Distribuição Binomial continuação Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp

O Processo Binomial Um lançamento de moeda segue um processo que gera dados binomiais. As características de um processo binomial são: p é constante de ensaio a ensaio (= 0.5) Há dois resultados, “sucesso e fracasso” (sucesso = cara ou coroa) Ensaios são independentes (um lançamento não afeta o próximo lançamento) Há um número (N) finito de ensaios (por exemplo, o nº de ensaios = 5) All well-known distributions have underlying properties that describe them. Thus, if one can discover the underlying properties one can estimate the probabilities of “success” without conducting an experiment.

A Distribuição Binomial n = nº de ensaios (exº: lançamento da moeda) x = número de sucessos em n ensaios  = probabilidade de “sucessos” This formula can easily be derived with some elementary probability theory background. Although it looks fairly complicated, it is actually straightforward. It utilizes the concept of combinations (derived from counting process) to first determine the number of ways to get x success from n trials (the first term in equation). Then, statistical independence is used to multiple the probabilities of ‘success’ and ‘failure’ together, such that P(A and B) = P(A)*P(B) is extended to n independent trials.

A Distribuição Binomial See, for instance Table C-3 in the Manual. This table tabulates binomial probabilities.

Pr (X=x) = probabilidade de sair x caras em 5 ensaios P x N Pr (X=x) 0.5 0 5 0.03125 0.5 1 5 0.15625 0.5 2 5 0.3125 0.5 3 5 0.3125 0.5 4 5 0.15625 0.5 5 5 0.03125 x = nº de caras quando se lança 5 moedas

Histograma para a Distribuição Binomial A forma da distribuição binomial depende do valor do parâmetro 

 = 0.1  = 0.9  = 0.5 Exemplos: assimetria positiva assimetria negativa  = 0.5 Simétrica

Calculando a Probabilidade Binomial Em geral, a distribuição binomial pode ser representada como:

Média e Variância da Variável Binomial E(X) = m = np V(X) = s2 = np(1-p) E(X) = valor esperado = média V(X) = variância

A Distribuição Binomial Notação p = p(A) = a probabilidade de A q = p(B) = a probabilidade de B p + q = 1.00 Lançando uma moeda: p (caras) = q (coroas) = .50

A Distribuição Binomial Os dois resultados não precisam ser igualmente prováveis. Exemplo: desempenho em teste de múltipla escolha com 4 alternativas (a; b;c;d) Cada questão representa um ensaio; em cada ensaio há 2 resultados possíveis: Resultado 1: correto p = 0.25 Resultado 2: incorreto q = 0.75

A Distribuição Binomial A binomial é apropriada quando: Há uma série de N ensaios. Em cada ensaio, há apenas 2 possíveis resultados mutuamente exclusivos. O resultado em cada ensaio é independente do resultado que se obtém de outros ensaio. A probabilidade de cada resultado em qualquer ensaio é cohecida, e é constante de um ensaio ao próximo ensaio.

Probabilidade e a Binomial Distribuição Se houver N ensaio e você quer saber a probabilidade de ter r sucessos: p(r sucessos) = N! prqN-r r! (N – r)! Exemplo: adivinhação de um nº pensado por outro Digo para 10 pessoas pensar um número entre 1 e 4; Se eu apenas “chuto”: p = 0.25; q = 0.75 e na fórmula de Prob (r acertos) temos N = 10.

REVISÃO DA CURVA NORMAL DE PROBABILIDADES

Características da Normal REVISÃO Características da Normal Contínua Simétrica Unimodal área total sob a curva soma a 1, ou 100%. área à direita média é ½ ou 50%. área à esquerda da média é ½ ou 50%. 1/2 7

Curva Normal REVISÃO X 8

Curva Normal: diferentes médias e dp REVISÃO Curva Normal: diferentes médias e dp 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 9

Curva Normal Padronizada REVISÃO Curva Normal Padronizada Uma distribuição com Média = 0, e DP = 1 Fórmula Z Padroniza qualquer distribuição normal Escore Z calculada pela Fórmula Z O nº de DPs distante da média 10

Tabela Z padronizada REVISÃO Second Decimal Place in Z 0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 11

Exemplo de uso da Tabela Z REVISÃO Exemplo de uso da Tabela Z -3 -2 -1 1 2 3 Z 0.00 0.01 0.02 0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.20 0.0793 0.0832 0.0871 1.00 0.3413 0.3438 0.3461 1.10 0.3643 0.3665 0.3686 1.20 0.3849 0.3869 0.3888 12

Exemplo numérico – Normal REVISÃO Exemplo numérico – Normal Z 0.00 0.01 0.02 0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.10 0.0398 0.0438 0.0478 1.00 0.3413 0.3438 0.3461 1.10 0.3643 0.3665 0.3686 1.20 0.3849 0.3869 0.3888 13

Uso da Normal para resolver problemas de Binomial A distribuição normal pode ser usada em problemas da distribuição binomial que envolvem grandes valores de n. Para resolver um problema binomial pela distribuição normal realizamos uma conversion do n e p da binomial para o µ e σ da normal.

Aproximação para a Normal Equações de Conversão Conversion example: EXEMPLO ALFA 26

EXEMPLO ALFA Gráfico 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 29

Binomial vs Aproximação Normal EXEMPLO ALFA 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Total 0.0167 0.0096 0.0052 0.0026 0.0012 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0361 X P(X) Obs: “Não foi necessário calcular até 60” Pela Fórmula da Binomial 30

Aproxime a probabilidade binomial P(x=10) quando n = 20 e p = .5 Aproximação Normal para a Binomial Exemplo BETA Aproxime a probabilidade binomial P(x=10) quando n = 20 e p = .5 Os parâmetros da distribuição normal usados para a aproximação da binomial são: m = np; s2 = np(1 - p) = npq

Correção de Continuidade Antes de resolver o Exemplo BETA Correção de Continuidade Usamos a tabela normal para determinar a probabilidade de r (exº., respostas corretas). Mas, distribuições normais representam dados contínuos, e as variáveis binomiais são discretas. Portanto temos de considerar r como o ponto médio entre os limites reais de uma faixa de pontos (por exº: r - .5 to r + .5)

Correção de Continuidade Antes de resolver o Exemplo BETA Correção de Continuidade Aproximação Normal Binomial

Correção de Continuidade Antes de resolver o Exemplo BETA Correção de Continuidade Aproximação Normal para a Binomial Enunciado da binomial Resolução via Normal

Agora, sim, resolvendo o Exemplo BETA Traçamos uma distribuição normal para aproximr a binomial P(X = 10). m = np = 20(.5) = 10; s2 = np(1 - p) = 20(.5)(1 - .5) = 5 s = 51/2 = 2.24 P(XBinomial = 10) = P(9.5<YNormal<10.5) A aproximação 0.176 Com a fórmula da Binomial = 0.176 9.5 10.5 10 Com a aproximação da normal = 0.1742 ~ = P(9.5<Y<10.5)

Correção de continuidade Aproximação Normal para a Binomial Outros exemplos Correção de continuidade Aproximação Normal para a Binomial P(X £ 4) @ P(Y< 4.5) 4 4.5 P(X ³14) @ P(Y > 13.5) 13.5 14

Condições para a aproximação A Binomial aproxima a Normal quando: np > 10 nq > 10 Média: m = np DP = SQRT(npq) z = (X –np) /SQRT(npq) SQRT é a raiz quadrada

Exemplo GAMA Em um teste com 48 questões, qual a probabilidade de se obter 14 respostas certas? p = ¼ q = ¾ N = 48 r = 14 z1= X – pn = 13.5 – 12 = 1.5/3 = .50 SQRT(npq) 3 npq = 48(0.25)(0.75) = 9

Exemplo GAMA zx = 14.5 – 12 = 2.5/3 = .83 3 Observe a área acima do z-escore: Área acima z = .50 é .3085 Área acima z = .83 é .2033 Calculando a área entre os dois z-scores: .3085 - .2033 = .1052

Exemplo GAMA Binomial vs Normal Esta é uma probabilidade aproximada. Compare (0.1052 via aprox. normal) com a probabilidade da binomial = 0.1015 Elas são muito próximas, mas não exatamente a mesma.

Exemplo DELTA Para n=15, p=0.4. Calcule P(X=7). Usando a fórmula binomial

Exemplo DELTA

Com a Binomial obtivemos o valor de p = 0.1770 Exemplo DELTA bin(7; n =15;p = 0.4) Usando a aproximação normal. Obtemos m=np e s=npq. m = 0.4 * 15 = 6 s = 0.4*0.6*15 = 1.897 Com a Binomial obtivemos o valor de p = 0.1770

Exemplo ÉPSILON No Canadá, como resultado de um levantamento, 24% das pessoas têm telefone com secretária eletrônica. Se uma campanha de telemarketing envolve 2500 pessoas, qual a probabilidade de, pelo menos, 650 terem secretária eletrônica? Solução VIA NORMAL

A Distribuição Binomial Não esqueçam Uma variável aleatória X é o número de sucessos obtidos em n ensaios A probabilidade de cada sucesso é constante e igual a  A probabilidade de X = x sucessos em n ensaios de um experimento binomial define a distribuição binomial

A Distribuição Binomial Não esqueçam A distribuição binomial é dada por sua função densidade de probabilidade: p(x)

Termos que devem ser familiares Distribuição Binomial Provas de Bernoulli Aproximação a Normal