Prática de Ensino em Matemática II Aula 2 Curso de Licenciatura em Matemática Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira fabricio@fafica.br

Sobre a importância dos números decimais Os números racionais na forma decimal constituem uma das mais importantes invenções da humanidade pois reúnem a praticidade das operações envolvendo o sistema de numeração decimal com a necessidade de realizarmos operações envolvendo partes e medições. Inacreditavelmente, apesar dos primeiros cálculos envolvendo frações datarem do Antigo Egito (cerca de 3000 a.C.) as primeiras reminiscências dos cálculos envolvendo números decimais são recentes tendo como François Viète (1540 – 1603) seu precursor. Atualmente os números decimais permeiam todo nosso cotidiano sendo encontrados para expressarem os valores das mercadorias, as medições de massa, comprimento, distância, temperatura, etc. Para uma boa aprendizagem por parte do aluno é fundamental que os mesmos percebam que as formas mais comuns de representarmos um número racional (fracionária, decimal e percentual) complementam-se umas às outras e que precisamos saber identificar qual forma deve ser empregada em cada situação.

Utilizando o Material Dourado para a aprendizagem dos números decimais (1) Considerando o cubo maior como sendo a unidade (1 inteiro), temos: a placa sendo 𝟏 𝟏𝟎 (um décimo) do cubo maior, sendo representada por 0,1 (um décimo); a barra sendo 𝟏 𝟏𝟎𝟎 (um centésimo) do cubo maior, sendo representada por 0,01 (um centésimo); o cubinho sendo 𝟏 𝟏𝟎𝟎𝟎 (um milésimo) do cubo maior, sendo representado por 0,001 (um milésimo); 1 10 =0,1 1 100 =0,01 1 1000 =0,001 1

Utilizando o Material Dourado para a aprendizagem dos números decimais (2) Observando as peças do Material Dourado pode-se concluir que: 0,1 (um décimo) equivale à 0,10 (dez centésimos); Logo, por transitividade, temos: 0,1 (um décimo) equivale à 0,100 (cem milésimos). 0,1 = 0,10 = 0,100 0,10 0,1 0,1 0,100

A contextualização dos números decimais Recomenda-se que a aprendizagem dos números decimais deve ser progressiva indo da utilização e realização de operações com os décimos, passando para os centésimos e continuando com os milésimos. As utilizações mais frequentes dos números decimais em nosso cotidiano são: utilizar décimos na leitura de temperaturas e da utilização da régua graduada (o milímetro é a décima parte do centímetro); utilizar centésimos na leitura dos valores do Sistema Monetário (o centavo é a centésima parte do real) e das alturas (o centímetro é a centésima parte do metro); utilizar milésimos na leitura de massa (o grama é a milésima parte do quilograma) e de distâncias (o metro é a milésima parte do quilômetro).

Equivalência entre números decimais Assim como a equivalência de frações, a equivalência entre números decimais é fundamental para a correta comparação de grandezas e a execução de operações envolvendo números nesta forma. Unidades , Décimos Centésimos Milésimos 3 3 10 =0,3 30 100 =0,30 300 1000 =0,300 Um número decimal permanece com o mesmo valor quando adicionamos ou suprimimos zeros à direita da vírgula. 0,3 = 0,30 = 0,300

A função da vírgula do número decimal Em sua opinião, qual é o sentido da vírgula no número decimal? A principal função da vírgula no número decimal é separar a parte inteira da parte decimal do número decimal. 2,378 Parte Inteira Parte Decimal Para fazer a leitura correta de um número decimal, primeiramente lê-se a parte inteira, seguida da palavra inteiro(s) e, em seguida, lê-se a parte decimal. 2,378 2,378=2+0,3+0,07+0,008 =2+0,3𝟎𝟎+0,07𝟎+0,008 8 milésimos =2+0,378 7 centésimos 3 décimos Lê-se: dois inteiros e trezentos e setenta e oito milésimos 2 inteiros

Correspondência entre números decimais e frações Transformando números decimais em frações →dezessete centésimos→ 17 100 →um inteiro e quatro décimos→𝟏 4 10 = 𝟏𝟎 𝟏𝟎 + 4 10 = 14 10 = 7 5 0,17 1,4 De uma forma geral basta escrevermos os algarismos no numerador e, no denominador, o algarismo 1 seguido de tantos zeros forem as casas decimais. Transformando frações em números decimais 3 5 ∙ 2 2 = 6 10 →seis décimos→0,6 27 20 ∙ 5 5 = 135 100 = 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 + 35 100 =𝟏 35 100 =1,35 A equivalência de frações é fundamental para a correta compreensão da conversão. 2 5 8 = 21 8 ∙ 1000 1000 = 21000 8000 :8 :8 = 2625 1000 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 625 1000 =𝟐,625

Comparando números decimais Sabemos que ao acrescentarmos zeros à direita da vírgula o valor do número decimal não altera-se. Problema) A pesagem do caminhão do Sr. Alfredo, com sua carga, registrou 7,59 toneladas. Já a do Sr. Rafael registrou 7,573 toneladas. Qual dos caminhões pesou mais? 1ª maneira: “Igualando” as casas decimais 2ª maneira: Processo prático 7,59 7,573 7,59 7,573 1º compara-se a parte inteira: 7=7 7,59𝟎 7,573 2º compara-se os décimos: 0,5=0,5 7 inteiros 7 inteiros 3º compara-se os centésimos: 0,09>0,07 590 milésimos > 573 milésimos 7,59>7,573 7,59>7,573

O cálculo mental e as operações envolvendo números decimais Um das vantagens do cálculo mental é permitir efetuar rapidamente uma operação e encontrar seu resultado. Pela proximidade que os números decimais possuem no nosso cotidiano, é altamente recomendável que os alunos realizem as primeiras operações envolvendo números decimais usando o cálculo mental. Duas vezes um inteiro são dois inteiros. Meio inteiro mais meio inteiro dá um inteiro. Logo tenho três inteiros. 0,2 + 3 = ? Três inteiros mais dois décimos 2 x 1,5 = ? 0,8 : 2 = ? Oito décimos dividido para duas pessoas cada uma fica com quatro décimos.

Adição e Subtração de Números Decimais (1) Para somar ou subtrair números decimais é necessário deixar a vírgula embaixo da vírgula... Durante nosso processo de escolarização, provavelmente, devemos ter ouvido esta famosa frase. Qual é a justificativa para que tais operações com números decimais deva ser feita desta maneira? Qual é(são) o(s) erro(s) que o aluno está cometendo? Efetue 2,155 + 12,38 = ? Alguns erros são: o aluno está alinhando as parcelas pela direita, como números naturais (inteiros); o aluno não reconhece que as partes decimais são diferentes (milésimos não são iguais a centésimos). + 1 2 , 1 5 + 3 8 2, 9

Adição e Subtração de Números Decimais (2) +1 2 , 1 5 + 3 8 4 Exemplo 1) Efetue 2,155 + 12,38. 2,155+12,38= 2155 1000 + 1238 100 = 2155 1000 + 1238𝟎 1000 = 14535 1000 =14,535 Exemplo 2) Efetue 3,5 – 2,27. Justifique, passo-a-passo e corretamente, a subtração 3,5 – 2,27. 3 , 4 5 1 0 – 2 7 1 Para subtrair os 7 centésimos, tomamos 1 décimo e transformamos em 10 centésimos. Desta forma ficamos com 4 décimos no minuendo; 10 centésimos menos 7 centésimos são 3 centésimos (0,03); 4 décimos menos 2 décimos são 2 décimos (0,2 = 0,20); 3 inteiros menos 2 inteiros é 1 inteiro (1 = 1,0 = 1,00). Logo o resultado da operação é 1,23 (1,00 + 0,20 + 0,03).

Multiplicação de um número natural por um número decimal Exemplo 3) Efetue 4 x 0,37. Primeiramente fazemos 4 vezes 7 centésimos, o que resulta em 28 centésimos; 28 centésimos = 20 centésimos mais 8 centésimos; +1 +2 Os 8 centésimos deixamos indicados e os 20 centésimos convertemos em 2 décimos (é o vão 2); 0 , 3 7 × 4 4 vezes 3 décimos são 12 décimos; mais os 2 décimos temos 14 décimos; 1, 4 8 14 décimos = 10 décimos mais 4 décimos; Os 4 décimos deixamos indicados e os 10 décimos convertemos em 1 inteiro (é o vai 1); 4 vezes 0 inteiros é 0; mais 1 inteiro temos 1 inteiro; O resultado é 1 inteiro 4 décimos e 8 centésimos, ou seja, 1,48.

Multiplicação de um número decimal por 10, 100 ou 1000 Exemplo 4) Efetue 10 x 4,32. 10×4,32 10×4 inteiros=40 inteiros 10×3 décimos=30 décimos = 3 inteiros 10×2 centésimos=20 centésimos=2 décimos ⇒40+3+0,2=43,2 Exemplo 5) Efetue 100 x 0,274. 100×0,274 100×2 décimos=200 décimos=20 inteiros 100×7 centésimos =700 centésimos = 7 inteiros 100×4 milésimos=400 milésimos=4 décimos ⇒20+7+0,5=27,4 Exemplo 6) Efetue 1000 x 8,67. 1000×8,67 1000×8 inteiros=8000 inteiros 1000×6 décimos =6000 décimos = 600 inteiros 1000×7 centésimos=7000 centésimos=70 inteiros ⇒8000+600+70=8670 Para multiplicar um número decimal por 10, 100 ou 1000 basta deslocar a vírgula uma, duas ou três ordens, respectivamente, para direita. Acrescenta-se zeros quando necessário.

Multiplicação entre números decimais Problema) A avó de Denílson e Marília vai comprar 1,8 m de tecido que custa R$ 3,25 o metro. Ela quer saber quanto vai gastar. Para calcular o valor de 1,8 x 3,25 ela pediu a ajuda do neto. Como Denílson fez para calcular o gasto da avó? 1,8=1 8 10 = 18 10 3,25=3 25 100 = 325 100 1,8∙3,25= 18 10 ∙ 325 100 = 5850 1000 =5 850 1000 =5,850=5,85 Analisando a resolução de Denílson, percebe-se que o produto 5850 pode ser obtido multiplicando os valores dos números decimais sem considerar suas vírgulas; Em seguida, para determinar o denominador basta perceber que ao multiplicar décimos por centésimos obtemos milésimos; De uma outra forma, basta contarmos quantas ordens decimais temos ao todo nos fatores. Isto indicará quantas ordens decimais teremos no produto. 1, 8 ∙3, 25 =5, 850 uma ordem duas ordens três ordens

Para Pensar e Refletir Comente sobre a importância dos números decimais atualmente. Explique, corretamente, como as peças do Material Dourado podem auxiliar na aprendizagem dos números decimais. Por quê ao acrescentarmos zeros à direita da vírgula o número decimal não altera seu valor? Dê exemplos que comprovem sua resposta. Escreva sobre a importância da contextualização e a interdisciplinaridade entre os blocos conceituais na aprendizagem dos números decimais. Qual a importância da vírgula no número decimal? Dê um exemplo de um número decimal, decomponha-o e faça a leitura correta do mesmo. Faça o que se pede em cada item: Escreva três números decimais e transforme-os em fração irredutível; Escreva três frações e transforme-as em número decimal. Elabore uma situação onde haja a necessidade de comparar números decimais e resolva-a corretamente. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática como deve ser trabalhada o cálculo mental envolvendo números decimais? Um aluno resolveu a operação 3,71 + 9,4 = 4,65. Comente sobre os erros cometidos pelo aluno. Explique passo-a-passo as operações 7,1 – 2,86 e 4 x 5,89.