Carlos André Vaz Junior cavazjunior@gmail.com http://www.eq.ufrj.br/links/h2cin/carlosandre

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Exemplo 1 Exemplo 1

Elaborar uma function que execute o somatório e retorne o resultado. Exemplo 1 No processo de compra de um equipamento de pesquisa, o preço final é a soma do custo do equipamento (A), frete (B) e impostos (C). Elaborar uma function que execute o somatório e retorne o resultado.

Exemplo 1

Exemplo 2 Exemplo 2

Tenho uma matriz 2x6 e devo encontrar o elemento Exemplo 2 Tenho uma matriz 2x6 e devo encontrar o elemento de menor valor. Como se faz?

Achando a posição do menor valor de uma matriz: Exemplo 2 Achando a posição do menor valor de uma matriz: x=[1 2 3 4 5 6 ; 2 10 3 3 2 25]; %Forma linear: xmin=min(x); xmin=min(xmin); [i,j]=find(x==xmin); %Forma condensada: [i,j]=find(x==(min(min(x))));

Exemplo 3 Exemplo 3

Elabore um gráfico de Z(x,y). Exemplo 3 Para que possamos continuar um projeto é necessário analisar o comportamento do parâmetro Z diante das variáveis X e Y. A equação é: Elabore um gráfico de Z(x,y). Z=exp(-0.5*(X2 + Y2))

Exemplo 3 xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); Z=exp(-0.5*(X.^2+Y.^2)); colormap jet figure(1);surf(X,Y,Z); rotate3d on; shading interp;

Exemplo 3

Exemplo 4 Exemplo 4

Nesse exemplo desejamos elaborar um gráfico de superfície que uma propriedade termodinâmica. O valor dessa propriedade é função da composição (X1, X2 e K) da mistura. Assim, a base do gráfico será X e Y, e o eixo vertical representa o valor da propriedade dado por: Z=(X.*log(X))+(Y.*log(Y))+(K.*log(K)); Restrição: K refere-se a concentração do terceiro componente. Desse modo, K= 1 – X – Y E K não pode ser negativo!

Exemplo 4 %Malha triangular da base %malha da base xx=0:0.01:1; yy=0:0.01:1; [X,Y]=meshgrid(xx,yy); K=1-X-Y; %aplica a restrição para usar só a base do triangulo %onde existe consistência física (o que nao tem vira "Not a Number") iz=find(K<0);K(iz)=nan; Z=(X.*log(X))+(Y.*log(Y))+(K.*log(K)); %gráfico da superfície colormap jet figure(1);surf(X,Y,Z); rotate3d on; shading interp; xlabel('X1');ylabel('X2');zlabel('DeltaGi/RT');

Exemplo 4

Exemplo 5 Exemplo 5a

Exemplo 5

Exemplo 5

Exemplo 5

Exemplo 5

Exemplo 5 % Definição das constantes do modelo R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação da altura de líquido h = R*Fe*(1 - exp(-t/(R*A))); % m % Visualização da simulação plot(t,h); title('Simulação do tanque de nível'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)');

Exemplo 5 Verifique a consistência do calculo: a matriz “h” gerada também deve ser 1x1000, já que cada instante “t” gerou um valor “h”. É sempre útil conferir a dimensão das variáveis, principalmente a medida que as rotinas forem tornando-se complexas. Dica!

Exemplo 5 Exemplo 5b

Exemplo 5 Muitas vezes é muito trabalhoso, ou mesmo impossível, encontrar a solução analítica para o conjunto de equações diferenciais. Nesse caso temos que simular usando solução numérica das equações diferenciais. Vamos assumir que o modelo do exemplo 1 não tivesse solução analítica, e então usar o Matlab para estudar o comportamento da altura do nível com o tempo. A equação diferencial será:

Exemplo 5 % Definição das constantes do modelo R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação da altura de líquido [t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]); % Visualização da simulação plot(t,h); title('Simulação do tanque de nível'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); function dh = dhdt(t,h,flag,par) R = par(1); A = par(2); Fe = par(3); dh = (Fe-(h/R))/A;

[t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]); Exemplo 5 Nesse caso temos uma equação diferencial, então deveremos usar uma função Matlab específica para a resolução de eq. diferenciais. No caso temos a ODE45. A função ODE45 implementa um esquema de solução de sistemas de EDO’s por método de Runge-Kutta de ordem média (consulte o help sobre ODE45 para maiores detalhes). [t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]);

Exemplo 5 Os parâmetros enviados entre parênteses são aqueles que devemos passar para a ODE45:   -1º argumento de ode45 é uma string contendo o nome do arquivo .m com as equações diferenciais. Neste caso, o arquivo chama-se dhdt.m. -2º argumento é um vetor que pode conter (i) dois elementos: os tempos inicial e final da integração, ou (ii) todos os valores de tempo para os quais deseja-se conhecer o valor da variável integrada. -3º argumento é o vetor contendo as condições iniciais das variáveis dependentes das EDO’s. Os valores dos elementos do vetor de condições iniciais precisam estar na mesma ordem em que as variáveis correspondentes são calculadas na função passada como 1º argumento para ode45 (neste caso, dhdt.m). Nesse caso em particular só temos uma variável dependente, assim temos uma única condição inicial.

Exemplo 5 -4º argumento é o vetor de opções de ode45. Há várias opções do método que podem ser ajustadas. Entretanto, não deseja-se alterar os valores-padrão. Neste caso, é passado um vetor vazio, apenas para marcar o lugar das opções.   -5º argumento é um vetor contendo parâmetros de entrada para a função dhdt.m. Observe que a função .m deve ler esses parâmetros na ordem correta (recebe como variável local “par”). Os resultados da simulação são obtidos nos dois parâmetros entre colchetes (t , h).

function dy = nomefun(t, y, flag, arg1, ..., argN) Exemplo 5 A codificação do arquivo .m segue o mesmo formato já explicado para funções porém com algumas particularidades. No caso específico de um arquivo .m que deve ser chamado por uma função de solução EDO’s (todas as ODExx), a declaração deste arquivo deve seguir a sintaxe: function dy = nomefun(t, y, flag, arg1, ..., argN) onde dy é o valor da(s) derivada(s) retornadas t e y são as variáveis independente e dependente, respectivamente. Opcional: caso deseje-se receber outros parâmetros, a função deve receber um argumento marcador de lugar chamado flag. Após este, ela recebe quaisquer outros parâmetros.

Exemplo 5 Exemplo 5c

É necessário agora guardar alguns termos intermediários Exemplo 5 É necessário agora guardar alguns termos intermediários realizados no cálculo da function. Por exemplo: function dh = dhdt(t,h,flag,par) global Y tvetor R = par(1); A = par(2); Fe = par(3); dh = (Fe-(h/R))/A; Quero guardar: Y=Fe+A+dh; Como se faz?

ganhou apenas três linhas novas. O comando global Exemplo 5 % Definição das constantes do modelo clear all global Y tvetor R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação da altura de líquido [t,h] = ode45('dhdt',t, 0,[],[R A Fe]); % Visualização da simulação plot(t,h); title('Simulação do tanque de nível'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); figure(2) plot(tvetor,Y,'*b') O programa principal ganhou apenas três linhas novas. O comando global vai estabelecer comunicação com a function e os comandos figure e plot fazem o gráfico do novo parâmetro.

function dh = dhdt(t,h,flag,par) global Y tvetor R = par(1); Exemplo 5 function dh = dhdt(t,h,flag,par) global Y tvetor R = par(1); A = par(2); Fe = par(3); dh = (Fe-(h/R))/A; Ylinha=Fe+A+dh; Y=[Y Ylinha]; tvetor=[tvetor t]; Dentro da function é necessário usar o comando global para estabelecer a troca dos novos dados. O novo dado é: Ylinha=Fe+A+dh; Para acumular usamos a matriz Y. O vetor “tvetor” guarda o tempo referente para cada valor de Y calculado.

Exemplo 5

Exemplo 6 Exemplo 6

Exemplo 6

Exemplo 6

Exemplo 6 Traduzindo as equações diferenciais para o Matlab: Matlab Real dy(1) dh/dt y(1) h dy(2) dT/dt y(2) T

Exemplo 6 % Definição das constantes do modelo R = 1; % h/m2 A = 2; % m2 Fe = 10; % m3/h Cp = 0.75; % kJ/(kg . K) Ro = 1000; % kg/m3 U = 150; % kJ/(m2 . s . K) Te = 530; % K Th = 540; % K   % Tempo de simulação t = 0.0 : 0.01 : 10.0; % h % Simulação do modelo [t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]);

Exemplo 6 % Visualização da simulação figure(1); plot(t,y(:,1)); title('Tanque de aquecimento'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); figure(2); plot(t,y(:,2)); ylabel('Temperatura (K)');

Exemplo 6 A única modificação em relação ao exemplo anterior é que estamos passando duas condições iniciais (pois existem duas variáveis dependentes): [t,y]=ode45('dydt',t,[(5/A) Th],[],[U A Ro Cp Fe R Te Th]);

Exemplo 6 A função .m tem o código apresentado a seguir:   function dy = dydt(t,y,flag,par); U = par(1); A = par(2); Ro = par(3); Cp = par(4); Fe = par(5); R = par(6); Te = par(7); Th = par(8); dy(1) = (Fe-(y(1)/R))/A; dy(2) = (1/y(1))* ( ((Fe*Te/A)+(U*Th/(Ro*Cp)))... - ( y(2)*((Fe/A)+(U/(Ro*Cp)))) ); dy = dy(:);

Exemplo 6 O vetor dy é criado como vetor linha (dy(1)) e (dy(2)). Porém temos que retornar como vetor coluna. Use o comando: matriz coluna = matriz linha (:) Dica!

Exemplo 6 Quando for fazer os gráficos no programa principal lembre-se que a primeira coluna de “dy” refere-se a “h” e a segunda a “T”. Então para graficar h vs. tempo faça: figure(1); plot(t,y(:,1)); title('Tanque de aquecimento'); xlabel('Tempo (h)'); ylabel('Altura (m)'); Dica!

Exemplo 7 Exemplo 7

Em uma amostragem experimental obtivemos o seguinte Exemplo 7 Em uma amostragem experimental obtivemos o seguinte conjunto de pontos: xexp=[0 1 2 3 4 5]; yexp=[-25 -10 7 6.7 -5 -15]; Ajuste um polinômio de 2ª ordem para os dados

Programa principal: Exemplo 7 close all % chute inicial: A=4; B=2; X0=[A;B;C]; options = optimset('display','iter'); X = fminsearch('UUm',X0,options); disp('Resultado (A, B, C)') disp(X) figure(2) xexp=[0 1 2 3 4 5]; yexp=[-25 -10 7 6.7 -5 -15]; x=0:0.01:5; y=(X(1)*(x.^2))+(X(2).*x)+X(3); plot(x,y,'-b') hold on plot(xexp,yexp,'*r') Programa principal:

Função UUm: Exemplo 7 function [erro] = UUm(entra) A=entra(1); B=entra(2); C=entra(3); xexp=[0 1 2 3 4 5]; yexp=[-25 -10 7 6.7 -5 -15]; ymod=(A*(xexp.^2))+(B.*xexp)+C; erro=(yexp-ymod).^2; erro=sum(erro); plot(xexp,yexp,'*r') hold on plot(xexp,ymod,'-b') pause(0.1)

Exemplo 8 Exemplo 8

A seguinte malha de controle foi elaborada no Simulink. Exemplo 8 A seguinte malha de controle foi elaborada no Simulink. Usar o Matlab para ajustar o controlador. degrau unitário no instante 5 P I D

Programa principal: Exemplo 8 clear all close all warning off options = optimset('display','iter'); global P I D erro Pmin = fminsearch('custo', [1 5 1],options)

Função “custo”: Exemplo 8 function [erro] = custo(x) global P I D erro P=x(1); I=x(2); D=x(3); [T]=sim('malha',[0 65]); erro=sum(erro.^2);

Solução encontrada para degrau unitário no SP: Exemplo 8 Solução encontrada para degrau unitário no SP: Pmin = 4.5075 2.6329 -0.0000

Arquitetura Simulink usada para gerar o gráfico Exemplo 8 Arquitetura Simulink usada para gerar o gráfico do slide anterior:

Exemplo 8b Exemplo 8b

Ao invés de minimizar o somatório quadrático do erro, Exemplo 8b Ao invés de minimizar o somatório quadrático do erro, posso minimizar o somatório quadrático ponderado com o tempo. Ou seja, erros em tempos mais elevados são mais significativos.

Exemplo 8b

options = optimset('display','iter'); global P I D erro tempo Exemplo 8b Programa principal: clear all close all warning off options = optimset('display','iter'); global P I D erro tempo Pmin = fminsearch('custo', [10 5 1],options)

function [erro] = custo(x) global P I D erro tempo P=x(1); I=x(2); Exemplo 8b Função custo: function [erro] = custo(x) global P I D erro tempo P=x(1); I=x(2); D=x(3); [T]=sim('malha',[0 65]); %erro=sum(erro.^2); % somatorio quadratico do erro erro=sum((erro.*tempo).^2); % somatorio quadratico do erro ponderado com o tempo

Resultado obtido: Pmin = 25.8333 5.3333 -0.0000 Chute inicial usado: Exemplo 8b Resultado obtido: Pmin = 25.8333 5.3333 -0.0000 Chute inicial usado: 10 5 1

Exemplo 9 Exemplo 9

Um sistema de detecção de falhas retorna em seu relatório Exemplo 9 Um sistema de detecção de falhas retorna em seu relatório o índice de confiança de cada um dos sensores disponíveis. O resultado está na forma de texto: SVI-D sensor 1:0.87514 SVI-D sensor 2:0.96246 SVI-D sensor 3:0.99978 SVI-D sensor 4:0.942 SVI-D sensor 5:0.86938 SVI-D sensor 6:0.98819 SVI-D sensor 7:0.94546 SVI-D sensor 8:0.82448 SVI-D sensor 9:0.99934 SVI-D sensor 10:0.91721 SVI-D sensor 11:0.99358 SVI-D sensor 12:0.96833 SVI-D sensor 13:0.92814 SVI-D sensor 14:0.83297 SVI-D sensor 15:0.97261 SVI-D sensor 16:0.98094 SVI: índice de validade do sensor

A questão então é achar o sensor que apresenta o menor Exemplo 9 A questão então é achar o sensor que apresenta o menor índice de validade. Ou seja, achar o menor SVI. Como fazer isso sem precisar digitar tudo de novo?

Exemplo 9 celula=importdata('texto.m'); texto=char(celula); resultado=[]; sensores=[]; for i=1:16, posicao=find(texto(i,:)==':'); valor=texto(i,posicao+1:end); valor=str2num(valor); resultado=[resultado;valor]; end % Ordena do menor para o maior: ordenado=sort(resultado); for i=1:16, sensor=find(ordenado(i,:)==resultado); sensores=[sensores;sensor]; end disp('Valores ordenados') ordenado disp(' ') disp('Em ordem de sensores:') sensores

Exemplo 10 Exemplo 10

Exemplo 11 Exemplo 11

Exemplo 11 Na compra de uma calculadora gráfica, a loja ofereceu duas propostas de financiamento – proposta “A” e “B”. A proposta A é composta por 7 parcelas mensais iguais de 114 reais cada. Já a proposta B prevê 10 parcelas mensais iguais de 98 reais cada. Qual é a melhor opção de compra considerando a taxa de juros oferecida em investimentos denominados “renda fixa”? A princípio poderia resolver o problema simplesmente multiplicado 114 x 7 e 10 x 98, achando o valor final pago. Os valores encontrados seriam 798 e 980. Logo, a Proposta A parece mais favorável para o comprador.

Exemplo 11 É importante lembrar, porém, que essa forma de resolução não considera que o dinheiro desvaloriza-se ao longo dos meses. Ou seja, o poder de compra de 100 reais hoje, é superior ao poder de compra de 100 reais daqui a 10 meses. Outra forma de pensar é considerar o “custo de oportunidade” – a taxa de retorno livre de que conseguiria para o meu dinheiro caso, ao invés de pagar agora, investisse. De uma forma ou de outra o que precisamos é do VALOR PRESENTE (VP) de cada série de pagamentos, sendo os pagamentos descontados a dada taxa de juros. Para trazer VALOR FUTURO (VF) para valor presente usa-se a fórmula:

Exemplo 11 Onde “i” é a taxa de juros mensal e “n” o número de meses entre o VF e o VP. O código MATLAB abaixo representa os valores presentes para cada taxa de juros implementada. O programa aponta ainda o valor de juros que o VP de ambas as séries tornam-se iguais. Depois, apresenta-se detalhadamente a explicação do código implementado.

Exemplo 11 clc close all clear all ivetor=0:0.01:0.50; VPvetor114=[];   ivetor=0:0.01:0.50; VPvetor114=[]; VPvetor98=[]; prompt{1}='Número de meses do pagamento da serie A:'; prompt{2}='Número de meses do pagamento da serie B:'; prompt{3}='Valor de cada parcela da serie A:'; prompt{4}='Valor de cada parcela da serie B:'; resposta=inputdlg(prompt,'Calculo da taxa de equilibrio'); nummeses114=str2num(char(resposta(1))); nummeses98=str2num(char(resposta(2))); v114=str2num(char(resposta(3))); v98=str2num(char(resposta(4)));

Exemplo 11 for J = 1:length(ivetor), i=ivetor(J); VP=[];   for J = 1:length(ivetor), i=ivetor(J); VP=[]; for K = 1:nummeses114, VP(K)=v114/(1+i)^K; end VPfinal=sum(VP); VPvetor114=[VPvetor114, VPfinal]; for K = 1:nummeses98, VP(K)=v98/(1+i)^K; VPvetor98=[VPvetor98, VPfinal];

Exemplo 11 plot(ivetor*100,VPvetor114,'-b') hold on plot(ivetor*100,VPvetor98,'-r') title('Valor presente das parcelas a serem pagas') legend( [ num2str(nummeses114), ' parc de ', num2str(v114) ,' reais cada'] , ... [ num2str(nummeses98), ' parc de ', num2str(v98) ,' reais cada' ] ) xlabel('Taxa de juros mensal') ylabel('Valor presente em Reais') if (VPvetor114(1)<VPvetor98(1)), posicoes=VPvetor114<VPvetor98; achaZero=find(posicoes==0); achaPrimeiroZero=min(achaZero); plot(100*ivetor(achaPrimeiroZero),VPvetor114(achaPrimeiroZero),'ok') else posicoes=VPvetor98<VPvetor114; end text(100*ivetor(achaPrimeiroZero),50+VPvetor114(achaPrimeiroZero), ... ['Juros de equilibrio (a.m.) = ',num2str(100*ivetor(achaPrimeiroZero)),' %'] )

Exemplo 11

Carlos André Vaz Junior cavazjunior@gmail.com http://www.eq.ufrj.br/links/h2cin/carlosandre