One-Way ANOVA Com mais de duas amostras independentes de indivíduos queremos saber se as médias dos grupos na população são iguais.

One-Way ANOVA Definimos a Hipótese H0: µ1 = µ2 = ... = µk Teremos um conjunto de i grupos com ni indivíduos cada, um total de N indivíduos, uma média de cada grupo xi e uma média comum X Ex: Pesos em Kg de 3 grupos de indivíduos de grupos étnicos diferentes (caucasianos, latinos e asiáticos). Grupo 1: 72; 75; 73; 67; 76; 71; 71; 70; 78; 64 X = 71,70 kg Grupo 2: 64; 74; 63; 69; 70; 62; 69; 65; 68; 73 X = 67,70 kg Grupo 3: 58; 59; 61; 63; 66; 53; 68; 69; 61; 57 X = 61,50 kg X=66,97kg i=3 n1=10 n2=10 n3=10 N=30

One-Way ANOVA Fontes de variação Intra-grupos - Variabilidade das observações em relação à média do grupo Within group SS (sum of squares) Within group DF (degrees of freedom) Within group MS = Within group SS / Within group DF Entre-grupos - Variabilidade entre os grupos. Dependente da média do grupo em relação à média conjunta Between group SS (sum of squares) Between group DF (degrees of freedom) Between group MS = Between group SS / Between group DF

One-Way ANOVA Fontes de variação A variabilidade observada num conjunto de dados deve-se a: Variação em relação à média do grupo - Within group Variação da média do grupo em relação à média conjunta - Between group Assim: Total SS = Within group SS + Between group SS Total DF = Within group DF + Between group DF

One-Way ANOVA Prova-se que se µ1 = µ2 = ... = µk, então, Between MS e Within MS serão ambos estimativas da variância comum aos k grupos - logo, Between MS  Within MS Se pelo contrário µ1  µ2  ...  µk, então, Between MS será maior que Within MS Assim, para testar a Hipótese nula H0: µ1 = µ2 = ... = µk calcula-se a estatística F Obtemos a estatística do teste com os dados de uma amostra F = Between MS / Within MS Obtemos o valor de p Definimos o nível se significância Interpretamos o valor de p

ANOVA H0= µ1 = µ2 = µ3 F= Between MS / Within MS = 264.13/20.03= 13.2 Α=0.05 P<0.001 Rejeito H0

One-Way ANOVA Assunções: Normalidade Igualdade das variâncias dos grupos

Kruskal-Wallis Test Ex: Pesos em Kg de 3 grupos de indivíduos de grupos étnicos diferentes (caucasianos, latinos e asiáticos). Grupo 1: 72; 75; 73; 67; 76; 71; 71; 70; 78; 64 Grupo 2: 64; 74; 63; 69; 70; 62; 69; 65; 68; 73 Grupo 3: 58; 59; 61; 63; 66; 53; 68; 69; 61; 57 Organizam-se todos os valores por ordem crescente de modo a cada valor ter uma posição atribuída grupo 3 2 1 ... peso 53 57 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 ... 3 2 1 68 69 70 71 72 73 74 75 76 78

Kruskal-Wallis Test Calcula-se a estatística: H=(12/(N(N+1)))  (Ri2/ni)-3(N+1) N = nº total de indivíduos ni = nº de indivíduos no grupo i Ri = soma das posições no grupo i Esta estatística será comparada com uma distribuição adequada (distribuição de Qui-quadrado com k-1 graus de liberdade)

Kruskal-Wallis Test Grupo3 : 1+2+3+4+5.5+5.5+8.5+13+15.5+18)/10=7.6 peso ordem 3 53 1 57 2 58 59 4 61 5.5 62 7 63 8.5 64 10.5 65 12 66 13 67 14 68 15.5 ... ... 3 68 15.5 2 69 18 1 70 20.5 71 22.5 72 24 73 25.5 26 74 27 75 28 76 29 78 30 Grupo3 : 1+2+3+4+5.5+5.5+8.5+13+15.5+18)/10=7.6

Variáveis contínuas – 2 grupos Testes t: Com duas amostras emparelhadas de indivíduos queremos saber se as médias dos dois grupos na população são iguais. Com duas amostras independentes de indivíduos queremos saber se as médias dos dois grupos na população são iguais.

Teste t para 2 amostras emparelhadas Assunção: A variável é normalmente distribuída na população E se não for? Teste não paramétrico: Wilcoxon signed ranks test

Wilcoxon signed ranks test Posicionam-se os valores absolutos das diferenças de forma ascendente e atribui-se o sinal da diferença à posição. Calculam-se as seguintes estatísticas: T+ = soma das posições com sinal positivo T- = soma das posições com sinal negativo Utiliza-se a menor destas estatísticas, sendo esta comparada com uma distribuição adequada (distribuição da estatística T ou aproximação normal)

Wilcoxon signed ranks test Com uma amostra de 20 pessoas obesas submetidas a uma determinada dieta de emagrecimento. Os resultados do estudo foram os seguintes: Antes Depois |A-D| sinal 103 104 141 146 147 106 107 110 109 114 116 117 122 118 125 100 95 121 142 143 101 102 105 113 112 120 3 9 20 4 5 1 2 - = +

Wilcoxon signed ranks test = 1 2 3 4 5 9 20 - + 8.5 12.5 16 17 15 – 1+5+5+5+5+8.5+8.5+12.5+12.5+12.5+12.5+12.5+12.5+14+15)=146 146/15=9.73 2 + 2+5=7 7/2=3.5

Teste t para 2 amostras independentes Assunção: A variável é normalmente distribuída na população E se não for? Teste não paramétrico: Mann-Whitney U test

Mann-Whitney U Ordena-se os valores independentemente do grupo a que pertence São calculadas as seguintes estatísticas U=n1 n2 + (n1(n1+1)/2)-R1 U’=n1 n2 + (n2(n2+1)/2)-R1 R1 e R2 são a soma das posições nos grupos 1 ou 2 A maior destas estatísticas é comparada com uma distribuição adequada (distribuição da estatística U ou aproximação normal)

Mann-Whitney U