17 Março de 2005Simulação da Queda de Corpos1 Pedro Barahona DI/FCT/UNL Março 2004

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 2 Bases Físicas do Problema Sem contar com a resistência do ar, um corpo em queda livre é sujeito à aceleração (constante) da gravidade com o valor de 9.8 ms -2. A resistência do ar pode ser modelada através de uma força, logo de uma aceleração, proporcional à velocidade e de sentido contrário, que depende do objecto em queda. Denotando por a a aceleração instantânea (no instante t), e tendo em conta os sentidos no referencial, temos a = g - k · v agvx

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 3 Bases Físicas do Problema Adicionalmente sabemos que –a velocidade é a variação da distância com o tempo –a aceleraçao é a variação da velocidade com o tempo Desta forma temos que v = dx/dt e que a = dv/dt Juntando esta equação com as anteriores obtemos o sistema de equações a = g - k · v v = dx/dt a = dv/dt Problema: Determinar os valores de x, v e a ao longo do tempo.

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 4 Resolução Informal Problema: Obter o valor de um conjunto de funções (a, v, x) ao longo do tempo. Informalmente podemos simular a variação de uma função f ao logo do tempo da seguinte forma: –Sabendo o valor de f no instante t, vamos determinar o valor de f num “instante” Δt posterior, ou seja no instante t + Δt –Ora, se o tempo avança para um valor posterior de uma quantidade Δt, o valor de f vai igualmente variar nesse instante posterior de um valor df, ou seja para f + Δf. Como se relacionam os valores de Δf e de Δt?

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 5 Graficamente podemos ilustrar a relação de Δf e de Δt como se segue Em geral, é uma boa aproximação considerar que a razão Δf /Δt se aproxima da tangente da curva f(t), isto é Δf /Δt ≈ df/dt e por conseguinte podemos fazer Δf = df/dt * Δt Resolução Informal ΔtΔt ΔfΔf f t

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 6 Modelação Formal de Equações Diferenciais Sabendo o valor da função f no ponto t, f(t), podemos obter o seu valor num instante “seguinte”, t+dt, pelo valor da derivada em relacão ao tempo, df/dt, num ponto θ compreendido entre t e t + dt. Com efeito, temos (série de Taylor) f(t+dt) = f(t) + df(θ)/dt · dt e em determinadas condições (continuidades da função,...) é assegurado existir o ponto θ. t f(t) f t θ t+dt f(t+dt)

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 7 Modelação Formal de Equações Diferenciais Mais formalmente podemos usar o desenvolvimento em série de Taylor de até ao tremo de 2ª ordem e obtemos f(t+δ) = f(t) + df(t)/dt · dt + ½ d 2 f(θ)/dt 2 · dt 2 em que t  θ  t+dt. Para pequenos valores de dt, temos que dt 2 << dt e portanto o último termo pode ser desprezado sem grande erro, obtendo-se f(t+dt)  f(t) + df(t)/dt · dt e que pode ser descrito mais informalmente por f(t+dt)  f + df = f + df/dt · dt

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 8 Velocidade e Aceleração Como vimos, a = dv/dt, ou seja a aceleração é a derivada da velocidade. Mais precisamente, num instante t temos a(t) = dv(t)/dt Assim podemos determinar v(t+δ), o valor aproximado da velocidade no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t, v(t), por aplicação do método geral f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ ao caso em que a função f é a velocidade, isto é v(t+δ)  v(t) + a(t) · δ

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 9 Posição e Velocidade Como vimos, v = dv/dt, ou seja a velocidade é a derivada da posição. Mais precisamente, num instante t temos v(t) = dx(t)/dt Assim podemos determinar x(t+δ), o valor aproximado da posição no instante t+δ, conhecendo o seu valor no instante t, x(t), por aplicação do método geral f(t+ δ)  f(t) + df(t)/dt · δ ao caso em que a função f é a posição, isto é x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 10 Aceleração, Velocidade e Posição Em resumo, dados os valores da velocidade e posição no instante t, o seu valor aproximado no instante t+δ, é x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ sendo a aceleração do corpo em queda livre dada por a(t) = g - k · v(t) Uma vez esboçada a forma de calcular os sucessivos valores da altura, velocidade e aceleração, podemos especificar o problema.

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 11 Especificação do Problema Dada uma altura inicial, determinar com base no coeficiente de resistência do ar e para uma dada precisão do intervalo de tempo, o tempo que dura a queda, bem como as velocidades e aceleração no solo. Algoritmo de Queda de Corpos Entrada Resistência do Ar Altura Inicial Intervalo de Tempo Resultados Tempo da Queda Velocidade Final Aceleração Final

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 12 Variáveis Utilizadas Èm geral, na especificação de um algoritmo definem-se as variáveis e constantes que vão ser utilizadas, bem como o seu significado. Neste problema, apenas existe uma constante g = 9.8 a aceleração da gravidade (na Terra) As variáveis a utilizar são, naturalmente, as seguintes t: o tempo δ: o valor do intervalo de tempo usado na simulação x : a altura do corpo em cada instante t v : a velocidade do corpo no instante t a: a aceleração do corpo no instante t k: o coeficiente de resistência do ar (dependente da forma do corpo)

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 13 Estrutura do Algoritmo O algoritmo para simulação da queda dos corpos pode ser decomposto em 3 “componentes” 1. Inicialização de Variáveis 2. Ciclo de Simulação da Queda 3. Apresentação de Resultados Cada uma destas componentes pode ser considerada separadamente

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 14 Inicialização de Variáveis Em qualquer algoritmo é necessário garantir que as variáveis são inicializadas e as constantes definidas antes de poderem ser referidas em expressões. Assumindo que a queda começa na origem do tempo, a partir de repouso, as condições iniciais são expressas por Quer a altura inicial, quer o valor do coeficiente da resistência do ar, quer o intervalo de tempo utilizados, devem ser especificados pelo utilizador através de instruções de entrada. g = 9.8; v = 0; t = 0; a = g; x = 0

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 15 Inicialização de Variáveis 1. Inicialização de Variáveis Entra h; % Altura inicial Entra k;% Coeficiente de Atrito Entra δ ;% Intervalo de Tempo g ← 9.8; % Aceleração da Gravidade v ← 0; t ← 0; a ← g; x ← 0;

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 16 Ciclo de Simulação A parte fundamental do algoritmos é um ciclo em que se vão calculando os sucessivos valores de tempo t, da altura x, da velocidade v e da aceleração a, em tempos espaçados de um intervalo δ enquanto... fazer t  t + δ ; x  x + v · δ ; v  v + a · δ ; a  g - k·v ; fim enquanto % x(t+ δ)  x(t) + v(t) · δ % v(t+ δ)  v(t) + a(t) · δ % a(t) = g - k · v(t)

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 17 Condições de Entrada no Ciclo Em qualquer ciclo é necessário especificar em que condições é que o ciclo é executado. Neste caso, estamos interessados em estudar a queda até se atingir o solo (x = h). A condição de controle do ciclo é pois x < h, donde enquanto x < h fazer t  t + δ ; x  x + v · δ ; v  v + a · δ ; a  g - k·v ; fim enquanto

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 18 Ciclo de Simulação 2. Ciclo de Simulação enquanto x < h fazer t  t + δ ; x  x + v · δ ; v  v + a · δ ; a  g - k·v ; fim enquanto

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 19 Apresentação de Resultados 3. Apresentação de Resultados O tempo de duração da queda, a velocidade final com que se atinge o solo, e a aceleração nesse ponto, são simplesmente o valor das variáveis t, v e a no final do ciclo. A apresentação de resultados resume-se pois a Sai t;% Tempo de duração da Queda Sai v;% Velocidade de chegada ao solo Sai a;% Aceleração na chegada ao solo

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 20 Algoritmo Completo % Inicialização de Variáveis Entra h; % Altura inicial Entra k;% Coeficiente de Atrito Entra δ;% Intervalo de Tempo g  9.8; % Aceleração da Gravidade v  0; t  0; a  g; x  0; % Ciclo de Simulação enquanto x < h fazer t  t + δ ; x  x + v· δ ; v  v + a· δ ; a  g - k·v ; fim enquanto % Apresentação de Resultados Sai t;% Tempo de duração da Queda Sai v;% Velocidade de chegada ao solo Sai a;% Aceleração de chegada ao solo

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 21 Progama Octave g = 9.8 ; % aceleração da gravidade h = input(" Qual a altura inicial (em metros) ? ") k = input(" e o coeficiente de atrito (1/s) ? "); dt= input(" e o intervalo de tempo (em segs) ? "); t = 0; x = h; v = 0; a = g; while x < h t = t + dt; x = x + v * dt; v = v + a * dt; a = g - k * v; endwhile; disp(" O tempo de queda (em segundos) foi de "), disp(t) disp(" e a velocidade final (em m/s) foi de "), disp(v) disp(" e a aceleração final (em m/s2) foi de "), disp(a)

17 Março de 2005 Simulação da Queda de Corpos 22 Progama Octave O programa pode ser testado com vários valores dos parâmetros de entrada (h, k e dt). A altura inicial h tipica é da ordem dos 1000 metros. Realçar a importância de dt tomar valores pequenos, de forma a garantir que erros cometidos pela aproximação das equações diferenciais não sejam muito significativos (dt  0.1 seg). Tipicamente k toma valores no intervalo 0 – sem resistência do ar 1 – resistência muito alta