Geometria Computacional Prof. Walter Mascarenhas Segundo semestre de 2004 Aula 4

Produto vetorial

Fórmulas

Encarando como transformação linear:

Mais fórmulas

Generalizações

Orientação indica esquerda/sobre/direita

esquerda/direita/sobre && interseção Corte transversal esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) = esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = -1 esquerda(A,B,C) * esquerda(A,B,D) = 1 ou esquerda(C,D,A) * esquerda(C,D,B) = 1 => não há interseção

Restam os casos degenerados

Triangulação em O(n logn) 1 - Ordene os pontos pela coordenada y O(n logn) 2- Decomponha o polígono em trapézios usando uma scanline O(n logn) 3- Usando os trapezóides, quebre o polígono em partes monótonas através da eliminação das cúspides internas O(n) 4- Triangule as partes monótonas O(n)

Vértices reflexos e cúspides internas Um vértice v de um polígono P é reflexo se o seu ângulo interno é estritamente maior que pi. Um vértice reflexo r é uma cúspide interna de P com relação à reta r se seus dois vizinhos estão contidos no mesmo semi-plano fechado definido pela paralela a r que passa por v..

Partição em trapézios Um polígono particionado em trapézios (triângulos são trapézios degenerados.) Note que o lado inferior de cada trapézio contém exatamente um vértice e o superior também

Método da scanline

Poligonais estritamente monótonas Uma poligonal P é estritamente monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo um ponto

Poligonais monótonas Uma poligonal P é monótona com respeito à uma reta r se toda perpendicular à r corta P em no máximo uma componente conexa

Observação

Polígonos monótonos Uma polígono é (estritamente) monótono com respeito à uma reta r se puder ser particionado em duas poligonais que são (estritamente) monótonas com respeito a r

Conseqüência da observação passada

Critério de não monotonicidade Lema: Um polígono P não monótono com relação a uma reta r contém pelo menos uma cúspide interna. A recíproca deste lemma e versões mais fortes são falsas:

Idéia da prova do Lema (os detalhes são muito chatos) ``Prova’’ do Lema: suponha que o polígono esboçado na figura não é monótono. Então podemos assumir que uma paralela a r intercepta a poligonal cyan em mais de uma componente conexa. Isto implica que v0 está abaixo da paralela e vn está acima. Portanto a paralela também corta a poligonal amarela. Ai temos alguns casos. Por exemplo, poderíamos conectar o ponto a ao ponto b ou ao ponto c

Continuação da prova do Lema

De trapezóides para partes monótonas: Basta remover as cúspides internas conectando-as da seguinte maneira: 1- Uma cúspide interna que está no lado inferior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado superior do mesmo trapézio por uma diagonal 2- Uma cúspide interna que está no lado superior de um trapézio é ligada ao vértice do polígono que está no lado inferior do mesmo trapézio por uma diagonal

De trapezóides para partes monótonas:

Finalmente, triangular polígono monótono em O(n):