Estatística O que é: Conceitos: 2. Estatística indutiva Visa tirar conclusões sobre a população a partir de amostras. Refere-se à maneira de estabelecer conclusões para toda uma população observando apenas parte dela. O que é: É um conjunto de técnicas de pesquisa na qual se coleta, organiza e interpreta dados colhidos entre um grupo aleatório de pessoas. Conceitos: Divisão da estatística: Estatística geral Visa elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos fenômenos de massa. A estatística geral ainda pode ser dividida em dois subgrupos: 1. Estatística descritiva Diz respeito à coleta, organização, classificação, apresentação e descrição dos dados a serem observados. População É todo o conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica comum observável. Amostra É uma parte da população que será avaliada por um critério comum. Dados estatísticos São os valores associados às variáveis de pesquisas.

Formas de organizar dados estatísticos Tabela Gráfico

Frequências 1. O número de vezes em que a variável ocorre é chamado frequência absoluta e é indicado por ni 2. Definimos frequência relativa ( fi ) como a razão entre a frequência absoluta (ni) e o número total de observações (n) , ou seja:

Velocidade 60|---- 70 70|---- 80 80|---- 90 90|---- 100 Total 9 9 6 15 O quadro a seguir apresenta a velocidade em km/h com que os motoristas foram multados em uma determinada via municipal. 72 63 78 61 92 83 67 65 79 65 74 89 96 74 63 87 64 75 68 68 Velocidade Freqüência Absoluta F.A Freqüência Relativa (simples) F.R Freqüência absoluta acumulada F.A.A Freqüência Relativa acumulada F.R.A 60|---- 70 70|---- 80 80|---- 90 90|---- 100 Total 9 45% 9 45% 6 30% 15 75% 3 15% 18 90% 2 20 10% 100% 20

Velocidade 60|---- 70 70|---- 80 80|---- 90 90|---- 100 Total 9 9 6 15 Freqüência Absoluta F.A Freqüência Relativa (simples) F.R Freqüência absoluta acumulada F.A.A Freqüência Relativa acumulada F.R.A 60|---- 70 70|---- 80 80|---- 90 90|---- 100 Total 9 45% 9 45% 6 30% 15 75% 3 15% 18 90% 2 10% 20 100% 20 Com base na tabela, responda: c) Quantos Motoristas foram multados com velocidade abaixo de 90km/h? a) Quantos Motoristas foram multados com velocidade de 80km/h a 90km/h? 18 d) Qual o percentual de Motoristas multados com uma velocidade abaixo de 80km/h? 3 b) Qual é o percentual de Motoristas multados com velocidade de 70km/h a 80km/h? 75% 30%

(PUC-MG) Em uma pesquisa eleitoral para verificar a posição de três candidatos a prefeito de uma cidade, 1500 pessoas foram consultadas. Se o resultado da pesquisa deve ser mostrado em três setores circulares de um mesmo disco e certo candidato recebeu 350 intenções de voto, qual é o ângulo central correspondente a esse candidato? a) 42° b) 168° c) 90° d) 242° e) 84° 1500 360o 350 xo x = 84°

DESVIO MÉDIO VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO MEDIDAS DE TENDÊNCIA São as medidas estatísticas que descrevem a tendência que os dados têm de agrupamento em torno de certos valores MÉDIA MEDIANA MODA MEDIDAS DE DISPERSÃO São as medidas estatísticas que descrevem o comportamento de um grupo de valores em torno das medidas de tendência central DESVIO MÉDIO VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO

Média Aritmética Simples Médias Média Aritmética Simples Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana: X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14 7 7

Média Aritmética Ponderada Exemplo: O exame de seleção pode ser composto de 3 provas onde as duas primeiras tem peso 1 e a terceira tem peso 2. Um candidato com notas 70, 75 e 90 terá média final: (UNESP-09) Durante o ano letivo, um professor de matemática aplicou cinco provas para seus alunos. A tabela apresenta as notas obtidas por um determinado aluno em quatro das cinco provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada prova. Se o aluno foi aprovado com média final ponderada igual a 7,3, calculada entre as cinco provas, a nota obtida por esse aluno na prova IV foi:  56 + 2x = 73  x = 8,5

Média Geométrica Média Geométrica - É a raiz enésima do produto dos n valores da amostra Exemplo: Determine a média geométrica dos números 6, 4 e 9. A altura de um triângulo retângulo relativa à hipotenusa é a média geométrica das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Veja:

Percentual médio de aumento: 12,8741% R$134,4 R$143,08 7% Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta categoria? Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais. Supondo um salário inicial de R$100,00. Salário Inicial % de aumento Salário Final R$120,00 R$100,00 20% R$120,00 R$134,4 12% Percentual médio de aumento: 12,8741% R$134,4 R$143,08 7% Salário Inicial % de aumento Salário Final R$112,8741 R$100,00 12,8741% R$112,8741 12,8741% R$127,4056245 R$127,4056245 12,8741% R$143,08

Outros Conceitos Rol Moda (Mo) Mediana (Md) Como o elemento 4 ocupa a posição central, dizemos que ele é a mediana dos dados coletados acima. Consiste na organização dos dados em ordem crescente. Exemplo: Notas obtidas em uma prova de matemática no primeiro ano do ensino médio: E = {1,3,1,9,10,7,6,3,4,1,8,8,10,2,2} Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10. IMPORTANTE!!!! Caso o número de elementos do Rol for par, calculamos a mediana pela média aritmética dos dois elementos centrais. Moda (Mo) Mediana (Md) É o valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados. É o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Exemplo: O número 1 é a Moda do exercício anterior, posto que aparece três vezes no Rol. Exemplo: Determine a mediana do Rol abaixo: Rol = 1,1,1,2,2,3,3,4,6,7,8,8,9,10,10. 7 elementos 7 elementos

Amplitude Variância Desvio Padrão: Bim 1º 2º 3º 4º notas 5 8 6 9 Bim É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados É a média aritmética dos quadrados dos desvios. Ex.: Os valores seguintes representam o número de gols marcados pela seleção brasileira nas últimas 5 copas do mundo. 11, 14, 18, 10, 9 Desvio Padrão: Amplitude = 18 – 9 = 9 É a raiz quadrada da variância Um aluno obteve as seguintes notas na disciplina de matemática nos 4 bimestres: Bim 1º 2º 3º 4º notas 5 8 6 9 Bim 1º 2º 3º 4º notas 5 8 6 9 Quanto mais próximo de zero é o desvio padrão, mais homogênea (regular) é a amostra. Média aritmética = Candidatos que obtém menor desvio padrão são considerados mais regulares. Desvios: nota 1: 5 – 7 = - 2 nota 2: 8 – 7 = 1 nota 3: 6 – 7 = - 1 nota 4: 9 – 7 = 2

DÉSVIO MÉDIO É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios.

DESVIO PADRÃO - S É a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por  S . A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-agrupados.

VARIÂNCIA - S²  É o desvio padrão elevado ao quadrado. A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.

Ex.: As notas de dois alunos X e Y estão representadas no quadro abaixo. Paulo 5 2 8 João 4 3 Por meio do desvio padrão, qual deles apresentou desempenho mais regular? Média aritmética = João Média aritmética = Paulo Desvios: nota 1: 5 – 5 = 0 Paulo nota 2: 2 – 5 = - 3 nota 3: 5 – 5 = 0 nota 4: 8 – 5 = 3 Desvios: nota 1: 4 – 5 = -1 João nota 2: 8 – 5 = 3 nota 3: 3 – 5 = -2 nota 4: 5 – 5 = 0 Logo, como João apresentou o menor desvio padrão, ele será dito o mais regular.

A população mundial esta ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. (ENEM-2010)Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. y = 363. e0,03x y = 363. e0,03. 30 y = 363. e0,3. 3 y = 363. (e0,3)3 y = 363. 1,353 y = 363. 2,46 y  893 milhões