Dualidade UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade Seja o PPL, doravante chamado de PPL primal: Associado a este PPL, existe um PPL, chamado PPL dual: UFOP - ICEA UFOP - ICEA

Dualidade Uma indústria dispõe de três recursos A,B,C . Produz dois produtos P1 e P2. Lucro unitário de $ 5 e $ 6 Lucro Recurso A B C P1 P2 5 6 1 7 2 4 Disponibilidade 14 9 56 UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza UFOP - ICEA

Dualidade Primal: UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade: Regras de transformação Primal Dual MIN Restrição  Variável MAX = qq.  Prof.: Guido Pantuza

Dualidade Dual: UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade Vantagens: Em situações na qual a matriz de coeficientes do primal tem maior número de linhas do que de colunas: Dual A base no DUAL é menor!!! UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade: Vantagens É possível “cercar” a solução ótima. (Considere um PPL primal de minimização) UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

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Dualidade: Vantagens É possível “cercar” a solução ótima. (Considere um PPL primal de minimização) f(x) (valor do primal) x* = u* fD(x) (valor do dual) UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade Interpretação Econômica Seja o par de PPL’s: PRIMAL DUAL UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade: Interpretação Econômica Sejam x* e u* soluções ótimas desses PPL’s e seja B* a base relativa a essas soluções. Então: Supondo b variável e derivando em relação a b, temos: Então u* é a taxa de variação do valor ótimo da função objetivo f(x*) com b. Como u*  0, então f(x*) cresce à medida que bi cresce UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade: Interpretação Econômica Considere o primal um problema de alocação de recursos, com m recursos disponíveis nas quantidades b1, b2, ..., bm com os quais desejamos fabricar n produtos nas quantidades x1, x2, ..., xn a serem determinadas. Cada unidade do produto j consome aij unidades do recurso i trazendo um retorno de cj unidades monetárias. Queremos determinar a quantidade a ser fabricada de cada produto de modo a maximizar o retorno. UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade: Interpretação Econômica Suponha, agora, aumentada em uma unidade a quantidade disponível do recurso k, isto é, temos (bk + 1) unidades. Suponha que a base associada permaneça a mesma. Neste caso, a nova solução ótima u** do dual permanece a mesma uma vez que: u** = u* = (cB*)tB*-1. A nova solução ótima x** será: UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade Uma indústria dispõe de três recursos A,B,C . Produz dois produtos P1 e P2. Lucro unitário de $ 5 e $ 6 Lucro Recurso A B C P1 P2 5 6 1 7 2 4 Disponibilidade 14 9 56 UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza UFOP - ICEA

Dualidade VB x1 x2 x3 x4 x5 b 1 -1 5 2 4 3 -10 8 50 Solução: 1 -1 5 2 4 3 -10 8   50 UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade Solução Dual: VB u1 u2 u3 u4 u5 b x2 1 10 -2 4 x5 -3 -1 8 5 1 10 -2 4 x5 -3 -1   8 5 50 UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza

Dualidade VB u1 u2 u3 u4 u5 b 1 10 -2 4 -3 -1 8 5 50 VB x1 x2 x3 x4 x5 1 10 -2 4 -3 -1   8 5 50 u é chamado shadow price, dual, valor incremental, efficiency price, valor implícito, etc. VB x1 x2 x3 x4 x5 b 1 -1 5 2 4 3 -10 8   50 UFOP - ICEA

Dualidade: Interpretação Econômica Isto é, f(x**) – f(x*) = uk*, ou seja, uk* é o incremento no lucro trazido pelo aumento de uma unidade da matéria disponível k. uk* é chamado shadow price, dual, valor incremental, efficiency price, valor implícito, etc. UFOP - ICEA Prof.: Guido Pantuza