GEOMETRIA FRACTAL O JOGO DO CAOS

Como jogar O JOGO DO CAOS

Precisamos de:

Um triângulo arbitrário de vértices A, B e C Um dado Um triângulo arbitrário de vértices A, B e C C A B

Posteriormente...

A cada um dos vértices atribuímos dois dos seis possíveis resultados procedentes do lançamento do dado. Por exemplo: A é o “vencedor” se sair um 1 ou um 2. B é o “vencedor” se sair um 3 ou um 4. C é o “vencedor” se sair um 5 ou um 6.

Agora estamos prontos para jogar!

Início: Marcamos o vértice “vencedor”. Digamos que saiu o 5. Lançamos o dado. Marcamos o vértice “vencedor”. Digamos que saiu o 5. Então, começamos no vértice C.

C A B

Passo 1: Digamos que sai o 2. Então o “vencedor” é o vértice A. Lançamos o dado novamente. Digamos que sai o 2. Então o “vencedor” é o vértice A.

Agora movemo-nos da nossa posição em direcção ao vértice “vencedor” mas paramos no ponto médio destes dois pontos. Marcamos a nova posição. Chamemos-lhe M1. C M1 A B

Passo 2: Lançamos o dado mais uma vez. Vamos mover-nos da última posição em direcção ao vértice “vencedor” mas paramos a meio. Marcamos a nova posição. Seja ela M2.

Por exemplo, se sair 3, a nova posição M2 será o ponto médio de M1 e B. C M1 M2 A B

Passos 3, 4, etc. Continuamos a lançar o dado, movendo-nos, de cada vez, para o ponto médio da última posição e do vértice “vencedor”.

As figuras seguintes mostram, progressivamente, os resultados da evolução do Jogo do Caos:

O padrão é inconfundível: uma Gaxeta de Sierpinski! Após 10000 jogadas, seria impossível notar a diferença entre o grupo de pontos e a Gaxeta de Sierpinski original.

Como é que do Jogo do Caos surge a Gaxeta de Sierpinski?

Vamos jogar utilizando a Gaxeta de Sierpinski...

Assumamos que todos os triângulos brancos da Gaxeta de Sierpinski são os triângulos que foram sucessivamente removidos ao triângulo original necessário para a sua construção.

Suponhamos que começamos com um ponto algures no meio do triângulo branco maior, removido da Gaxeta de Sierpinski.

Para onde se move o ponto depois de rolar o dado?

O ponto mover-se-á para um dos três triângulos imediatamente mais pequenos, já que estes triângulos representam todos os pontos que estão a metade da distância dos três vértices aos pontos do triângulo maior que foi removido.

Após mais uma jogada, o ponto move-se para um dos nove triângulos imediatamente mais pequenos. E assim por diante.

O ponto continuará a mover-se para os triângulos removidos, sucessivamente menores. Eventualmente, depois de mais algumas jogadas, o ponto mover-se-á para um triângulo tão pequeno que seja praticamente invisível.

Na realidade, a órbita de um ponto que comece em qualquer um dos triângulos removidos, nunca “alcançará” o triângulo de Sierpinski!

A Gaxeta de Sierpinski Modificada

Como se constrói? A GAXETA DE SIERPINSKI MODIFICADA É uma simples variação da gaxeta de Sierpinski original. Como se constrói?

Início: A construção começa exactamente como a da Gaxeta de Sierpinski original. Começamos, então, com um triângulo arbitrário.

Passo 1: Aplicar o procedimento TSG ao triângulo.

Procedimento TSG Consiste em:

-Cortar Remover o triângulo médio do triângulo original.

-Modificar Deslocar cada um dos pontos médios dos lados do triângulo, para baixo ou para cima, de forma aleatória.

Aqui temos um possível resultado

Depois de concluído o Passo 1, obtemos 3 triângulos sólidos e um “buraco” no meio, com uma forma triangular.

Passo 2: Para cada um dos triângulos sólidos obtidos no passo anterior, repetimos o Procedimento TSG.

Ficamos, assim, com nove triângulos sólidos e com quatro “buracos” de forma triangular.

Passos 3, 4, etc. Aplicamos repetidamente o Procedimento TSG a cada um dos triângulos sólidos.

Quando o Procedimento TSG é repetido ao infinito, obtemos a Gaxeta de Sierpinski Modificada.

A figura seguinte mostra um exemplo de uma Gaxeta de Sierpinski Modificada depois de oito passos.

Podemos constatar que a Gaxeta de Sierpinski Modificada tem o inconfundível aspecto de uma montanha.

Adicionando alguns efeitos de cor, luz e sombra, podemos obter algo muito semelhante a uma montanha real. Mudando a forma do triângulo original, podemos mudar a forma da montanha e mudando as regras da distância permitida para os movimentos aleatórios, é possível alterar a textura da montanha.

No entanto, tal como nas verdadeiras montanhas da natureza, obtemos sempre o inconfundível “aspecto de montanha”.

O mais notável de tudo é que estas complicadas formas geométricas podem ser descritas em duas linhas, através de uma simples regra de substituição recursiva.

PARA A GAXETA DE SIERPINSKI REGRA DE SUBSTITUIÇÃO RECURSIVA PARA A GAXETA DE SIERPINSKI MODIFICADA Começamos com um triângulo arbitrário. Onde virmos um triângulo preto, aplicamos o procedimento TSG.

SIERPINKI MODIFICADA A E quanto à... AUTO-SIMILARIDADE? SERÁ QUE A GAXETA DE SIERPINKI MODIFICADA A POSSUI?

Não exactamente. Sempre que ampliarmos uma parte da Gaxeta de Sierpinski Modificada, não vemos exactamente o mesmo, mas sim pequenas variações da estrutura ampliada. Aquele aspecto característico de montanha vai aparecer em todas as escalas!

AUTO-SIMILARIDADE APROXIMADA QUANDO OLHAMOS PARA UM OBJECTO (OU FORMA) E PARA PARTES DESSE OBJECTO (OU FORMA) EM DIFERENTES ESCALAS E VEMOS ESTRUTURAS RECONHECIDAMENTE IDÊNTICAS, MAS NÃO SIMILARES, DIZEMOS QUE ESSE OBJECTO POSSUI AUTO-SIMILARIDADE APROXIMADA.

A Auto-Similaridade Aproximada é uma propriedade comum de vários objectos e formas naturais: montanhas, árvores, plantas, nuvens, sistema vascular humano… Vamos, então, ver alguns destes exemplos..