Mecânica dos Sólidos e Estruturas Sumário e Objectivos Sumário: Flexão Pura de Vigas. Tensões Axiais e Deformações Axiais numa viga simétrica em flexão pura. Eixo Neutro. Momento de Inércia. Objectivos da Aula: No final da aula ser capaz de determinar a forma como se distribuem as tensões axiais em vigas planas e a grandeza das referidas tensões. Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo de Estrutura Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Exemplo de Estrutura de Veículo Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Estrutura de Madeira Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Estrutura de Bicicleta Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Sistema de Eixos y Ox – Eixo da Viga x O y Secção na Origem z Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Vigas Flectidas Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Fibra Flectida Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Curvatura As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de elementos lineares rectilíneos a elementos lineares curvos com um certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de flexão plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva plana, nestas condições e de acordo com a figura anterior a curvatura da curva deformada num ponto pode ser definida como sendo: que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a curvatura k é tal que k=1/R Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Hipótese de Euler – Bernoulli (1705) Secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo flectido da viga. Esta hipótese é devida a Bernoulli (1705) e é considerada fundamental no desenvolvimento da teoria das vigas à flexão, válida no caso de se tratarem de vigas finas. Nestas condições os segmentos inicialmente lineares e perpendiculares ao eixo da viga permanecem lineares e perpendiculares ao eixo flectido da viga. Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Viga em Flexão Pura Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Elemento na configuração Deformada e Inicial As fibras a uma distância y do eixo da viga têm na configuração deformada um raio de curvatura R-y, como se representa na figura anterior. Nestas condições a diferença de comprimentos na configuração deformada, entre os segmentos g´h´ e e´f´ , designada por d , pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento do segmento g´h´ é: ds´=(R-y)dq, ou seja ou d =(R-y)dq-Rdq=-ydq Deformação: Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.1 Considere a viga representada na figura seguinte e sujeita a momentos nos extremos, M, cuja secção é rectangular com as dimensões indicadas na referida figura. No caso da deformação máxima admissível antes de ocorrer a cedência plástica ser de 2 , determine o raio de curvatura da superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os extremos da viga deformada. Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Viga em Flexão Pura com Secção Rectangular Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo10.1- Resolução Tendo em conta que Obtém-se Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio -1 As tensões estão distribuídas na secção e têm a direcção do eixo dos xx e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não existem forças axiais aplicadas, só existem momentos, a resultante das tensões distribuídas na secção deve ser igual a zero, ou seja ou ou = = 0 = 0 ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da Secção Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Distribuição de Tensões na Secção Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio -2 Equilíbrio de Momentos Ou seja sendo ou Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Relação Tensão – Momento Aplicado Flexão no plano Oxy Flexão no plano Oxz Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Momentos e Sistema de Eixos Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 12.2 Determine a tensão longitudinal ou axial máxima a que a viga está sujeita Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 12.2 - Resolução Reacções 0<x<2 2<x<4 Momentos O momento máximo ocorre para x=2 e é M=22kN.m A tensão longitudinal máxima ocorre na secção que corresponde ao momento máximo e nas fibras mais afastadas do centro de gravidade, ou seja para x=2m e y=250mm, sendo Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.3 Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utilizando um aço cujo peso específico é de 77.0 kN/ . A viga está sujeita a uma carga concentrada na extremidade livre de 7kN. A secção da viga é uma secção em I como se representa na figura. Determine a tensão longitudinal máxima instalada na viga. Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.3 - Resolução Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na extremidade livre. p=77.0A=77.0(0.0080.142+0.1840.006)= 0.2575kN/m Peso Próprio Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.3 - Resolução O momento máximo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento M=PL=42kN.m A tensão longitudinal total instalada é: Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.4 Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de secção em  como se representa na figura. Um extensómetro localizado em B indica que este ponto está sujeito a uma extensão de compressão de 8 . Determine a intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de Young, E=210 GPa. Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.4-Resolução Reacções Momento em AC Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.5 Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura, a viga está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que as tensões longitudinais (axiais) máximas instaladas sejam de 150Mpa. Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.5-Resolução Reacções Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Exemplo 10.5-Resolução Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é: p=24.46kN/m Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Problemas Propostos 1. Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras anexas e determine o momento máximo que as secções das vigas podem suportar no caso da tensão longitudinal ou axial máxima admissível ser de 165MPa. 200mm 100mm 80mm 20mm 20mm 80mm 40mm 150mm Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Problemas Propostos 3P 100mm 14mm 16mm 4mm P 3mm 50mm A Extensómetro Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Problemas Propostos 3. Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular, como se representa na figura. Considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições representadas na figura, indique qual das secções permite maiores momentos no caso da flexão ocorrer no plano Oxy e das tensões máximas na viga serem de igual valor nas duas secções. y z y a Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Problemas Propostos 4. Considere a viga representada na figura cuja secção tem a forma de um T. O material da viga tem uma tensão de cedência à tracção de 20MPa e uma tensão de cedência à compressão de 40MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eixo dos yy ou sentido negativo do eixo dos yy) que pode ser aplicada no caso de se considerar um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é o que se representa na figura P 2m 1m 110mm 230mm 30mm Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Problemas Propostos 5. Considere uma viga de Secção em I, como se representa na figura. Numa Secção da viga está aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das forças de tracção e compressão 150mm 40mm 120mm 30mm 100mm Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Resolução do Problema 1ª) Determinação da posição do centro de Gravidade 200mm 100mm 80mm 20mm A1 A2 y1 y2 A3 y3 Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Resolução do Problema 1ª) Determinação do Momento de Inércia Iz 200mm 100mm 80mm 20mm Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Resolução do Problema 1ª) Determinação da Tensão Axial Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

Mecânica dos Sólidos e Estruturas Resolução do Problema 1b) Determinação da posição do centro de Gravidade 20mm 80mm 40mm 150mm A Secção é simétrica portanto o centro de Gravidade fica no Centro da Secção. Mecânica dos Sólidos e Estruturas 10ªAula Lúcia M.J.S. Dinis 2007/2008

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