Matemática Básica Aula 6 Daniel Portinha

Produto Cartesiano Dados dois conjuntos não vazios A e B, chamaremos de produto cartesiano de A por B e representaremos por A X B ao conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x A e y  B. A = {0,1,2} B = {3,4} A X B = { (0,3), (0,4), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4)} Obs.: A X B  B X A

Produto Cartesiano Ex1.: A = {2,3} e B = {-1,2} A X B = {(2,-1), (2,2), (3,-1), (3,2)} Ex2.: B X A = {(-1,2),(-1,3),(2,2), (2,3)} N(AXB) = n(A) . N(B)

Representação Gráfica (x,y), onde x é marcado no eixo horizontal e y é assinalado no eixo vertical.

Relação Binária Sejam A e B conjuntos não vazios. Chamamos de Relação Binária de A em A a todo subconjunto de A X B. A = {2,3} e B = {-1,2} A X B = {(2,-1), (2,2), (3,-1), (3,2)} R1 = {(2,2), (3,-1)} R2 = {(2,-1)}

Domínio e Imagem Domínio da relação: Conjunto formado pelos valores de x. D(R1) = {2,3} Imagem da relação: Conjunto formado pelos valores de y. Im(R1) = {-1,2}

Aplicação com Relações Binárias Dados A = {0,1,2,3} e B={1,2,3}, escreva: R1 = {(x,y) A X B : y = x} Resp.: R1 = {(1,1), (2,2), (3,3)} D(R1) = {1,2,3} e Im(R1) = {1,2,3} R2 = {(x,y)  A X B : y + 2 = x} Resp.: R2 = {(3,1)} D(R2) = {3} e Im(R2) = {1}

Função Chamamos de função de A em B a toda relação f de A X B que obedece a duas condições: Todo elemento de A tem correspondente em B; Cada elemento de A tem apenas um correspondente em B. Ex.: A = {1,2,3} e B = { 4,5} A X B = { (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

Função O subconjunto f1 = {(1,4),(2,4),(3,5)} é uma função. O subconjunto f2 = {(2,4), (3,4)} não é uma função, pois o elemento 1 que pertence a A, não tem correspondente. O subconjunto f3={ (1,4), (1,5)} Não é função pois o elemento 1, tem dois correspondentes.

Função Domínio = é o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A, Representamos por D ou D(f). Em nosso exemplo, o conjunto A. Contradomínio= É o conjunto formado por todos os elementos do conjunto B. É indicado por CD ou CD(f). No exemplo, conjunto B. Imagem=É o conjunto formado por todos os elementos de B que estão associados a algum elemento de A. É indicada por Im ou Im(f).

Função Podemos definir uma função por uma lei de formação sem definir os conjuntos A e B. Nesse caso, o domínio será o conjunto de todos os números reais para os quais as operações indicadas na lei sejam possíveis de serem realizadas, e o contradomínio será o conjunto dos números Reais

Zeros ou raízes da função Chamamos de zero ou raiz da função, a todos valores x para os quais f(x) = 0 Exemplo: f(x) = 3x-1. Fazendo f(x) = 0 teremos, 3x – 1 = 0, logo x = 1/3 1/3 é zero ou raiz da função f(x) = 3x-1, pois para x=1/3, f(x) = 0

Propriedades de uma função Sobrejetiva: se e somente se, o seu conjunto imagem for igual ao contradomínio; Injetiva: para elementos distintos no domínio, teremos imagens distintas. Bijetiva: quando é sobrejetiva e injetiva ao mesmo tempo

Propriedades de uma função A função f(x) = x2 é sobrejetiva, pois todo elemento de R é imagem de pelo menos um elemento de R; A função f(x) = 3x é injetiva, pois para cada elemento do domínio x, teremos o triplo de x na imagem. A função f(x) = x+1 é bijetiva, pois é injetiva e sobrejetiva.

Matemática Básica Atividade 6 Daniel Portinha

Atividade 1 Dada a função f(x) = 2x – 1, ache a imagem a partir do domínio A={0,1,2,3}

Solução f(0) = 2.0 - 1 = 0 – 1 = -1 f(1) = 2.1 – 1 = 2 – 1 = 1 f(2) = 2.2 – 1 = 4 – 1 = 3 f(3) = 2.3 – 1 = 6 – 1 = 5

Atividade 2 Dados os conjuntos A={-1,2,3} e B={-2,4} , construa a relação binária definida por R = {(x,y)  A X B : y = 2x}. Represente esta relação no plano cartesiano.

Solução A X B = {(-1,-2), (-1,4), (2,-2), (2,4), (3,-2), (3,4)} R = { (-1,-2), (2,4)}