Campus de Caraguatatuba Aula 19: Sistemas de Equações Lineares (7) Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática 10 Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 19: Sistemas de Equações Lineares (7)

Método Iterativo de Gauss-Seidel (1) No método de Gauss-Seidel, o sistema linear Ax = b é escrito na forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal. O processo iterativo consiste em sendo x(0) uma aproximação inicial, calcular x(0), x(1), x(2), ...,x(k), ... por:

Método Iterativo de Gauss-Seidel (2)

Método Iterativo de Gauss-Seidel (3) Exemplo 1: Seja o sistema linear apresentado a seguir, Resolver pelo Método Gauss-Seidel com

Método Iterativo de Gauss-Seidel (4) O processo iterativo é: Como

Método Iterativo de Gauss-Seidel (5) Tem-se:

Método Iterativo de Gauss-Seidel (6)

Método Iterativo de Gauss-Seidel (7) Continuando com as iterações, tem-se

Método Iterativo de Gauss-Seidel (8) Passos do Método de Gauss-Sedel:

Método Iterativo de Gauss-Seidel (9)

Método Iterativo de Gauss-Seidel (10)

Método Iterativo de Gauss-Seidel (11)

Critério de Sassenfeld (1) Como acontece em todo processo iterativo, deve haver critérios que forneçam uma garantia de convergência. No método de Gauss-Seidel, os seguintes critérios estabelecem condições de convergência: Critério de Sassenfeld; e Critério das Linhas.

Critério de Sassenfeld (2)

Critério de Sassenfeld (3) Exemplo 2: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se

Critério de Sassenfeld (4) Portanto, E tem-se a garantia de que o Método de Gauss-Seidel vai gerar uma sequência convergente.

Critério de Sassenfeld (5) Exemplo 3: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, Para esse sistema, com esta disposição de linhas e colunas, tem-se

Critério de Sassenfeld (6) Trocando-se a 1ª equação pela 3ª equação tem-se Onde

Critério de Sassenfeld (7) Trocando-se a 1ª coluna pela 3ª coluna tem-se, Onde Logo, a sequência é convergente

Critério das Linhas (1) Critério das Linhas Esse critério, já estudado no Método de Gauss-Jacobi, pode ser aplicado como critério de convergência no Método de Gauss-Seidel. Então o Método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente. Obs.: O Critério de Sassenfeld pode ser satisfeito mesmo que o Critério das Linhas não o seja.

Critério das Linhas (2) Exemplo 4: Seja o seguinte sistema linear apresentado a seguir, Tem-se,

Critério das Linhas (3) Entretanto, Logo, o Critério de Sassenfeld é satisfeito.