Protocolo Aloha

Protocolo Aloha Arquitetura física: N = Número de estações canal comum Est. N canal comum Uma estação transmite quando precisa, sem se preocupar em escutar o canal.

Protocolo Aloha Técnica mais simples que utiliza a estratégia de acesso a um meio comum, que pode ser acessado por todos os usuários. Existem dois tipos de protocolo Aloha: Aloha Puro Aloha Segmentado

Protocolo Aloha puro Duas ou mais estações podem transmitir ao mesmo tempo. Esta situação dá origem a colisões, que devem ser detectadas e logo resolvidas. Est. 1 Est. 2 Est. 3 Tempo

Modelo Aloha puro Modelo do canal: Est. 1 CANAL + . Est. N +

Modelo Aloha puro Hipóteses: Comprimento fixo dos pacotes = T Canal livre de ruído (perda de pacotes somente por colisões) Estações têm comportamento homogêneo Uma estação transmite pacotes com sucesso antes da chegada do seguinte Chegada de pacotes em cada estação obedece a um proceso de Poisson  taxa de chegadas ao meio comum tem distribuição de Poisson

Taxa efetiva de transmissão Est. 1 CANAL + . Est. N + = taxa média de transmissão de novos pacotes ao canal, em cada estação (pac/seg) ’ = taxa média de transmissão ao canal de pacotes novos mais os retransmitidos (devido a colisões), em cada estação (pac/seg)

Taxa efetiva de transmissão Est. 1 CANAL G + . S Est. N +  = tamanho fixo de um pacote (seg) S = N  T = utilização proporcional do canal por pacotes efetivamente transmitidos (novos) G = N ’ T = utilização proporcional do canal pelo total de pacotes transmitidos (novos mais colisões)

Taxa efetiva de transmissão Logo, tem-se que: (1) P0 = probabilidade de transmissão com sucesso de pacotes pelo canal (sem colisões) Taxa total de transmissão de pacotes tem distribuição de Poisson com parâmetro N’:

Taxa efetiva de transmissão Colisão entre duas mensagens: Canal Tempo 2T Tempo de vulnerabilidade A probabilidade de que não ocorram colisões nesse intervalo [0,2T] é a probabilidade de que não sejam transmitidos pacotes neste intervalo. Logo, de (2) obtem-se:

Taxa efetiva de transmissão Das equações (1) e (3) obtém-se a capacidade do canal (S) em função da taxa de transmissão total de pacotes (G): Rendimento máximo ocorre para G=0.5, com S=0.184: Max (S) = 18%

Taxa efetiva de transmissão Gráfico de S(G): 0,184 Observações: Para cargas baixas de pacotes acontecem poucas colisões, portanto S = G À medida em que G aumenta e, portanto, S aproxima-se de 0.18, o número de colisões aumenta.

Taxa efetiva de transmissão Gráfico de S(G): 0,184 Observações: Ao aumentar o número de colisões, aumenta o número de retransmissões e, por conseguinte, aumenta a probabilidade de que ocorra uma colisão. Então, S decai e o sistema torna-se instável para altos valores de G.

Protocolo Aloha segmentado A estação espera que comece um intervalo de tempo para transmitir um pacote O sistema passa de contínuo a discreto Est. 1 Est. 2 Est. 3 Tempo Neste caso, ocorre colisão total ou não ocorre. É necessário haver sincronismo geral.

Taxa efetiva de transmissão Tempo de vulnerabilidade cai à metade: T Após a mesma análise que foi feita com Aloha puro, obtém-se o seguinte resultado para Aloha segmentado:

Taxa efetiva de transmissão Gráfico de S(G): 0,368 Rendimento máximo ocorre para G=1, com S=0.368: Max (S) = 37%

Comparação Aloha puro Aloha segmentado Est. 1 Est. 2 Est. 3 Tempo

Comparação Resumo de resultados: Taxa efetiva S(G) Máximo rend. S Puro Segmentado 37% (G = 1)

Comparação de gráficos:

Distribuições contínuas

Variáveis aleatórias contínuas Variáveis aleatórias contínuas: a v.a. assume valores em um contínuo de valores possíveis, seu domínio não é um conjunto enumerável. X é uma variável aleatória contínua se existe uma função f: (-,)   tal que B   P{XB} = f(.) é a função de densidade de probabilidade da v.a. X

Variáveis aleatórias contínuas P{X(-,+)} = P{X[a,b]} = P{X = a} = Probabilidade de uma v.a. contínua assumir determinado valor é nula

Variáveis aleatórias contínuas Função de distribuição acumulada: F(a) = P{X  a} =

Variáveis aleatórias contínuas Seja X uma v.a. contínua. Então, seu valor esperado é dado por:

Distribuição uniforme Uniforme u(0,1)

Distribuição uniforme Uniforme u(,)

Distribuição uniforme Função de distribuição:

Distribuição uniforme Valor esperado: E[X] = = Portanto, E[X] =

Distribuição uniforme Parâmetros E[X] (b+a)/2 (b-a)2/12 Var[X]

Distribuição uniforme Discos de um dispositivo de memória rodam uma vez a cada 25 ms. Quando a cabeça de leitura/escrita está posicionada sobre uma trilha para ler algum registro em particular dessa trilha, este pode estar em qualquer lugar. Então, o retardo rotacional T até que o registro fique na posição para ser lido é uniformemente distribuído no intervalo 0 a 25 ms. (a) E[T] = ? (b) Var[T] = ? (c) probabilidade do retardo rotacional ficar entre 5 e 15 ms?

Distribuição uniforme (a) (b) (c)

Distribuição exponencial X Exp () X )

Distribuição exponencial 9  = 8 8 7 6 5 4 3 2 1 x 2x = 0.25 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.125 E[x]

Distribuição exponencial f (x) 6  = 6 5 4  = 2 3  = 4 2 1 x 0.5 1.0 1.5 2.0

Distribuição exponencial 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 = 8 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2x = 0.25 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.125 E[x]

Distribuição exponencial 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 5 10 15 20 25 30 x F(x)   

Distribuição exponencial Valor esperado: E[X]= Para integrar por partes, define-se: u = x ; du = dx v = ; dv = Logo: E[X] = = Portanto, E[X]=

Distruibuição exponencial Var [X] f ( q ) E [X n ]

Exemplo 1 X X: v.a. tamanho de um pacote X ~ Exp (1/L) L: Valor médio do tamanho do pacote L: bits/pacote

Exemplo 2 Canal de transmissão : C (bps) X: tamanho do pacote Y: v.a. tempo de transmissão de cada pacote Y ~ Exp (C/X) X/C: valor médio do tempo de transmissão de um pacote (seg/pacote)

Exemplo 3 Tempo entre chegadas chegada de pacotes Nó t   t0 t1 t2 tn i = t i -t i-1: tempo entre chegadas i ~ Exp () i são independentes 1/: valor médio do tempo entre pacotes (seg/pacote)

Falta de memória         P X  s  t X  t  P X  s  s , t  f (x)  = 8   P X  s   P X  s  t X  t x [ut] s t s+t ut  unidades de tempo

P{X > s + t | X > t}= P{X > s} Falta de memória X : ~ Exp (): probabilidade de falha de uma rede P{X > s}: probabilidade de que a rede não falhe durante s unidades de tempo P{X > s + t | X > t}: probabilidade de que a rede não falhe durante s+t unidades de tempo, dado que funcionou durante t unidades de tempo Como o sistema não tem memória: P{X > s + t | X > t}= P{X > s}

Ordem entre eventos exponenciais X1 ~ Exp (1) X2 ~ Exp (2) Problema: ? Solução:   P X 1 2   1 2   P X    

  Generalização     Xi ~ Exp(i), i=1,…,n Problema: ? 1 Solução:   2 n   3 ?  1 i n   Solução:   P X 1   2 n   3

Exemplo Sistema de servidor de impressão formado por duas partes principais: servidor e impressora Sejam: Xs ~ Exp(s): vida útil servidor Xi ~ Exp(i): vida útil impressora E[Xs]: 10.000 hrs E[Xi]: 3.000 hrs Problema: Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor?

Exemplo Problema : Qual é a probabilidade do sistema falhar devido a uma falha no servidor? Solução:  P X s i            1 10000  1 1  10000 3000 3  13

Distribuição de Erlang X Erl (k,) X  Função de densidade de probabilidade Função de distribuição: (1) (2)

Distribuição de Erlang 0.8 0.7 0.6 k = 2  = 2 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2 3 4 5 x E[x]=1

Distribuição de Erlang k = 2  = 2 x 2 3 4 5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 E[x]=1

Distribuição de Erlang (k,) Parâmetros

Relação entre Exponencial e Erlang servidor  Servidor com somente uma entrada e uma saída Todos os pacotes devem ser atendidos Servidor atende somente um pacote de cada vez Existe retardo somente no servidor X: v.a. tempo de serviço X ~ Exp(): f(x) = ·e-x, x 0 E[x] = 1/ x2 = 1/2

Relação entre Exponencial e Erlang  Etapa 2 Etapa 1 Servidor com duas etapas em série Cada pacote deve passar por ambas etapas Servidor atende um pacote de cada vez (ambas etapas não podem estar ativas simultaneamente) não há retardo entre etapas Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i Xi ~ Exp(2): f(xi ) = 2·e -2, x 0 E[Xi] = 1/(2 xi2 = 1/(22

Relação entre Exponencial e Erlang Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)? Solução: soma de duas variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas com distribuição exponencial X: v.a. tempo de serviço total Seja £[f(x)] a transformada de Laplace de f(x) Então: £[f(x)] = £[f(x1)] · £[f(x2)] f(x) = xe-x, x  E[X] = E[X1] + E[X2] = 1/ x2 = x12 +x22 = 1/(22)

Relação entre Exponencial e Erlang k Etapa 1 Etapa 2 Etapa i Etapa k Servidor de k etapas em série Cada pacote deve passar pelas k etapas Um novo pacote pode entrar na etapa i apenas quando o pacote em serviço acabar a etapa k não há retardo entre etapas Xi: v.a. tempo de serviço da etapa i Xi ~ Exp(k): f(xi ) = k  e -kx, x 0 E[xi] = 1/(k xi2 = 1/(k2

Relação entre Exponencial e Erlang Problema: qual é a distribuição do tempo total de serviço (retardo total)? Solução: é a soma de k variáveis aleatórias independentes e idênticamente distribuídas. X: v.a. tempo de serviço total E[X] = E[Xi] = k (1/(k)) = 1/ X2 =  Xi2 = k (1/(k))2 = 1/(k2) £[f(x)] = £[f(xi)]

Relação entre Exponencial e Erlang x: atraso total (em unidades de tempo) de um pacote ao atravessar k etapas, cada uma das quais introduz um retardo y Y ~ Exp() X ~ Erl(k,), /k E[X] = k E[Y] x2k·y2 x·y

Relação entre Exponencial e Erlang 29.00 1.86E-03 9.67E-06 30.00 1.29E-03 5.50E-06 8.42E-11 1.75E-26 31.00 8.92E-04 3.11E-06 3.31E-11 2.37E-27 32.00 6.15E-04 1.76E-06 1.30E-11 3.21E-28 -5.00E-01 0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 f(x)  = 1/2 , k = 4  = 2/3 , k = 3  = 1 , k = 2  = 2 , k = 1 Função de densidade para  . k = 2 =  x ~ Erl (k , ) y ~ Exp ()

Função de densidade para = 1 1.4 1.2 k = 10 1 k = 1 0.8 k = 2 0.6 k =  0.4 0.2 1 2 3 4 5 x Fazendo : df(x)/dx = 0 obtém-se:

Exemplo Problema: obter o tempo médio E[T] que demora um nó para transmitir n pacotes de um buffer, se o tempo de transmissão de um pacote é Exp() com média 1/. Nó Buffer Canal de transmissão

Exemplo Solução: S ~ Exp(): v.a. tempo de serviço por elemento T: v.a. tempo de serviço de n elementos Como o tempo de serviço por elemento distribui-se exponencialmente, então o tempo de transmissão de n elementos tem distribuição de Erlang. Logo: T ~ Erl(n,n) E[T] = n/

Exemplo T(segs) n=1024 pacotes =100 pacotes/seg n = 1024 pacotes 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 E[T]=10.24 segs 10 15 5 20

Variáveis aleatórias conjuntas e probabilidade condicional

Variáveis aleatórias conjuntas Cálculos de probabilidades envolvendo duas ou mais variáveis simultaneamente Função de distribuição de probabilidade acumulada de X e Y: F(a,b) = P{X  a,Y  b} - < a,b <  FX(a) = P{X  a} = P{X  a,Y  } = F(a,)

Variáveis aleatórias conjuntas X e Y variáveis aleatórias discretas: Função de massa de probabilidade conjunta p(x,y) = P{X = x, Y = y} pX(x) =

Variáveis aleatórias conjuntas X e Y são variáveis aleatórias contínuas conjuntas se existe uma função real f (x,y) definida para qualquer reais x e y tal que para quaisquer conjuntos A,B   P{XA, YB} = f(x,y) é a função de densidade de probabilidade conjunta de X e Y

Variáveis aleatórias conjuntas P{XA, YB} = P{XA, Y(-,)} = = onde

Variáveis aleatórias independentes X e Y são variáveis aleatórias independentes se para qualquer a e b tem-se: P{X  a,Y  b} = P{X  a}.P{Y  b} F(a,b) = FX(a).FY(b) X discreta: p(x,y) = pX(x).pY(y) X contínua: f(x,y) = fX(x).fY(y)

Funções geradoras de momentos X variável aleatória discreta: X variável aleatória contínua:

Funções geradoras de momentos

Probabilidade condicional Cálculo de probabilidades quando há informações parciais

Probabilidade condicional P[E|F] = Caso discreto: função de massa de probabilidade condicional pX|Y(x|y) = P{X=x|Y=y} = = Se X é independente de Y, então: px|y(x|y) = px(x)

Probabilidade condicional Função de distribuição de probabilidade condicional de X dado que Y = y: Valor esperado condicional de X dado que Y=y

Probabilidade condicional X e Y v.a.s independentes:

Exemplo 1 X e Y v.a.s independentes com distribuição de Poisson de parâmetros 1 e 2 respectivamente. Calcular: P{X=k |X + Y = n} = ? E[X |X + Y = n] = ? P{X = k | X + Y = n} = = =

Exemplo 1 Como X+Y tem distribuição de Poisson de parâmetro 1+2 P{X = k | X + Y = n} = =

Exemplo 1 Interpretação: P{X= k | X +Y = n} é uma v.a. Bi(n, ), logo: E[X | X +Y = n]= n

Exemplo 2 Sejam n + m experimentos independentes, cada um sendo do tipo Be(p). Avaliar o número esperado de sucessos nos n primeiros experimentos, dado que nocorreram k sucessos no total. Sejam as seguintes v.a.’s: se houve sucesso no i-ésimo exp. caso contrário Y = número de sucessos nos (n+m) experimentos.

Exemplo 2 Problema: pois

Probabilidade condicional Caso contínuo: se X e Y têm uma função de densidade de probabilidade conjunta f(x,y), então a função de densidade de probabilidade condicional de X dado que Y = y é dada por Valor esperado condicional de X dado que Y=y

Exemplo Sejam X e Y v.a.s tais que: Problema:

Probabilidade condicional Caso discreto: E[X] = E[X | Y = y] P{Y = y} Caso contínuo: E[X] = E[X | Y = y] fY(y)dy Em geral: E[X] = E[E[X|Y]]

Probabilidade condicional Prova do caso discreto

Exemplo Sejam N uma v.a. Ge(p) e Y a seguinte v.a.: , primeiro é cara (probabilidade p) , primeiro é coroa (probabilidade 1-p) E[N] = número médio de experimentos realizados até obter-se a primeira cara = ? Solução condicionando no resultado do primeiro experimento: E[N]=E[N|Y=1].P{Y=1} + E[N|Y=0].P{Y=0} = p.E[N|Y=1]. + (1-p).E[N|Y=0] E[N] = p.1 + (1-p).(1+ E[N]) E[N] = 1/p