Estimação de parâmetros Aula 05 Prof. Christopher Freire Souza Centro de Tecnologia Universidade Federal de Alagoas www.ctec.ufal.br/professor/cfs

Objetivos Desenvolver habilidades para estimar valores de parâmetros Christopher Souza: Estimação de parâmetros Objetivos Desenvolver habilidades para estimar valores de parâmetros Promover o entendimento do que são intervalos de confiança Desenvolver habilidades para estimar tamanhos amostrais

Relevância do conteúdo Christopher Souza: Estimação de parâmetros Relevância do conteúdo Estimação de parâmetros serve a dois propósitos: Comparar populações Ajustar modelos de distribuição de probabilidades a dados amostrais no intuito de permitir interpolações e extrapolações sobre freqüências de ocorrência de valores.

Conteúdo Características dos estimadores Estimação Pontual Christopher Souza: Estimação de parâmetros Conteúdo Características dos estimadores Estimação Pontual Intervalos de confiança Margem de Erro Tamanhos amostrais

Características dos estimadores Christopher Souza: Estimação de parâmetros Características dos estimadores Consistência – Ausência de viés – Eficiência –

Estimadores pontuais Método gráfico Método dos momentos Christopher Souza: Estimação de parâmetros Estimadores pontuais Método gráfico Método dos momentos Método dos mínimos quadrados Método da máxima verossimilhança

Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método gráfico Papéis de probabilidade e posição de plotagem definida via estimativa empírica de probabilidade 0,50

Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método gráfico Ajuste de reta aos dados dispostos segundo fórmula de posição de plotagem (qi é a probabilidade empírica) 0,50

Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método gráfico Estimativa de parâmetros a partir da relação entre equação da reta e variáveis dispostas nos eixos Grigorten: qi=(i-0,44)/(n+0,12) Gumbel: Inversa:

Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método gráfico Grau de linearidade dos dados dispostos no gráfico serve à avaliação do ajuste ao modelo de distribuição para o qual foi elaborado o papel de probabilidade Quantidade de dados pode levar as posições de plotagem de probabilidades a valores que mais aproximem dados à reta Grigorten: qi=(i-0,44)/(n+0,12)

Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método dos Momentos Aproxima-se a estimativa de parâmetros populacionais por meio de estimativas de momentos amostrais. Os “m” coeficientes de um modelo de distribuição de probabilidades podem ser aproximados pelas equações dos “m” primeiros momentos amostrais.

Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método dos Momentos Amostra Média Mediana Amp. Var. std Prop. Ímpar Prob. 1,1 1,0 0,0 1 1/9 1,2 1,5 0,5 0,707 3,0 4 8,0 2,828 2,1 2,2 2,0 2,5 3,5 3 4,5 2,121 5,1 5,2 5,5 5,0 Média amostral 8/3 16/9 26/9 1,3 2/3 Média populacional 2 1,7 Sem Viés Sim Não

Método dos Mínimos Quadrados Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método dos Mínimos Quadrados Estimação dos coeficientes de um modelo de distribuição, e.g., ŷi=a+b.xi, para minimizar os quadrados das diferenças (ei) entre valores de frequências amostrais (yi) e estimadas por meio de funções densidade de probabilidades (ŷi). Estimativa de coeficientes a partir de valores de mínimas diferenças a partir de:

Método da Máxima Verossimilhança Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método da Máxima Verossimilhança Função de verossimilhança definida como a probabilidade conjunta de obter coincidentemente/concomitantemente a melhor aproximação da função para a definição do coeficiente O valor do coeficiente que resulta nas melhores estimativas é obtido para um valor de máximo da função de verossimilhança, sendo estimado a partir do seu valor para quando a derivada é nula. É frequente o emprego do logaritmo

Método da Máxima Verossimilhança Christopher Souza: Estimação de parâmetros Método da Máxima Verossimilhança A solução de funções de máxima verossimilhança por vezes demanda esforço formidável Uma alternativa tem sido a aplicação de soluções iterativas que consistem em adequar a equação para uma expressão do tipo , quando originalmente se apresentava a equação A estratégia consiste em adotar valor para x e identificar quando j(x) se aproxima de x, alterando o valor de x iterativamente. (x) = x f(x) = (x) – x

Christopher Souza: Estimação de parâmetros Comparação de métodos Máxima verossimilhança sugere parâmetros considerados mais eficientes. Para pequenos tamanhos de amostra, a qualidade do estimador é comparável ou inferior ao de outros métodos. Métodos dos momentos são mais simples, mas seus parâmetros apresentam qualidade inferior para funções com 3 ou mais parâmetros.

Caso em estudo: Paraná em Itaipú Christopher Souza: Estimação de parâmetros Caso em estudo: Paraná em Itaipú Desenvolvido por Gláucia Nascimento e Christopher Souza Séries de vazões naturais para anos hidrológicos de cheias entre 1962 e 2006 Ajuste do modelo GEV a máximos anuais Uso da função “gevfit” para sugestão de valor inicial dos coeficientes Modificação dos coeficientes pela soma dos valores apresentados na legenda

Caso em estudo: Paraná em Itaipú Christopher Souza: Estimação de parâmetros Caso em estudo: Paraná em Itaipú

Intervalos de confiança Christopher Souza: Estimação de parâmetros Intervalos de confiança “Estamos 95% confiantes de que o intervalo ± E contém o valor de q”

Intervalos de confiança (proporção) Christopher Souza: Estimação de parâmetros Intervalos de confiança (proporção) Requisitos: Amostra aleatória simples. Condições para a distribuição binomial satisfeitas. Haver pelo menos 5 sucessos e 5 fracassos, o que permite aproximar pela distribuição normal Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de proporção esteja inserido no intervalo construído a partir da proporção amostral População Infinita Finita Margem de Erro Tamanho da Amostra

Intervalos de confiança (m, para s conhecido) Christopher Souza: Estimação de parâmetros Intervalos de confiança (m, para s conhecido) Requisitos: Amostra aleatória simples. Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino) Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral População Infinita Finita Margem de Erro Tamanho da Amostra

Intervalos de confiança (m, para s desconhecido) Christopher Souza: Estimação de parâmetros Intervalos de confiança (m, para s desconhecido) Requisitos: Amostra aleatória simples. Teorema do limite central (Normal se não houver outlier e histograma ~ forma de sino) Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de média esteja inserido no intervalo construído a partir da média amostral Margem de Erro População infinita População finita

Intervalos de confiança (s²) Christopher Souza: Estimação de parâmetros Intervalos de confiança (s²) Requisitos: Amostra aleatória simples. Distribuição normal mesmo para grandes amostras Associa-se um grau de confiança, e.g. 95%, de que o valor do parâmetro de variância esteja inserido no intervalo construído a partir da variância amostral Estima-se desvio populacional a partir da raiz da estimativa do parâmetro de variância

Bootstrap Não tem pré-requisitos Christopher Souza: Estimação de parâmetros Bootstrap Não tem pré-requisitos Consiste na obtenção de estatísticas amostrais de reamostragens de n valores da amostra com repetição Estima-se intervalos de confiança a partir do valor de percentis Exemplo de dados não- normais 2,9 564,2 1,4 4,7 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6 Exemplo de uma replicação 2,9 3,6 1,4 18,0 67,6 4,8 51,3 3,6 18,0 3,6