ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas de Dispersão

Professor: Marlon 1. INTRODUÇÃO As medidas de dispersão indicam se os valores estão relativamente próximos uns dos outros, ou separados em torno de uma medida de posição: a média. Consideraremos cinco medidas de dispersão: AMPLITUDE TOTAL (AT), DESVIO MÉDIO (DM), VARIÂNCIA (s2 ou s2), DESVIO PADRÃO (s ou s) e COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV). Na maioria das vezes a utilização das medidas de posição (média, moda, mediana) não é suficiente para sintetizar a informação nele contida, por exemplo, duas amostras podem ter a mesma média, mas uma dispersão (distância dos valores em relação a média) absolutamente diferente em relação a essa média.

Professor: Marlon 2. AMPLITUDE TOTAL É a diferença entre o maior e o menor valor observado. A amplitude é uma medida de dispersão fácil de ser calculada e é certamente a maneira mais natural e comumente utilizada para descrever a variabilidade de dados. Porém sua interpretação depende do número de observações, mas, no seu cálculo não são considerados todas as observações, pois só utilizamos os valores extremos.

3- DESVIO MÉDIO ABSOLUTO Professor: Marlon 3- DESVIO MÉDIO ABSOLUTO Desvio absoluto médio (Dm) é a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência central: média ou mediana. Desvio Médio para dados não agrupados: EXEMPLO 1: Suponha um conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar o desvio médio desse conjunto de dados. Resolução: Cálculo da média:

Professor: Marlon Cálculo do desvio médio: Interpretação: em média, o tempo de serviço deste grupo de funcionários de desvia de 2,24 anos em torno dos 7,8 anos do tempo médio de serviço (a média).

Desvio Médio para dados agrupados (sem intervalos de classe): Professor: Marlon Desvio Médio para dados agrupados (sem intervalos de classe): Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados devemos levar em conta que cada valor da variável (xi) aparece associado a uma frequência (fi), e nesse caso, devemos lembrar que o desvio médio vai ficar ponderado por essas frequências, o que em outras palavras quer dizer: o desvio de cada valor da variável em relação à média ficará multiplicado por sua respectiva frequência.

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Professor: Marlon EXEMPLO 2: Em determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. Calcular o desvio médio. Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) 1 2 3 5 4 Total 10 Cálculo da média:

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Professor: Marlon Resolução: Cálculo da média: Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) çxi – média ç çxi – média ç. fi 1 2 3 5 4 Total 10 Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Professor: Marlon Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) çxi – média ç çxi – média ç. fi 1 1,6 2 3 0,6 1,8 5 0,4 2,0 4 1,4 Total 10 4,0 6,8 E por fim, basta calcularmos o desvio médio. Interpretação: em média, a quantidade de veículos negociados por cada vendedor possui uma distância de 0,68 em torno dos 2,6 veículos comercializados em média.

Desvio Médio para dados agrupados (com intervalos de classe): Professor: Marlon Desvio Médio para dados agrupados (com intervalos de classe): Para o cálculo do desvio médio com dados agrupados em intervalos de classe, devemos levar em conta que cada valor da variável (xi) aparece representado sob a forma de um intervalo de classe, e este intervalo está associado a uma frequência (fi), e nesse caso, devemos lembrar: 1. Cada valor da variável ficará representado pelo ponto médio da classe. 2. O desvio médio vai ficar ponderado por essas frequências, o que em outras palavras quer dizer: o desvio de cada valor da variável em relação à média ficará multiplicado por sua respectiva frequência.

Professor: Marlon EXEMPLO 3: A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcular o desvio médio. Escores Alunos (fi) 45 5 45 55 12 65 18 65 75 14 85 6 85 95 3 Total 58

Professor: Marlon Resolução: Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o ponto médio de cada classe. Escores Alunos (fi) 45 5 40 45 55 12 50 65 18 60 65 75 14 70 85 6 80 85 95 3 90 Total 58 -

Professor: Marlon Resolução: Agora que sabemos a média, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Escores Alunos (fi) 45 5 45 55 12 65 18 65 75 14 85 6 85 95 3 Total 58 Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

Professor: Marlon E por fim, basta calcularmos o desvio médio. Escores Alunos (fi) 45 5 40 22,24 111,2 45 55 12 50 12,24 146,88 65 18 60 2,24 40,32 65 75 14 70 7,76 108,64 85 6 80 17,76 106,56 85 95 3 90 27,76 83,28 Total 58 - 596,88 E por fim, basta calcularmos o desvio médio. Interpretação: em média, a nota de cada aluno teve uma distanciamento de 10,29 pontos em torno do desempenho médio do grupo.

3- VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO Professor: Marlon 3- VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO É a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média. Na verdade a variância é a medida que fornece o grau de dispersão, ou variabilidade dos valores do conjunto de observações em torno da média. Pode ser calculada de duas formas: POPULACIONAL: representada pela letra grega s2. AMOSTRAL: representada por s2. Porém, toda vez que calculamos a variância nos deparamos com um problema: a resposta obtida sempre vai ser fornecida com a unidade elevada ao quadrado (anos2, cm2, etc.). Para eliminarmos esse quadrado da unidade de medida, extraímos a raiz quadrada do resultado da variância, obtendo assim uma terceira medida de dispersão, o DESVIO PADRÃO.

Professor: Marlon Assim como a variância, o Desvio Padrão pode ser calculado de duas formas: POPULACIONAL: representada pela letra grega AMOSTRAL: representada por Na prática o Desvio Padrão indica um intervalo onde se concentram a maioria dos valores em torno da média. Assim: desvio padrão pequeno indica que a maioria dos valores está próximo da média; desvio padrão grande indica que a maioria dos valores está distante da média. Ao contrário da amplitude total, a variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração todos os valores da variável em estudo, que são obtidos a partir das diferenças entre cada elemento e a média do conjunto. Isso faz com que eles sejam índices de variabilidade bastante estáveis, e por isso mesmo, os mais geralmente empregados.

Variância e Desvio Padrão para dados não agrupados: Professor: Marlon Variância e Desvio Padrão para dados não agrupados: Populacional: Amostral:

Professor: Marlon Variância e Desvio Padrão para dados agrupados (sem intervalos de classe): Populacional: Amostral:

Professor: Marlon Variância e Desvio Padrão para dados agrupados (com intervalos de classe): Populacional: Amostral:

Professor: Marlon EXEMPLO 4: para as amostras 3, 4, 5, 6, 7 e 1, 3, 5, 7, 9, calcular a variância e o desvio padrão. Resolução: As variâncias seriam: S12 = [(3-5)2+ (4-5)2 + (5-5)2+ (6-5)2+ (7-5)2]/4 S12 =2,5 S22 = [(1-5)2+ (3-5)2+ (5-5)2+ (7-5)2+ (9-5)2]/4 S22 =10 A amostra 3, 4, 5, 6, 7 é mais homogênea. Os desvios padrões seriam: S = √2,5 = 1,58 S = √10 = 3,16

Professor: Marlon EXEMPLO 5: Considerando a tabela ao lado, calcular: média, desvio médio, variância e desvio padrão. Resolução: Média = [(0.4)+(1.5)+(2.7)+(3.3)+(5.1)]/20=1,65 DM(x) = [4.(0-1,65) + 5.(1-1,65) + 7.(2-1,65) + 3.(3-1,65) + 1.(5-1,65)]/20 = 0,98 Variância S2 = [4.(-1,65)2 + 5.(-0,65)2 + 7.(0,35)2 + 3.(1,35)2 + 1.(3,35)2]/19 = 1,6 Desvio Padrão: S = √1,6 = 1,26

Professor: Marlon EXEMPLO 6: Suponha um conjunto de tempo de serviço de cinco funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11 anos. Determinar a variância e o desvio padrão desse conjunto de dados. Resolução: Cálculo da média: Cálculo da variância: Cálculo do desvio padrão:

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Professor: Marlon Interpretação: se calcularmos um intervalo usando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos dados. EXEMPLO 7: Em determinado dia foi registrado o número de veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores de uma agência de automóveis como mostra a tabela abaixo. Calcular a variância e desvio padrão. Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) 1 2 3 5 4 Total 10

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Professor: Marlon Resolução: Cálculo da média: Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) (xi – média)2 (xi – média)2. fi 1 2 3 5 4 Total 10 Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Professor: Marlon Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) (xi – média)2 (xi – média)2. fi 1 2,56 2 3 0,36 1,08 5 0,16 0,80 4 1,96 Total 10 5,04 6,40 E por fim, basta calcularmos a variância. Interpretação: se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da média, encontraremos a concentração da maioria dos veículos negociados por vend.

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Resolução: VAMOS FAZER DE OUTRA MANEIRA Cálculo da média: Agora, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) xi . fi xi2. fi 1 2 3 5 4 Total 10 Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) Professor: Marlon Veículos negociados (xi) Número de vendedores (fi) xi . fi xi2. fi 1 2 3 6 12 5 15 45 4 16 Total 10 26 74 E por fim, basta calcularmos a variância.

Professor: Marlon EXEMPLO 8: A tabela abaixo apresenta a pontuação obtida por um grupo de 58 alunos matriculados em uma determinada disciplina. Calcular a variância e o desvio padrão. Escores Alunos (fi) 45 5 45 55 12 65 18 65 75 14 85 6 85 95 3 Total 58

Professor: Marlon Resolução: Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o ponto médio de cada classe. Escores Alunos (fi) 45 5 40 45 55 12 50 65 18 60 65 75 14 70 85 6 80 85 95 3 90 Total 58 -

Professor: Marlon Resolução: Agora que sabemos a média, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Escores Alunos (fi) 45 5 40 45 55 12 50 65 18 60 65 75 14 70 85 6 80 85 95 3 90 Total 58 - Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

Professor: Marlon Escores Alunos (fi) 45 5 40 495 2473 45 55 12 50 150 45 55 12 50 150 1798 65 18 60 90 65 75 14 70 843 85 6 80 315 1893 85 95 3 771 2312 Total 58 - 9409

Professor: Marlon Interpretação: se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuação..

Resolução: VAMOS FAZER DE OUTRA MANEIRA Cálculo da média: nesse caso, devemos primeiro calcular o ponto médio de cada classe. Escores Alunos (fi) 45 5 40 45 55 12 50 65 18 60 65 75 14 70 85 6 80 85 95 3 90 Total 58 -

Professor: Marlon Resolução: Agora que sabemos a média, seria prudente acrescentarmos na tabela duas colunas, onde colocaremos informações que serão úteis ao cálculo do desvio médio. Escores Alunos (fi) 45 5 40 45 55 12 50 65 18 60 65 75 14 70 85 6 80 85 95 3 90 Total 58 - Vamos então, preencher estas colunas com os valores devidos.

Professor: Marlon Escores Alunos (fi) 45 5 40 200 8000 45 55 12 50 600 45 55 12 50 600 30000 65 18 60 1080 64800 65 75 14 70 980 68600 85 6 80 480 38400 85 95 3 90 270 24300 Total 58 - 3610 234100

Professor: Marlon Interpretação: se calcularmos um intervalo utilizando um desvio padrão em torno da pontuação média (62,24 pontos), encontraremos a concentração da maioria dos alunos dentro deste intervalo de pontuação..

4- COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Professor: Marlon 4- COEFICIENTE DE VARIAÇÃO Trata-se de uma média relativa à dispersão, útil para comparação e observação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. É dada por: Na prática podemos classificar uma distribuição quanto a dispersão da seguinte maneira: DISPERSÃO BAIXA: CV ≤ 15% DISPERSÃO MÉDIA: 15% ≤ CV ≤ 30% DISPERSÃO ALTA: CV ≥ 30%

Grupo A R$ 150 R$ 5 Grupo B R$ 50 R$ 3 Professor: Marlon EXEMPLO 9: para os salários de dois grupos de operários abaixo, compare os respectivos coeficientes de variação. Grupo A R$ 150 R$ 5 Grupo B R$ 50 R$ 3 Resolução: Para calcularmos o coeficiente de variação, basta dividirmos o desvio padrão pela média e multiplicarmos o resultado por 100. Interpretação: O salário do grupo B apresenta maior dispersão relativa que o salário do grupo A. Grupo A: Grupo B:

EXEMPLO 10: Os pesos de 10 caixas de um certo tipo de cereal tem conteúdo médio de 278 g com um desvio padrão de 9,64 g. Se estas caixas são vendidas por um preço médio de 1,20 u.m. com um desvio padrão de 0,09 u.m., podemos concluir que os pesos são relativamente mais homogêneos do que os preços? Grupo A: Grupo B: Interpretação: os preços apresentam maior dispersão relativa que os pesos, ou seja, os pesos são mais homogêneos que os preços.