso de se admitir que o problema é quasi axisimétrico, isto é que as tensões só dependem de r mas os deslocamentos podem depender de q, as deformações são então em termos dos deslocamentos as seguintes. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problemas Quasi Axisimétricos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problemas Quasi Axisimétricos Integrando esta última equação obtém-se: Substituindo na expressão da deformação de corte obtém-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problemas Quasi Axisimétricos Obtém-se duas equações uma só dependente de r e outra só dependente de q que podem ser integradas obtendo-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Os deslocamentos radiais e circunferenciais tomam a forma: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO po pi Ro Ri Pi – Pressão na superfície interior Po- Pressão na superfície exterior Ri – Raio interior Ro – Raio exterior Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO As Tensões são Calculadas de acordo com E têm de verificar as condições de Fronteira Ou seja Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO Estas duas condições são insuficientes para se calcularem as constantes, considerando o problema como quais axisimétrico e considerando o deslocamento circunferencial pode dizer-se que Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO As tensões tomam a forma e para o estado plano de deformação é Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO Os deslocamentos são Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO pi Ri Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO Considerem-se as tensões obtidas no caso anterior e manipulem-se as expressões de forma a obter as tensões com a seguinte forma: Fazendo as aproximações seguintes Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA y x A Tx Tensões Longe do Orifício Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA No caso de existir o orifício a distribuição de tensões só se altera próximo do orifício. Considerando o princípio de St. Venant pode considerar-se um círculo de raio RB tal que B>>A e no qual as tensões ainda são obtidas considerando as expressões e convertam-se as tensões em coordenadas cilíndricas. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Alternativamente pode considerar-se. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Sendo as tensões em termos da função de Airy, as seguintes: As tensões são nestas condições: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Estas tensões correspondem à sobreposição de dois estados de tensão um axisimétrico e outro dependente de q, estes estados de tensão são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problema Axisimétrico As tensões para o problema axisimétrico são Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problema dependente de q No caso do problema dependente de q considera-se a equação biharmónica e uma função de Airy com a forma adequada às condições de fronteira: A equação biharmónica toma a forma seguinte. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problema dependente de q As tensões correspondentes são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problema dependente de q As constantes determinam-se considerando as condições de fronteira: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problema dependente de q Obtendo-se o sistema de equações seguinte: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problema dependente de q No caso de A<<B pode-se considerar pela 4ª equação que: A 3ª equação implica. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Problema dependente de q Finalmente resolvendo as duas restantes equações obtém-se: Substituindo as constantes obtidas nas expressões das tensões obtém-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Caso Axi simétrico As Tensões no caso axisimétrico são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Caso Axi-simétrico Adimitindo A/B tendente para zero obtém-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006

Mecânica dos Sólidos não Linear Tensões Totais As tensões totais quando A/B tende para zero são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana Lúcia Dinis 2005/2006