Decidibilidade, Corretude, Completude, Consistência, Monotonicidade Lógica de Predicados Decidibilidade, Corretude, Completude, Consistência, Monotonicidade

Como avaliar sistemas de dedução?? Avaliação do algoritmo Finitude Complexidade Avaliação da capacidade de inferência Qualidade: Consistência Eficiência: Completude

Avaliação do algoritmo de dedução Análise de lógicas Finitude = Decidibilidade Tem a ver com teoria da computação Computabilidade, Máquinas de Turing, funções recursivas, ... Análise para métodos de dedução Correção Completude Consistência Monotonicidade

Computabilidade Intuitivamente uma função é dita computável se é possível calcular seu valor, dado qualquer elemento do seu domínio Será toda função, bem definida, computável? NEM SEMPRE!!!

Decidibilidade Caso particular de computabilidade quando a função só admite dois valores É possível resolver um problema algoritmicamente (insolubilidade)? Quando se fala se um problema é solúvel tem-se um problema de decidibilidade Trata-se de saber se um algoritmo acaba Devolvendo uma resposta, no nosso caso, T ou F Há lógicas que são assim!

Complexidade Computabilidade diz respeito a se um problema pode ou não ser resolvido Complexidade diz respeito à quantidade de recursos necessários para resolver um problema Os recursos (normalmente) são: Memória Tempo Porém... Complexidade não será analisada nesse curso 

E para sistemas de dedução? Desejamos que nossos sistemas de dedução tenham certas propriedades... Quais?? Relembrando conceitos Tautologia Teorema Contradição

Avaliando sistemas de dedução Queremos que o nosso sistema de dedução hipotético SD seja correto, completo e consistente Que danado é isso???

Correto Correto: Toda sentença deduzida por SD a partir de um dado conjunto de sentenças S inclusive o conjunto vazio de sentenças! Seja realmente dedutível a partir de S! Se as premissas são válidas, a conclusão também é válida!

Completo e Consistente Toda sentença realmente dedutível a partir de S, seja também dedutível através de SD Consistente: Não seja possível gerar contradições usando SD

Teorema da correção Se b├SD H, então b├ H Um sistema de dedução SD é correto se satisfaz à condição abaixo Todas as condições são a mesma no fundo  Se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b a partir de SD, H é realmente conseqüência lógica de b Se b├SD H, então b├ H SD só deduz fórmulas corretas!!

Teorema da completude Se b├ H, então b├SD H Um sistema de dedução SD é completo se satisfaz às condições abaixo Todas as condições são a mesma no fundo  Se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b, H também é conseqüência lógica de b a partir de SD Se b├ H, então b├SD H Toda fórmula dedutível também é dedutível por SD!!

Teorema da Consistência Um sistema de dedução SD é consistente sse não é possível deduzir usando SD duas fórmulas que se contradizem Não é possível ├SD H e ├SD H Teorema: Um sistema correto é também consistente

Prova de Consistência Se ├SD H, pelo teorema da correção: H é tautologia D H é contraditória Não é possível ├SD H, pois H seria uma tautologia Não é possível que H e H sejam tautologias

Consistência e satisfatibilidade Um conjunto de fórmulas b é consistente sse não existir uma fórmula H de forma a b├ H e b├ H Não é possível deduzir H e H a partir de b Teorema da Consistência e satisfatibilidade Um conjunto de fórmulas é consistente sse for satisfatível

Monotonicidade Definição fraca: Se KBi├ H, então KBj├ H Não perder o que é dedutível Definição forte: Se KBi├ H e j>i, então KBj├ H e KBj  KBi KB só aumenta