Análise Estatística Variáveis Aleatórias

Variável Característica que pode ser observada (ou mensurada) nos elementos da população, devendo ter um e apenas um resultado para cada elemento observado.

Variáveis Qualitativas - O resultado da variável é uma resposta não numérica. Exemplo: sexo, grau de instrução etc. Quantitativas - O resultado é um número. Exemplo: idade, altura etc.

Variável Aleatória Quando os resultados de uma variável são determinados pelo acaso, trata-se de uma variável aleatória. “Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos, cujo valor é determinado por fatores de chance.” Stevenson, W. (Estatística aplicada à administração)

Exemplos Selecionando-se uma pessoa de um município através de sorteio, o peso é uma variável aleatória. Sorteando-se uma empresa de um setor, o número de funcionários é uma variável aleatória.

Exemplo Lança-se uma moeda e verifica-se a face obtida (cara ou coroa). Face obtida - variável qualitativa - não é uma variável aleatória. Número de caras - variável aleatória associada à variável qualitativa estudada.

Distribuição de Probabilidades A distribuição de probabilidades, ou modelo probabilístico, indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

Exercício Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

Distribuição de Probabilidades Resultados Probabilidade Possíveis 0 0,5 1 0,5 Total 1

Distribuição de Probabilidades 0 1 0,50 k P(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total 1

Exercício Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

Probabilidade Regra da Multiplicação A probabilidade de que dois eventos independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B) U

Probabilidade Evento - Qualquer situação ou resultado que nos interessa. Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não alterar a probabilidade de ocorrência do outro.

Exercício Considerando-se que 2 moedas tenham sido lançadas, construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

Exercício Resultados possíveis Coroa Coroa Cara Coroa Coroa Cara Cara Cara Resultados numéricos 1 2 Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 1o lanç. 2o lanç.

Diagrama de Árvore cara coroa P = 0,25 cara P = 0,25 P = 0,25 coroa 2o lançamento 1o lançamento 0,5 cara coroa P = 0,25 cara 0,5 0,5 P = 0,25 0,5 0,5 P = 0,25 coroa P = 0,25 0,5

Distribuição de Probabilidades Resultados Probabilidade Possíveis 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) Probabilidade Regra da Adição A probabilidade de que um entre dois eventos mutuamente excludentes ocorra é igual à soma das probabilidades individuais. P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

Probabilidade Dois eventos são mutuamente excludentes, ou exclusivos, se a ocorrência de um impedir a ocorrência do outro. Exemplo: No problema anterior, havia basicamente 4 resultados possíveis (KK, CK, KC e CC). Estas quatro situações são excludentes, isto é, somente uma delas poderá ocorrer.

Exercício Resultados possíveis Coroa Coroa Cara Coroa Coroa Cara Cara Cara Resultados numéricos 1 2 Probabilidade 0,5 x 0,5 = 0,25 Soma = 1 1o lanç. 2o lanç.

Distribuição de Probabilidades 0,50 0 1 2 0,25 k P(X=k) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Total 1

Exercício Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 2 sorteados aleatoriamente.

Exercício Resultados possíveis Bom Bom Bom Def. Def. Bom Def. Def. numéricos 1 2 Probabilidade 0,4 x 0,4 = 0,16 0,4 x 0,6 = 0,24 0,6 x 0,4 = 0,24 0,6 x 0,6 = 0,36 1o item 2o item

Exercício k P(X=k) 0 0,16 1 0,48 2 0,36 Total 1 0,48 0,36 0,16 0 1 2

Exercício Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.

Exercício Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D D D B D D D Res. num. 1 2 3 Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

Exercício k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0 1 2 3 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0,064 0 1 2 3 0,216 0,432 0,288

Valor Esperado O valor esperado, ou esperança, ou média, de uma distribuição de probabilidades corresponde à média dos resultados da variável aleatória quando o número de observações for muito grande.

Valor Esperado X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn E(X) = x =  (xi.pi) ... ... xn pn Total 1 E(X) = x =  (xi.pi)

Variância X P(X) x1 p1 x2 p2 ... ... xn pn E(X) = x =  (xi.pi) ... ... xn pn Total 1 E(X) = x =  (xi.pi) VAR(X) = x =  pi.(xi-x)2

Exercício - 1 Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número esperado de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente e o desvio padrão.

Exercício x =  itens x =  item k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 x =  itens x =  item

Probabilida-de condi-cional Regra da Multiplicação A probabilidade de que dois eventos não independentes ocorram é igual à multiplicação das probabilidades individuais. P(A e B) = P(A B) = P(A) x P(B / A) Probabilida-de condi-cional U

Probabilidade Condicional P(B / A) - probabilidade do evento B ocorrer dado que o evento A tenha ocorrido.

Exemplo Um lote com 20 peças contém 4 defeituosas. Se forem retiradas duas peças do lote, qual é a probabilidade de serem retiradas: a) duas peças boas? b) duas peças defeituosas?

Exemplo B - Peça Boa D - Peça Defeituosa P(B) = 16 20 P(D) = 4 20

Exemplo Se a primeira peça for: Boa Defeituosa P(B/B) = 15 / 19 P(D/B) = 4 / 19 P(B/D) = 16 / 19 P(D/D) = 3 / 19

Exemplo a) P(BB) = 16 20 15 19 = 0,6316 ou 63,16% 4 3 a) P(DD) =

P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) Probabilidade Regra da Adição A probabilidade de que pelo menos um entre dois eventos não excludentes ocorra é igual a: P(A ou B) = P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B) U

Exemplo A Petrobrás perfura um poço quando acha que há probabilidade de ao menos 40 % de encontrar petróleo. Ela perfura 2 poços, aos quais atribui as probabilidades de 40 % e 50 %. Qual é a probabilidade de que pelo menos um poço produza petróleo?

Exemplo P(A) = 0,4 P(B) = 0,5 P(A e B) = 0,4 . 0,5 = 0,2 P(A ou B) = 0,4 + 0,5 - 0,2 = 0,7

Exemplo Resultados possíveis Probabilidade Produz Não 0,4 x 0,5 = 0,2 Produz Produz Não Produz Não Não Probabilidade 0,4 x 0,5 = 0,2 0,6 x 0,5 = 0,3 0,7 poço A poço B

MODELOS PROBABILÍSTICOS

Modelos Probabilísticos Em problemas práticos, normalmente não é necessário deduzir as probabilidades de ocorrência, pois existem alguns modelos probabilísticos que se aplicam a várias situações práticas, fornecendo a regra de determinação das probabilidades.

Modelos Probabilísticos O problema não é “como se deduzem os valores?”, mas sim “como se usam as distribuições para resolver problemas?” William J. Stevenson

Exercício Anterior Lança-se uma moeda e anota-se a face obtida. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de caras.

Distribuição de Probabilidades 0 1 0,50 k P(X=k) 0 0,5 1 0,5 Total 1

Distribuição de Bernoulli A distribuição de Bernoulli apresenta apenas dois resultados possíveis (sim ou não), com probabilidade de sucesso igual a “p”.

Distribuição de Bernoulli k P(X=k) 0 (1-p) 1 p Total 1 E(X) = x = p VAR(X) = p.(1-p)

Distribuição Binomial

Distribuição Binomial O modelo binomial pressupõe: São efetuados n experimentos iguais e independentes. Cada um dos experimentos tem apenas 2 resultados possíveis e excludentes (sim e não). Consequentemente, a probabilidade de sim (p) para cada experimento é constante. A variável aleatória de interesse é o número de sim obtidos nos n experimentos.

Distribuição Binomial Para identificar uma distribuição binomial, bastam os parâmetros n e p.

Exercício Anterior Um grande lote de peças possui 60% dos itens com algum tipo de defeito. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória número de itens com defeito dentre 3 sorteados aleatoriamente.

Exercício Anterior Res. poss. B B B B B D B D B D B B B D D D B D Res. num. 1 2 3 Probabilidade 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064 0,4 x 0,4 x 0,6 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,4 = 0,096 0,6 x 0,4 x 0,4 = 0,096 0,4 x 0,6 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,4 x 0,6 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,4 = 0,144 0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216

Exercício Anterior k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0,064 0 1 2 3 0,216 0,432 0,288

Distribuição Binomial O exemplo apresentado pode ser representado por uma distribuição binomial. n = 3 p = 0,6 (item com defeito = sim) (Deseja-se o número de itens com defeito)

( ) ( ) Equação da Binomial P(X=k) = pk.(1- p)(n-k) n k = n k n! ( ) n k = ( ) n k n! k! (n-k)!

Distribuição Binomial k P(X=k) 0 P(X=0) 1 P(X=1) ... ... n P(X=n) Total 1 E(X) = x = np VAR(X) = n.p.(1-p)

( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3 ( ) 3 k ( ) 3 P(X=0) = 0,60.(1- 0,6)(3-0) = 1.0,60.0,43 = 0,064 1 = ( ) 3 3! 0! (3-0)! = 1

( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3 1 ( ) 3 k ( ) 3 1 P(X=1) = 0,61.(1- 0,6)(3-1) = 3.0,61.0,42 = 0,288 = ( ) 3 1 3! 1! (3-1)! = 3

( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3 2 ( ) 3 k ( ) 3 2 P(X=2) = 0,62.(1- 0,6)(3-2) = 3.0,62.0,41 = 0,432 = ( ) 3 2 3! 2! (3-2)! = 3

( ) ( ) ( ) Exemplo p = 0,6 n = 3 P(X=k) = 0,6k.(1- 0,6)(3-k) 3 k 3 ( ) 3 k ( ) 3 P(X=3) = 0,63.(1- 0,6)(3-3) = 1.0,63.0,40 = 0,216 = ( ) 3 3! 3! (3-3)! = 1 1

Exercício k P(X=k) 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0 1 2 3 0 0,064 1 0,288 2 0,432 3 0,216 Total 1 0,064 0 1 2 3 0,216 0,432 0,288

Distribuição Acumulada k P(X=k) Prob. Acumulada 0 0,064 0,064 1 0,288 0,352 2 0,432 0,784 3 0,216 1,000 Total 1 -

Exercício 2 Considerando a mesma situação do exemplo anterior, construir a distribuição de probabilidades para o caso de 5 itens. n = 5 p = 0,6

Exercício k P(X=k) Probab. Acumul. 0 0,01024 0,01024 1 0,07680 0,08704 0 0,01024 0,01024 1 0,07680 0,08704 2 0,23040 0,31744 3 0,34560 0,66304 4 0,25920 0,92224 5 0,07776 1,00000 Total 1 -

Tabela Binomial As probabilidades para algumas binomiais podem ser encontradas em tabelas nos livros de estatística. Também podem ser utilizados softwares.

Exercício 3 Em um grande lote, sabe-se que 10 % da peças são defeituosas. Qual é a probabilidade de, ao se retirarem 6 peças ao acaso: a) Apenas uma ser defeituosa? b) No máximo uma ser defeituosa? c) Pelo menos duas serem defeituosas? 0,3543 0,8857 0,1143

Exercício 4 Os produtos de uma empresa sofrem inspeção de qualidade, através de uma amostra com 12 peças, antes de serem enviados aos consumidores, podendo ser classificados em A (de ótima qualidade), B (bons) e C (de 2ª categoria). Se 70 % de um grande lote forem do tipo A, 20 % forem do tipo B e o restante for do tipo C, qual é a probabilidade de que a amostra apresente no máximo 5 peças tipo B ou C? 0,8822

Exercício 5 Sabe-se que 1% dos produtos fabricados por uma empresa apresentam problemas de qualidade. Dois clientes encomendam um grande lote cada um, mas as remessas têm que passar pela inspeção de qualidade no recebimento. O cliente A seleciona ao acaso 10 produtos e o lote é aceito se não existir nenhuma peça com problema de qualidade. O cliente B toma uma amostra com 20 produtos e aceita o lote se no máximo 1 peça apresentar problemas de qualidade. Qual é a probabilidade dos dois lotes serem aceitos pelos clientes?

Exercício p = Cliente A Cliente B n = n = P(X P(X = P = 0,8891 ou 88,91%

Distribuição Multinomial

Distribuição Multinomial O modelo multinomial é uma generalização do binomial: São efetuados n experimentos iguais e independentes. Cada um dos experimentos tem mais de 2 resultados possíveis e excludentes (k resultados). A probabilidade de sim para o resultado “k” (pk) (i=1, 2, ...) em todos os experimentos é constante. A variável aleatória de interesse é o número de sim em cada categoria.

Distribuição Multinomial P(X=x1, x2, ..., xk) = p1x1 p2x2 ...pkxk n! x1! x2!... xk! n = x1 + x2 + ... + xk

Distribuição Poisson P(X=k) = e-λ λk k!

VARIÁVEIS CONTÍNUAS

Exemplo Um jogo de azar é realizado da seguinte forma: toma-se um círculo e divide-se-o em duas partes iguais, 1 e 2. Sobre o centro do círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o número do setor onde a ponta do ponteiro parou.

Exemplo Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 2 1

Distribuição de Probabilidades 1 2 0,50 k P(X=k) 1 0,5 2 0,5 Total 1

Exemplo Considerar a mesma situação, só que o círculo é dividido em quatro partes iguais. Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento.

Exemplo Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 1 2 3 4

Distribuição de Probabilidades k P(X=k) 1 0,25 2 0,25 3 0,25 4 0,25 Total 1 1 2 3 4

Exemplo 1 2 Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 3 8 4 7 5 6

Histograma 1 2 3 4 5 6 7 8 0,125 Número obtido

Exemplo 1 2 3 16 Construir a distribuição de probabilidades para o número obtido neste experimento. 4 15 5 14 6 13 7 12 8 11 10 9

Histograma 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Número obtido

Dúvida... Qual é o número máximo de setores que se consegue em um círculo? Resp: Infinitos

Variável Contínua Como existem infinitos resultados possíveis, o número obtido no experimento, temos uma situação próxima à da variável contínua. Como ficaria o histograma?

Histograma? 1 8 Área = 1

Dúvida... Qual é a probabilidade dessa variável aleatória contínua assumir um determinado valor (10, por exemplo)? Resposta: A probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir exatamente um determinado valor é zero.

Probabilidades... As probabilidades não podem mais ser calculadas através de equações do tipo P(X=k) = FÓRMULA. Para identificar uma distribuição contínua, existe a função densidade de probabilidade, que é uma equação do tipo y=f(x).

Função da Densidade de Probabilidade A função densidade de probabilidade está relacionada com a probabilidade da variável aleatória contínua assumir algum resultado possível.

Função Densidade de Probabilidade f(x) variável aleatória

Variável Contínua O estudo de uma variável aleatória contínua é análogo ao das variáveis discretas. A distribuição de probabilidades indica, para uma variável aleatória, quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer.

Variável Contínua Características A área sob a função densidade é 1. f(x) variável aleatória área = 1 (ou 100%)

Variável Contínua Características A probabilidade da variável aleatória assumir um valor determinado é zero, pois existem infinitos resultados possíveis. As probabilidades sempre se referem a intervalos de valores.

Características f(x) X k P(X=k) = 0

Variável Contínua Características A probabilidade da variável aleatória assumir um valor em um intervalo é igual à área sob a função densidade naquele intervalo.

Características P(a < X < b) = área amarela f(x) X a b

Exercício Sobre o centro de um círculo, é fixado um ponteiro, o qual é girado e anota-se o ângulo formado pelo ponteiro com o eixo horizontal, como na figura a seguir.

Exercício Definir a função densidade de probabilidades para o ângulo () obtido neste experimento. 

Exercício f(x) 0o 360o X Área = 1 1 360

Exercício Qual é a probabilidade de se obter um ângulo entre 30o e 60o?

Exercício área = 60 - 30 360 - 0 = 1 12 = 0,0833 f(x) 0o 360o X P(30o < X < 60o)

Distribuição Uniforme f(x) 1  f(x) = 1  X  

Distribuição Uniforme f(x) X   a b b - a P(a < X < b) = 

Distribuição Normal

Função Densidade  - média  - desvio padrão

Distribuição Normal f(x) X 

Características Variável identificada pela média e pelo desvio padrão.  X 

Média e Desvio Padrão  = 1   = 2  = 3  = 4 X

Média e Desvio Padrão  = 3 1 2 3 X

Características Simetria em relação à média. 50% X 

Características A área sob a curva entre a média e um ponto qualquer é função da distância padronizada entre a média e aquele ponto. Distância padronizada - distância expressa em função do número de desvios padrões (distância dividida pelo desvio padrão).

Exemplo + -  área = 68,3%

Exemplo +2 -2  área = 95,4%

Exemplo +3 -3  área = 99,7%

Características As áreas referem-se a probabilidades. P ( X < a ) X  a

Normal Padronizada O cálculo de áreas sob a curva normal é consideravelmente complexo. Por isso, é conveniente trabalhar com valores padronizados.

Normal Padronizada Para padronizar uma variável normal, toma-se a média como ponto de referência e o desvio padrão como medida de afastamento.

Normal Padronizada X -  Z =  Z - variável normal padronizada X - variável normal  - média  - desvio padrão

Normal Padronizada = 1 Z = 0

Normal Padronizada   - + -2 +2 X Z -2 -1 1 2

Exemplo O peso de uma peça é normalmente distribuído com média de 500 gramas e desvio padrão de 5 gramas. Encontrar os valores padronizados relativos aos pesos: 485g, 490g, 495g, 500g, 505g, 510g e 515g.

Exemplo X = 510 g Z = X -   510 - 500 5 = = 10 5 = 2

Exemplo = 5 X 500 495 -1 505 1  510 490 2 -2 485 515 -3 3 Z

Exemplo P(X<510) = P(Z<2) = 5 X 500 510 2 Z

Exercício Com base na tabela da normal padronizada, calcular: a) P(Z < -1) Z -1 0,158655

Exercício b) P(Z > 1) Z 0,158655 +1

Exercício c) P(Z < 1) 0,841345 Z 1

Exercício c) P(-1 < Z < 1) 1- 0, 158655 - 0,158655 = 0,68269 Z 1 1 -1

Exercício c) P(-2 < Z < 2) 1 - 0, 022750 - 0,022750 = 0,9545 Z 2 2 -2

Exercício c) P(-3 < Z < 3) 1- 0,001350 - 0,001350 = 0,9973 Z 3 3 -3

Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: a) menos de 49.000 Km? 0,158655

Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: b) mais de 51.000 Km? 0,158655

Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: c) entre 49.000 Km e 51.000 Km? 0,68269

Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: d) entre 48.000 Km e 52.000 Km? 0,9545

Exercício 6 Supondo que a vida útil dos pneus de caminhões seja normal, com média de 50.000 Km e desvio padrão de 1.000 Km, qual é a probabilidade de um pneu, escolhido ao acaso, apresentar vida útil de: e) entre 47.000 Km e 53.000 Km? 0,9973