Algoritmos em Grafos

CAMINHOS MAIS CURTOS Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Dados: grafo G=(V,A) orientado e distância cij associada ao arco (i,j)  A. Problema: Obter o caminho mais curto entre dois nós s e t. O comprimento de um caminho é igual à soma dos comprimentos (distâncias) dos arcos que formam o caminho. A “distância” ou “comprimento” de um arco pode ter diversas interpretações dependendo da aplicação: custos, distâncias, consumo de combustível, etc. Exemplo 1: Dado um mapa rodoviário, determinar a rota mais curta de uma cidade a outra. (rota mais rápida, rota com menor consumo de combustível, ...) Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Exemplo 2: Construção de uma estrada entre duas cidades A e K. O grafo abaixo representa os diversos trechos possíveis e o custo de construção de cada um. Determinar o trajeto ótimo cujo custo de construção seja mínimo (corresponde a achar o caminho mais curto de A a K em relação a estes custos). A B C D F E G J I H K 8 7 5 6 4 2 Solução: A – D – G – I – K custo = 7 + 2 + 2 + 5 = 16 Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Condição de existência: Caminho de i a j contendo um circuito w: k j i w Comprimento do caminho = comprimento (i  k) + comprimento (w) + comprimento (k  j) Qual é o comprimento do caminho mais curto de i a j se o comprimento do circuito w é negativo? Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Condição de existência: não há circuitos de comprimento negativo. A solução ótima (caminho mais curto) sempre será um caminho elementar (sem circuito). Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Caminho mais curto: - De um nó a outro - De um nó a todos os demais - Entre todos os pares de nós de um grafo Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Caminho mais curto do nó 1 a cada nó do grafo G=(V,A) Hipótese: todas as distâncias cij são positivas: cij ≥ 0, (i,j)  A Algoritmo de Moore-Dijkstra (1957-1959) *(i) = comprimento do caminho mais curto do nó 1 ao nó i Em especial, *(1)=0 (distâncias positivas). Algoritmo com n-1 iterações No início de cada iteração, o conjunto V de nós está particionado em dois subconjuntos S e S, com o nó 1 em S. Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Cada nó i  V possui um rótulo (i ), que verifica a seguinte propriedade: dá o valor do caminho mais curto de 1 a i sob a restrição de que todos os nós utilizados (exceto o próprio i ) pertençam a S. a 1 b c i cai cbi cci Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Teorema: Seja o nó tal que . Então , isto é, o comprimento do caminho mais curto do nó 1 ao nó j é igual a . Demonstração: Por construção, certamente existe um caminho de 1 até j com comprimento (j). Suponhamos que exista outro caminho de 1 a j de comprimento menor do que (j). Dividamos este caminho em duas partes: - P1 é a parte inicial, do nó 1 ao nó L, onde L é o primeiro nó de encontrado - P2 é a parte final, do nó L ao nó j Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos comprimento de P1 ≥ (L) ≥ (j) Logo, o comprimento de P1 + P2 ≥ (j). Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Algoritmo de Moore-Dijkstra Inicializar S  {2,3,...,n}, S  {1}, (1) 0, (j) c1j se j1+ + caso contrário Enquanto S   faça Selecionar jS tal que (j)= miniS{(i)} S  S – {j} Para iS e ij+ faça (i)  min{(i), (j)+cji} fim_enquanto O algoritmo constrói progressivamente o conjunto dos nós mais próximos de 1.  Construção de uma arborescência com raiz em 1 que define os caminhos mais curtos do nó 1 a cada nó do grafo. Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Exemplo: (1) = 0 (2) = 7 (3) = 1 4 5 6 7 S = {1} S = {2,3,4,5,6} (1) = 0 (2) = 7 (3) = 1 (4) = (5) = (6) = + ITERAÇÃO 1 *(1) = 0 *(3) = 1 1 2 3 4 5 6 7 j = 3 S = {2,4,5,6} (2) = min{7, 1+5} = 6 (5) = min{, 1+2} = 3 (6) = min{, 1+7} = 8 Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos (2) = min{6, 3+2} = 5 (4) = min{, 3+5} = 8 *(1) = 0 *(3) = 1 1 2 3 4 5 6 7 *(5) = 3 ITERAÇÃO 2 j = 5 S = {2,4,6} (2) = min{6, 3+2} = 5 (4) = min{, 3+5} = 8 ITERAÇÃO 3 *(1) = 0 *(3) = 1 1 2 3 4 5 6 7 *(5) = 3 *(2) = 5 j = 2 S = {4,6} (4) = min{8, 5+4} = 8 (6) = min{, 5+1} = 6 Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos (4) = 8 ITERAÇÃO 4 j = 6 S = {4} ITERAÇÃO 5 *(1) = 0 *(3) = 1 1 2 3 4 5 6 7 *(5) = 3 *(2) = 5 *(6) = 6 ITERAÇÃO 4 j = 6 S = {4} (4) = 8 *(1) = 0 *(3) = 1 1 2 3 4 5 6 7 *(5) = 3 *(2) = 5 *(6) = 6 *(4) = 8 ITERAÇÃO 5 j = 4 S = { } Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos  Iteração 1 2 3 4 5 6 7 Início nó 4 2  4 2 5  4 2  4 2 5  4 2 5 7 4 2 5 7 4 2 5 7 4 2 5 7 4 2 5 7 Algoritmos em Grafos

Caminhos mais Curtos Número de operações (tempo): O(n2) n-1 iterações, cada iteração busca o mínimo em uma lista com até n-1 elementos (vetor ) Caminho mais curto do nó 1:  ao nó j  a todos os nós Mesma complexidade, mas critérios de parada diferentes. Algoritmos em Grafos