Linguagem de 1ª ordem da teoria de conjuntos Teoria de conjuntos: linguagem universal nas ciências útil na modelização de estruturas muito diversas Abordagem Partir da noção intuitiva de conjunto identificar 2 princípios básicos que a caracterizam axioma da extensionalidade axioma da compreensão explorar consequências lógicas dos axiomas mostrar inconsistência dos axiomas rever axiomas para os da teoria de conjuntos moderna

Teoria dos conjuntos de Cantor TC2- Lógica Proposicional 26-03-2017 Teoria dos conjuntos de Cantor Georg Cantor(1845-1918) Matemático que desenvolveu a sua actividade na Alemanha Trabalha na definição dos números reais e estuda a cardinalidade dos conjuntos Desenvolve primeira teoria dos conjuntos infinitos Conceito intuitivo de conjunto Conjunto: colecção de coisas (elementos) Linguagem de 1ª ordem: 2 símbolos de relação =, Î Domínio de discurso: pode ter outros objectos que não conjuntos Set(x) predicado para a propriedade x é conjunto 2 tipos de variáveis a, b, c, … conjuntos x, y, z, … quaisquer objectos do domínio Em vez de "x $y (Set(y) Ù xÎy) escreve-se "x $a (xÎa) Outros símbolos: Æ (constante), Í (relação), È, Ç (funções) Cristina Ribeiro

Axiomas de Cantor Axioma da extensionalidade Implicações Nota Um conjunto é completamente determinado pelos seus elementos Se os conjuntos a e b têm os mesmos elementos, a=b "a "b ["x (xÎa « xÎb) ® a=b] Implicações Identidade de um conjunto não depende da forma de o descrever Exemplo: Nota Axioma seria inaceitável numa teoria de propriedades. 2 propriedades podem verificar-se para exactamente os mesmos objectos e serem distintas conjunto dos primos entre 6 e 12 conjunto das soluções da equação x2 - 18x +77 = 0 {7,11}

Axiomas de Cantor Axioma da compreensão Toda a propriedade determina um conjunto Para uma propriedade P, existe o conjunto de todos os objectos para os quais se verifica P Propriedades: fórmulas de 1ª ordem Para cada fórmula P(x) considera-se o axioma $a "x [xÎa « P(x)] Existe um conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que verificam P(x) Expressão não é axioma mas “esquema de axiomas”: existe 1 para cada wff P(x) P(x) pode ter variáveis z1, … zn para além de x: quantificação implícita é universal "z1…"zn $a "x [xÎa « P(x)]

Explorar axiomas Usando a extensionalidade: infere-se versão mais forte da compreensão Conjunto de objectos que satisfazem P(x) é único "z1…"zn $!a "x [xÎa « P(x)] Prova: Compreensão: existe pelo menos 1 conjunto de objectos que satisfazem P(x) Falta prova que existe no máximo 1 a e b: conjuntos que verificam P(x) "x [xÎa « P(x)] "x [xÎb « P(x)] Então "x [xÎa «xÎb] e pela extensionalidade a=b Conjunto de objectos que satisfazem P(x): {x| P(x)}

Conjuntos singulares e vazio 1 só objecto x satisfaz P(x) Pelo axioma da compreensão: existe conjunto a cujo único elemento é x a = {x} distinguir objecto x de conjunto singular que contém x Nenhum objecto satisfaz P(x) conjunto vazio existe 1 no máximo notação: Æ, {}, {x| x ¹ x}, ...

Subconjuntos Definição: Para os conjuntos a e b a Í b a subconjunto de b se todo o elemento de a é elemento de b a Í b abreviatura de "x [xÎa ®xÎb] novo símbolo de relação binária, introduzido por um axioma "a"b [a Í b « "x (xÎa ®xÎb)] Teorema 1: Para conjuntos a e b, a=b sse a Í b e b Í a "a"b (a = b « a Í b Ù b Í a) ® a=b a e b são o mesmo conjunto, cada elemento de a é elemento de b e vice-versa ¬ a Í b e b Í a Extensionalidade: basta provar que a e b têm os mesmo elementos; decorre da premissa: cada elemento de a é elemento de b e vice-versa

Intersecção e união Definições: a e b conjuntos arbitrários 1. A intersecção de a e b, a Ç b, é o conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que pertencem a a e a b 1. A união de a e b, a È b, é o conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que pertencem a a ou a b Poderemos provar que existem os conjuntos a Ç b e a È b? Teorema 2: Para todo o par de conjuntos a e b, existe 1 e 1 só conjunto c cujos elementos são objectos em a e em b "a"b$!c "x [xÎc « (xÎa Ù xÎb)] Prova: (prova condicional geral) Sejam a e b conjuntos arbitrários Compreensão: c= {x| xÎa Ù xÎb} existe o conjunto pretendido Extensionalidade: c é único

Intersecção e união Teorema 3: Para todo o par de conjuntos a e b, existe 1 e 1 só conjunto c cujos elementos são objectos em a ou em b "a"b$!c "x [xÎc « (xÎa Ú xÎb)] Prova: a e b conjuntos arbitrários Compreensão: c= {x| xÎa Ú xÎb} existe o conjunto pretendido Extensionalidade: c é único Estatuto de Ç e È na linguagem abreviaturas de descrições a Ç b é “ o conjunto cujos elementos são exactamente os objectos que são elementos de a e de b” novos símbolos de função binários: definições são novos axiomas

Conjuntos de conjuntos Pelo axioma da compreensão: conjuntos de conjuntos podem ser formados arbitrariamente Teorema 5: Para quaisquer objectos x e y existe 1 único conjunto a={x,y} "x"y$!a "w [wÎa « (w=x Ú w=y)] Prova: Existência: propriedade P(z) é z=x Ú z=y conjunto {z| P(z)} tem x e y como únicos elementos Unicidade: pelo axioma da extensionalidade Teorema 6: Para todo o objecto x existe o conjunto singular {x} Aplicar o Teorema 5 para x=y

Representar ordenação Conjuntos não são ordenados O par ordenado <x,y> pode ser representado pelo conjunto {{x}, {x,y}} Representação verifica propriedade fundamental dos pares <x,y> = <u,v> ® (x=u Ù y=v) A partir de pares ordenados ternos e outros tuplos <x,<y,z>> relações R(x,y) = {<x,y>| xÎD, yÎD, x R y} funções "x$≤1y R(x, y)

Propriedades das relações Transitividade: "x"y"w[(R(x, y) Ù R(y, z)) ® R(x, z)] Reflexividade: "xR(x, x) Irreflexividade: "x ¬R(x, x) Simetria: "x"y(R(x, y) ® R(y, x)) Assimetria: "x"y(R(x, y) ® ¬R(y, x)) Antissimetria: "x"y[(R(x, y) Ù R(y, x)) ® x = y] Relação de equivalência: reflexividade + simetria + transitividade

Conjunto das partes de um conjunto Teorema 7: Para todo o conjunto b existe 1 único conjunto cujos elementos são exactamente os subconjuntos de b Prova: Compreensão: existe c= {x| x Í b} Extensionalidade: c é único Ãb = {a | a Í b} Exemplo b= {2,3} Ãb = {Æ, {2}, {3}, {2,3}}

Propriedades de Ãb Teorema 8: Sendo a e b conjuntos 1. b Î Ãb 2. Æ Î Ãb 3. a Í b sse Ãa Í Ãb Conjunto pode ter subconjuntos que são elementos: Ex: { Blop, {Blop}}

Propriedades de Ãb Teorema 9: Para todo o conjunto b, não se verifica Ãb Í b “um conjunto não pode ter todos os seus subconjuntos como elementos” Prova: b: conjunto arbitrário Constrói-se subconjunto de b que não é elemento de b c= {x| xÎb Ù x Ï x} c Í b pela definição de c, logo c Î Ãb pela definição de Ãb Para mostrar que c Ï b: Supor cÎb Por casos: cÎc ou c Ï c Se cÎc: pela definição, c é elemento de b que não pertence a c; então c Ï c Se c Ï c: c é elemento de b que verifica a condição de definição de c; então cÎc Por contradição: Ãb Í b é falso

Conjunto de Russell Teorema 10 (conjunto de Russell para b): Para todo o conjunto b, o conjunto {x| xÎb Ù x Ï x} é subconjunto de b mas não elemento de b. Falha na axiomatização: pode provar-se a negação do Teorema 9 Teorema 11: Existe um conjunto c tal que Ãc Í c Prova: b: conjunto arbitrário Axioma da compreensão: existe conjunto universal (V) c= {x| x = x} todo o subconjunto de c é elemento de c, logo Ãc é subconjunto de c.

Paradoxo de Russell Onde reside a contradição? É o paradoxo de Russell Z= {x| xÎV Ù x Ï x} conjunto de Russell para o conjunto universal Teorema 9 prova que Z é elemento de Z sse Z não é elemento de Z É o paradoxo de Russell Mostra que a axiomatização da noção intuitiva de conjunto é inconsistente Problema está no Axioma da Compreensão Ø$c "x [xÎc « x Ï x] Afirmação verdadeira que contradiz o axioma da compreensão Intuitivamente Alguns predicados têm extensões “excessivas” para serem tratadas como um objecto matemático

Nova axiomatização Predicados com extensões excessivas Colecção de todos os conjuntos Colecção dos conjuntos que não se contêm como elementos Evitar a inconsistência - regra de formação de conjuntos de um conjunto a e uma propriedade P(x) podemos formar {x | xÎa Ù P(x)} se a não é conjunto excessivo um seu subconjunto também não Axioma da separação "a$b "x [xÎb « (xÎa Ù P(x))] É restrito demais: exclui usos legítimos do axioma da compreensão não pode provar-se a existência da união não pode provar-se a existência do conjunto das partes

Axiomas de Zermelo-Frankel 1. Extensionalidade 2. Separação 3. Par não ordenado: para quaisquer 2 objectos existe um conjunto que os tem como elementos 4. União: Dado um conjunto a de conjuntos, a união dos elementos de a é um conjunto "a$b "x [xÎb « $cÎa (xÎc)] 5. Conjunto das partes 6. Infinito: existe o conjunto de todos os números naturais 7. Substituição: Para todo o conjunto a e operação F que define um objecto único para cada x em a, existe o conjunto {F(x) | xÎa} Se "xÎa $!yÎb P(x,y) então existe b= {y | $xÎa P(x,y)} 8. Escolha: Seja f uma função com domínio a não vazio e para cada xÎa, f(x) é um conjunto não vazio, então existe uma função g com domínio a tal que g(x)Îf(x) 9. Regularidade Nenhum conjunto tem uma intersecção não vazia com cada um dos seus elementos "b[b¹Æ ® $yÎb (yÇb= Æ)]