INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula Redes As redes invadem o nosso mundo das mais diversas formas. As redes de transporte, eléctricas ou de comunicação são disso exemplo. No entanto, a representação sob a forma de rede pode ser utilizada em áreas tão diferentes como a produção, distribuição, planeamento de projectos, localização de instalações, gestão de recursos, planeamento financeiro, etc. Para resolver estes problemas de redes, utilizam-se modelos de optimização que se baseiam em alguns tipos de problemas de programação linear. Neste capítulo iremos tratar dos seguintes tipos de problemas: Caminho Mais Curto (shortest path) Árvore de Ligações Mínimas (minimum spanning tree) Fluxo Máximo (maximum flow) Fluxo de Caixa Mínimo (minimum cost flow) 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício Exemplo O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque que estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser transportados pelos eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque e respeitando o n.º limite de trajectos em cada linha. O A C B D E T 7 4 1 5 2 3 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Termos utilizados em “Redes” Uma rede consiste num conjunto de pontos e linhas que ligam certos pares de pontos Esses pontos denominam-se Nós As linhas entre os pontos denominam-se Arcos Aos arcos estão associados fluxos Se o fluxo só pode circular numa direcção – Arco Direccionado, cuja direcção corresponde à da seta representada Quando não existem restrições de direcção de fluxo – Arco Não Direccionado ou Ligação Se uma rede só utiliza arcos direccionados, designa-se por Rede Direccionada Um percurso entre dois nós corresponde à sequência de arcos distintos que permite ligar esses nós Um percurso direccionado do nó i ao nó j refere-se à sequência de arcos de ligação cuja direcção (se existir) é de i para j e permite que haja fluxo ao longo deste percurso. Um percurso não direccionado do nó i ao nó j é a sequência de arcos de ligação, direccionados ou não, que permite o fluxo de e para o nó j. Um percurso que começa e acaba no mesmo nó denomina-se ciclo Dois nós dizem-se ligados se a rede contém pelo menos um arco não direccionado entre eles Uma rede diz-se ligada se todos os pares de pontos estão ligados A B 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Termos utilizados em “Redes” Considerando um conjunto de n nós, pode-se criar uma árvore adicionando arcos, um a um, entre os diversos nós. Cada arco novo vai expandir a árvore que é uma rede ligada sem ciclos não direccionados. Quando o arco (n-1) for adicionado o processo termina dado que a árvore resultante já liga os n nós. Uma árvore expandida é uma rede ligada, para todos os n nós, que não contém nenhum ciclo não direccionado e tem exactamente n-1 arcos, número necessário para ligar todos os nós sem criar ciclos. O fluxo máximo que pode ser transportado por um dado arco designa-se por capacidade do arco Um nó de origem é aquele em que o fluxo de saída é superior ao de entrada Um nó de destino é aquele em que o fluxo de entrada excede o fluxo de saída Um nó de transbordo é aquele em que o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída A B C E D A B C E D A B C E D A B C E D A B C E D 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Problema do Caminho Mais Curto Consideremos uma rede ligada e não direccionada com 2 nós especiais – Origem e Destino. A cada ligação está associada uma distância não negativa O objectivo final será encontrar o percurso com menor distância entre a Origem e o Destino. Algoritmo de Resolução Objectivo da n- ésima iteração Encontrar o n- ésimo nó mais próximo da Origem (repetir até que o n- ésimo nó seja o destino) Dados para a n- ésima iteração Os n-1 nós mais próximos da Origem (determinados na iteração anterior e denominados nós resolvidos), incluindo o caminho mais curto determinado até ao momento e a correspondente distância à Origem Candidatos ao nó mais próximo Cada nó resolvido está ligado por um arco a um ou mais nós por resolver dos quais se irá escolher um candidato com a menor distância para o arco de ligação Cálculos para o nó mais próximo Para cada nó resolvido e respectivo candidato, adicionar a distância do caminho mais curto já determinado, entre a origem e este nó. O candidato com a menor distância total à origem será o n- ésimo nó mais próximo. O A C B D E T 7 4 1 5 2 3 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício Exemplo O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque que estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser transportados pelos eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque e respeitando o n.º limite de trajectos em cada linha. O A C B D E T 7 4 1 5 2 3 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício- Exemplo 1ª Iteração 2ª Iteração 3ª Iteração 4ª Iteração O A C B D E T 7 4 1 5 2 3 Nó início Nó final distância Origem A 2 B 5 (> 4) C 4 Nó início Nó final distância Origem/A B 2 + 2 = 4 D 2 + 7 = 9 Origem/C 4 + 1 = 5 (> 4) E 4 + 4 = 8 Nó início Nó final distância Origem/A/B C 4 + 1 = 5 (> 4) D 4 + 4 = 8 E 4 + 3 = 7 Nó início Nó final distância Origem/A/B/D Término 8 + 5 = 13 (Fim) Origem/A/B/E D 7 + 1 = 8 7 +7 = 14 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Problema do Caminho Mais Curto Exercício Uma pessoa que vive na Póvoa e trabalha no Porto pretende descobrir que o percurso que deverá seguir na viagem matinal para o seu emprego, de forma a minimizar a duração da viagem. Durante algum tempo, teve o cuidado de registar a duração da viagem ao longo das diferentes localidades intermédias . O resultado dessa análise está apresentado no quadro seguinte onde se representou por “-” a inexistência de estradas a ligar essas localidades. Qual será o percurso que essa pessoa seleccionou? Póvoa L1 L2 L3 L4 Porto - 18 32 12 28 17 4 11 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Algoritmo de Resolução A partir da Origem encontrar os nós mais próximos Seguidamente procuram-se os nós mais próximos dos determinados no ponto anterior, excluindo os que têm como destino a Origem ou os nós determinados anteriormente Repete-se o ponto anterior para os percursos que ainda não chegaram ao Porto A solução óptima corresponderá ao mínimo das distâncias obtidas min(49, 62, 47) = 47, ou seja, Póvoa – L3 – L4 - Porto Póvoa Porto L1 L2 L3 L4 18 28 32 4 12 17 11 Nó início Nó final distância Póvoa L1 18 L3 32 Nó início Nó final distância Póvoa/L1 L2 18 + 12 = 30 L3 18 + 28 = 46 (> 32) Póvoa/L3 32 + 17 = 49 (> 30) L4 32 + 4 = 36 Porto 32 + 17 = 49 (Fim) Nó início Nó final distância Póvoa/L1/L2 Porto 30 + 32 = 62 (Fim) Póvoa/L3/L4 36 + 11 = 47 (Fim) 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Problema da Árvore de Ligações Mínimas Consideremos uma rede ligada e não direccionada com 2 nós especiais – Origem e Destino. A cada ligação está associada uma distância não negativa O objectivo final será encontrar a árvore com menor comprimento total de ligações, de forma a que todos os pares de nós estejam ligados, se que seja criado algum ciclo. Num problema desta natureza não poderemos ter mais de n – 1 arcos (de outra forma estaríamos a formar um ciclo) Este tipo de problema pode ser utilizado, por exemplo, para resolver um problema de planeamento de transportes, no qual se pretendem servir diversas povoações garantindo o menor custo possível. Os dados de base seriam as localidades, a distância entre si e os meios de transporte disponíveis. Num caso genérico, começa-se por um nó escolhido arbitrariamente, procurando-se em seguida o arco com menor valor para o próximo nó. O passo seguinte consiste em identificar o nó não ligado que está mais próximo dos dois definidos inicialmente e adicionar o arco correspondente à rede. Este processo é repetido até se terem ligado todos os nós. A rede resultante será uma Árvore de Ligações Mínimas. 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício Exemplo O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque que estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser transportados pelos eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque e respeitando o n.º limite de trajectos em cada linha. O A C B D E T 7 4 1 5 2 3 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) O A C B D E T 7 4 1 5 2 3 Algoritmo de Resolução aplicado ao Problema do Parque Seervada 1ª Tarefa Seleccionar um nó arbitrariamente (seja a Origem O) Ligá-lo ao nó mais próximo (A – 2, B – 5 ou C – 4), neste caso nó A 2ª Tarefa (repetir até ter ligado todos os nós) Identificar o nó não ligado mais próximo de um nó já ligado B  (BO = 5, BA = 2) BA C  (CO = 4, CB = 1) CB E  (EB = 3, EC = 4) EB D  (DA = 7, DB = 4, DE = 1) DE T  (TD = 5, TE = 7) TD Desempates Os desempates para seleccionar o nó mais próximo de um já ligado, pode ser quebrado arbitrariamente, dado que este procedimento não irá alterar o resultado final. No entanto pode ser indicativo da existência de múltiplas soluções óptimas. A resolução gráfica é a forma mais rápida de se obter uma solução. 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Problema de Árvore de Ligações Mínimas Exercício Determine a Árvore de Ligações Mínimas para o seguinte problema e respectivo custo de ligação: A E C B D F G 4 1 7 2 5 3 8 10 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Resolução A  (AB = 2, AC = 4, AD = 1, AE = 10) nó D B  (BA = 2, BD = 1) arco BD C  (CA = 4, CD = 4) arco CA ou CD G  (CG = 3, GD = 7) arco CG F  (FD = 10, FG = 3) arco FG E  (EA = 10, ED = 7, EF = 8, EG = 5) arco EG O custo mínimo para ligar esta rede é de: 1+1+4+3+3+5 = 17 u.m. E 10 7 A 2 B 8 5 1 1 D 10 F 4 3 4 7 G C 3 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Problema do Fluxo Máximo Com este tipo de problema pretende-se determinar as combinações de arcos que permitem maximizar o fluxo numa dada rede. Considerar uma rede direccionada e ligada, onde existe um nó de Origem – O, um nó de Destino – T e em que todos os outros nós são nós de transbordo. São dados do problema as capacidades de cada ligação e o objectivo final será determinar uma distribuição de fluxos admissível que maximiza o fluxo total na rede do nó de Origem ao nó de Destino. Depois de iniciar o processo de distribuição de fluxos, iremos obter uma Rede Residual, onde se evidenciam os fluxos residuais que ainda podem ser transportados em cada ligação e que se representa da seguinte forma: O número à esquerda do arco refere-se à capacidade residual (que ainda pode ser transportada) do nó anterior para o seguinte. Antes de se iniciar a resolução deste tipo de problemas, propriamente dita, temos de transformar a rede inicial direccionada e ligada numa rede residual ligada, na qual à esquerda de cada arco temos a capacidade máxima do arco e à direita (lado da seta) o valor zero. A B 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Problema do Fluxo Máximo Seguidamente, de cada vez que algum fluxo passa por esse arco é deduzido ao lado esquerdo e aumentado ao direito. Um Percurso Positivo é um percurso directo da Origem ao Destino, na Rede Residual, em que todos os arcos têm capacidade residual estritamente positiva. O mínimo destas capacidades residuais denomina-se capacidade residual do percurso positivo e corresponde ao fluxo que efectivamente pode ser transportado ao longo de todo esse percurso. Algoritmo de Resolução Identificar um Percurso Positivo procurando uma sequência de arcos, da Origem ao Destino, cuja capacidade residual seja estritamente positiva Identificar a Capacidade Residual c* desse Percurso Positivo procurando o mínimo das capacidades residuais dos arcos que o constituem. Aumentar o fluxo na rede desse valor c* Deduzir a capacidade residual de cada arco de c*, à esquerda, nesse Percurso Positivo e adicionar a mesma quantidade ao lado direito. Voltar ao primeiro passo até distribuir o fluxo máximo pela rede. 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício Exemplo O Parque Natural de Seervada teve recentemente de reduzir o n.º de visitantes e de Backpack Hiking. Não é admitida a entrada de carros no Parque, embora exista um percurso estreito e sinuoso para eléctricos e jeep’s dos guardas florestais. Este sistema de trilhos está representado na figura seguinte em que O se refere à entrada do Parque, as outras letras correspondem a instalações da guarda florestal e os números à distância entre cada ponto. O Parque tem um cenário deslumbrante no ponto T e só um pequeno n.º de eléctricos faz o percurso da entrada ao ponto T. A administração do Parque enfrenta agora 3 problemas: 1º Determinar qual a rota que deve ser utilizada para reduzir a distância total a percorrer pelos eléctricos 2º Dado que é necessário instalar uma rede telefónica no Parque que estabeleça a ligação entre todas as instalações da guarda florestal, ao longo dos trilhos, qual o percurso a escolher para minimizar os custos da linha 3º Durante a época alta, existem mais visitantes do que os que podem ser transportados pelos eléctricos, da entrada até ao ponto T, qual a forma de maximizar o n.º de viagens sem perturbar o sistema ecológico e de vida selvagem do Parque e respeitando o n.º limite de trajectos em cada linha. O A C B D E T 3 4 1 9 6 5 7 2 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício- Exemplo 1ª Iteração Problema Inicial Rede Residual inicial Percurso O- A- D- T fluxo: min(5, 3, 9) = 3 O O A C B D E T 3 4 1 9 6 5 2 7 O A C B D E T 4 1 6 2 7 5 3 5 4 7 A 1 C 2 B 3 4 5 4 E 1 D 6 9 T 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício- Exemplo 1ª Iteração 2ª Iteração 3ª Iteração Percurso O- A- D- T Percurso O- A- B- D- T Percurso O- C- E- T fluxo: min (5, 3, 9) = 3 fluxo: min (2, 2, 4, 6) = 2 fluxo: min (4, 4, 6) = 4 O A C B D E T 4 1 6 2 7 5 3 O A C B D E T 4 2 1 6 7 5 3 O 7 5 A 4 C 2 B 2 5 2 4 E 1 2 3 2 D 4 4 T 5 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício- Exemplo 3ª Iteração 4ª Iteração 5ª Iteração Percurso O- C- E- T Percurso O- B- D- T Percurso O- B- E- D- T fluxo: min (4, 4, 6) = 4 fluxo: min (7, 2, 4) = 2 fluxo: min (5, 5, 1, 2) = 1 O A C B D E T 2 1 4 7 5 3 O A C B D E T 1 2 5 4 3 7 O A C B D E T 1 2 4 5 3 8 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Exercício- Exemplo 5ª Iteração 6ª Iteração Distribuição Final Percurso O- B- E- D- T Percurso O- B- E- T Fluxo fluxo: min (5, 5, 1, 2) = 1 fluxo: min (4, 4, 2) = 2 = 3+ 2+ 4 +2 +1 +2 = 14 O A C B D E T 1 2 4 5 3 8 O A C B D E T 1 2 5 4 3 8 6 O 2 5 A 4 5 C 2 B 2 2 4 3 E 4 3 1 D 1 6 T 8 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Problema do Fluxo Máximo Exercício Determine o fluxo máximo que pode ser transportado nesta rede: A C B D 7 8 10 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Resolução do Problema do Fluxo Máximo Problema Inicial Rede Residual 1ª Iteração Percurso: A- D Fluxo: min (8) = 8 A C B D 7 8 10 A C B D 7 8 10 A C B D 7 8 10 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Resolução do Problema do Fluxo Máximo 1ª Iteração 2ª Iteração 3ª Iteração Percurso: A- D Percurso: A- C- D Percurso: A- B- D Fluxo: min (8) = 8 Fluxo: min (7, 10) = 7 Fluxo: min (10, 8) = 8 A C B D 7 8 10 A C B D 8 10 3 7 A C B D 2 10 3 8 7 2001/2002

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL 9ª Aula (cont.) Resolução do Problema do Fluxo Máximo 3ª Iteração 4ª Iteração Distribuição Final Percurso: A- B- D Percurso: A- B- C- D Fluxo Fluxo: min (10, 8) = 8 Fluxo: min (2, 10, 3) = 2 = 8+ 8+ 9 = 25 A C B D 2 10 3 8 7 A C B D 8 1 9 2 7 10 8 D 8 9 A B 10 8 2 C 7 1 2001/2002