Matemática Financeira Renato Tognere Ferron

FLUXO DE CAIXA

Representação em diagrama CONCEITOS Fluxo de caixa de um projeto ou investimento é o conjunto de entradas e saídas de capital ao longo do tempo. Representação em diagrama (+) (-) Entradas Saídas Saídas tempo tempo Entradas (-) (+)

Diagrama de Fluxo de Caixa Fluxos convencionais de investimentos + -

Diagrama de Fluxo de Caixa Fluxos convencionais de empréstimo + -

EXEMPLOS Como será representado no diagrama de fluxo de caixa um investimento no valor de R$ 100.000,00 pelo qual o investidor recebeu R$ 150.000,00 após 6 meses?

EXEMPLOS Como será representado no diagrama de fluxo de caixa um empréstimo tomado de R$ 50.000,00 pelo qual o tomador pagará R$ 75.000,00, após 5 meses?

EXEMPLOS Desenhe o diagrama de fluxo de caixa de uma série de depósitos de R$ 10.000,00 cada um, feitos no início de cada mês durante um ano numa Caderneta de Poupança que rendeu, no fim do ano, um montante final de R$ 200.000,00.

EXEMPLOS Desenhe o diagrama de fluxo de caixa para uma pessoa que, durante 6 meses, fez depósitos de R$ 25.000,00 numa Caderneta de Poupança, sempre no início de cada mês. Nos três meses que se seguiram, perdeu o emprego e foi obrigada a fazer retiradas de R$ 60.000,00, também no início de cada mês, tendo esgotado o seu saldo.

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO DOS JUROS SIMPLES: os juros de cada período são calculados SEMPRE sobre o valor inicial; COMPOSTA: os juros de cada período são calculados sobre o valor inicial e também sobre os juros acumulados até o início de cada período.

JUROS SIMPLES

CONCEITO Ao emprestarmos uma quantia em dinheiro, por determinado período de tempo, costumamos cobrar o juro, de tal modo que, no fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital financeiro, por nossa parte, durante o período em que foi emprestado.

Montante (M) = Capital (C) + Juros CONCEITO A soma capital + juros é chamada de montante e será representada letra M Montante (M) = Capital (C) + Juros

J1 = Remuneração por dispor do Capital C durante o período 1 C = Capital disponível i i = Taxa de juros M1 1 J1 J1 = Remuneração por dispor do Capital C durante o período 1

JUROS Os juros são fixados através de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo: mês, bimestre, trimestre, semestre, ano,... . Utilizamos, usualmente, a letra i para denotar a taxa de juros. A letra i é a inicial da palavra inglesa interest, que significa juros.

REPRESENTAÇÃO O elemento que faz a equivalência dos valores ao longo do tempo é o juro, que representa a remuneração do capital. Exemplo: I = 24% ao ano = 24% a.a I = 6% ao trimestre = 6% a.t I = 3,5% ao mês = 3,5% a.m

EXEMPLO Imagine que o Banco X cobra uma taxa de 6% ao mês no uso do cheque especial. E em determinado mês, João precisou pegar emprestado do banco R$ 2.000,00. Que valor João deve depositar na sua Conta daqui a um mês para saldar a dívida?

EXEMPLO Juros = Capital x taxa x nº de período = C x i x n 6% x 2000 = (6/100) x 2000 x 1 = 0,06 x 2.000 = 120 Resposta = 2.000 + 120 = 2.120

REPRESENTAÇÃO J= C x i x n É importante observar que no cálculo anterior, a taxa de juros 6% foi transformada em fração decimal para permitir a operação. Assim, as taxas de juros terão duas representações: Sob a forma de porcentagem (taxa percentual): 6% ao ano = 6% a.a. ii) Sob a forma de fração decimal: 6 / 100 = 0,06. J= C x i x n

Exemplo 1: Uma pessoa aplica $ 18.000,00 à taxa de 1,5% ao mês. Determine o valor dos juros acumulados e o valor de resgate ao final do período. Sol: C = $ 18.000,00 i = 1,5% = 0,015 ao mês J = Cxi = 18.000,00x 0,015 = 270 M1 = C + J1 = 18000 + 270 = R$ 18.270,00

Exemplo 2: Calcular os juros simples produzidos pelo capital de R$ 200,00 em 3 meses, à taxa de 5% ao mês. Sol: C = R$ 200 t = 3 meses i = 5% a. m. = 0,05 ao mês j = ? = C*i*n = 200 * 0,05 * 3 = R$ 30,00

Exemplo 3: Consideremos que um capital de R$ 500,00 fique depositado durante 25 dias em uma aplicação que paga 1,1% ao dia. Qual o valor dos juros simples? Sol: C = R$ 500 t = 25 dias i = 1,1% ao dia = 0,011 ao dia j = ? = C*i*t = 500 * 0,011 * 25 = R$ 137,50

EXERCÍCIOS (Cesgranrio – Petrobras – Técnico em Administração e Controle Júnior – 2009) – Hugo emprestou certa quantia a Inácio a juros simples, com taxa mensal de 6%. Inácio quitou sua dívida em um único pagamento feito 4 meses depois. Se os juros pagos por Inácio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo foi a) menor do que R$ 500,00. b) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00. c) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00. d) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00. e) maior do que R$ 2.500,00.

EXERCÍCIOS (Cesgranrio – Petrobras Distribuidora – Técnico em Administração – 2010) – Um capital C, submetido ao regime de juros simples durante 5 meses, propicia um rendimento correspondente à metade de C. A taxa mensal de juros utilizada é de a) 2% b) 5% c) 10% d) 20% e) 50%

CÁLCULO DO MONTANTE

J1 = Remuneração por dispor do Capital C durante o período 1 + J1 C = Capital disponível i i = Taxa de juros M1 Que valor deveríamos ter no final do 1º período ? 1 J1 M1 = C J1 = Remuneração por dispor do Capital C durante o período 1 + J1 M1 = C + (i x C) M1 = C x (1 + i)

C M1 M2 J1 J2 Capitalização simples Que valor deveríamos ter 2 1 J1 1 J2 Capitalização simples Que valor deveríamos ter no final do período 2 ? M2 = C + J1 + J2 M2 = C + (i x C) + (i x C) M2 = C x (1 + i x 2)

C M1 M2 M3 J1 J2 J3 Capitalização simples M3 = C x (1 + i x 3) 2 3 1 J1 J2 1 J3 Capitalização simples M3 = C + J1 + J2 + J3 M3 = C + (i x C) + (i x C) + (i x C) Que valor deveríamos ter no final do período 3 ? M3 = C x (1 + i x 3)

C M1 M2 M3 Mn J1 J2 J3 Jn Mn = C + J1 + J2 + J3 + ... + Jn n n-1 2 3 1 J1 J2 1 J3 3 Jn Mn = C + J1 + J2 + J3 + ... + Jn Capitalização simples Que valor deveríamos ter no final do período n ? Mn = C x (1 + i x n)

jn = C x i x n Mn = C x (1 + i x n) EQUAÇÕES BÁSICAS Regime de JUROS SIMPLES Mn = C x (1 + i x n)

As variáveis i e n devem estar na mesma unidade de tempo IMPORTANTE As variáveis i e n devem estar na mesma unidade de tempo Exemplos: Prazo em meses Taxa em % ao mês Prazo em anos Taxa em % ao ano Prazo em dias Taxa em % ao dia

Calcular os juros simples e o montante de um capital de R$ 1 Calcular os juros simples e o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 2% a.m., durante 6 meses; Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 2.000,00 aplicado à taxa de 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses; Um capital de R$ 4.000,00 rendeu em um mês a importância de R$ 1.000,00 de juros. Calcule a taxa de juros simples.

4) Calcular o capital que, aplicado à taxa de 1% a. m 4) Calcular o capital que, aplicado à taxa de 1% a.m., produz em 13 meses juros simples de R$ 650,00. 5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00 empregado à taxa de juros simples de 0,5% a.m. durante 2 anos e 6 meses.

EXERCÍCIOS

EXERCÍCIOS Um capital de R$ 2.400,00 será aplicado à taxa de 5% ao mês, durante 2 meses, sob regime de juros simples. O valor final obtido, em reais, será a) 2.520,00 b) 2.640,00 c) 2.646,00 d) 2.650,00 e) 2.652,00

EXERCÍCIOS O investimento, que proporcionou a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, pelo período de seis meses, em reais, foi a) 12.222,22 b) 13.718,13 c) 13.761,46 d) 14.061,75 e) 14.138,93

EXERCÍCIOS Um investidor aplicou a importância de R$ 2.000,00, gerando uma remuneração de R$ 400,00 ao final de um período de 1 ano. De acordo com o regime de juros simples com capitalização anual, a taxa anual de juros dessa operação foi (A) 5% (B) 10% (C) 12% (D) 20% (E) 25%

EXERCÍCIOS O Banco WS emprestou a um de seus clientes a quantia de R$ 12.000,00, a uma taxa de 5% ao mês, no regime de juros simples, para pagamento único no final de 90 dias. De acordo com as condições do empréstimo, o cliente deverá pagar ao Banco, em reais, o montante total de (A) 12.600,00 (B) 12.800,00 (C) 13.200,00 (D) 13.600,00 (E) 13.800,00

FIM Obrigado pela atenção! Renato Tognere Ferron rferron@catolica-es.edu.br 3331-8661