Modelo de Camadas F887 - Física Nuclear Aula 08 Propriedades macroscópicas do núcleo. Modelo de Gás de Fermi Números mágicos Modelo de Camadas Interação Spin-Órbita

Características Macroscópicas dos Núcleos F887 Física Nuclear, Aula 08

Modelo Nuclear: Queremos um modelo relativamente simples que descreva as propriedades macroscópicas do núcleo de forma que possamos calcular quantitativamente algumas grandezas observáveis. O modelo deve descrever as propriedades nucleares já conhecidas. O modelo deve prever novas propriedades que possam ser confirmadas com novos experimentos. F887 Física Nuclear, Aula 08

O spin e o momento angular: No caso do átomo de hidrogênio, na resolução da equação de Schrödinger, o operador do momento angular orbital dos elétrons satisfaz a relação: e dizemos que ℓ é o número quântico orbital, associado ao momento angular orbital, e mℓ é o número quântico magnético. Usualmente se utiliza a notação espectroscópica dada por: valor do número quântico orbital ℓ 1 2 3 4 5 6 símbolo s p d f g h i F887 Física Nuclear, Aula 08

Momento angular total: O spin (S) e o momento angular orbital (L) são acoplados (=se somam), resultando no momento angular total (J): onde j é o número quântico do momento angular total. Se estivermos tratando de uma partícula de spin ½ : e a componente na direção z é dada por: F887 Física Nuclear, Aula 08

O spin nuclear I: No caso de um próton ou um nêutron, ambos são férmions e também possuem spin=1/2. Portanto, é possível aplicar o mesmo tratamento dado para os elétrons no caso atômico. Desta forma, é possível designar a cada próton e nêutron de um núcleo os números quânticos: O momento angular total do núcleo seria então a soma vetorial das componentes de momento angular de cada nucleon que compõe este núcleo. O momento angular total do núcleo é geralmente conhecido como o “spin nuclear” e representado pelo símbolo I. Valem as relações: F887 Física Nuclear, Aula 08

Spin nuclear: A combinação de spins e momentos angulares orbitais dos prótons e nêutrons em um núcleo é um pouco mais complicada. Como regra geral, um núcleo com A ímpar sempre terá spin semi-inteiro, e um de A par terá spin inteiro. Isótopos do Ferro Z A Atomic Mass (u) Nuclear Mass (GeV/c2 Binding Energy (MeV) Spin 26 54 53.939613 50.2315 471.77 55 54.938296 51.1618 481.07 3/2 56 55.934939 52.0902 492.26 57 56.935396 53.0221 499.91 1/2 58 57.933277 53.9517 509.96 60 59.934077 55.8154 525.35 Isótopos do Cobalto Z A Atomic Mass (u) Nuclear Mass (GeV/c2) Binding Energy (MeV) Spin 27 56 55.939841 52.0943 486.92 4 57 56.936294 53.0225 498.29 7/2 59 58.933198 54.8826 517.32 60 59.933820 55.8147 524.81 5 F887 Física Nuclear, Aula 08

De forma análoga ao magneton de Bohr, o magneton nuclear é definido por: μN= 3.1525 x 10-8 eV/T Na maioria dos casos, o efeito magnético atômico é muito maior do que o efeito magnético nuclear. Portanto, os efeitos magnéticos da matéria, como o ferromagnetismo, são dominados pelo momento magnético atômico. O momento magnético nuclear devido ao movimento orbital pode ser re-escrito da seguinte forma: Analogamente, o momento magnético devido ao spin do próton ou do nêutron é dado por: s=1/2 para prótons, nêutrons e elétrons gs (elétron) = 2.0023 gs (próton) = 5.5856912 gs (nêutron) = -3.8260837 O fato de ser diferente de 2, é evidência de que não são partículas pontuais! F887 Física Nuclear, Aula 08

O modelo do Gás de Fermi F887 Física Nuclear, Aula 08

Modelo do Gás de Fermi V0 EF p n Tratamos o núcleo como um poço de potencial quadrado, e os nucleons se movimentam dentro dele como se fossem partículas independentes (elas não interagem entre si). V0 EF Calculamos o número de estados possíveis para cada nível de energia. p n Tratamos separadamente os prótons e os nêutrons, cada um em seu poço de potencial, e aplicamos o princípio de exclusão de Pauli para preencher os níveis de energia. F887 Física Nuclear, Aula 08

Resumindo: O modelo do gás de Fermi é um modelo bastante simples, que consegue explicar algumas propriedades nucleares que foram deduzidas empiricamente. Permite calcular a energia máxima que um nucleon pode ter dentro do núcleo. Permite calcular a energia média dos nucleons dentro do núcleo. Em núcleos leves, o valor mínimo da energia total do sistema ocorre quando Z=N. Isto está de acordo com a nossa observação de que em núcleos leves, a linha de estabilidade se encontra próximo da linha N=Z. Explica o termo de assimetria da fórmula de Weizsäcker. F887 Física Nuclear, Aula 08

Resumindo: p n V(r) Em núcleos mais pesados, o número maior de prótons aumenta a repulsão coulombiana, o que torna o poço de prótons do modelo do Gás de Fermi mais “raso” do que o poço equivalente para os nêutrons. Em conseqüência, o número de prótons fica menor que o número de nêutrons, o que também concorda com nossas observações da tabela de nuclídeos. F887 Física Nuclear, Aula 08

Resumindo: p n V(r) O modelo do gás de Fermi explica o número reduzido de núcleos ímpar-ímpar estáveis na natureza. Se considerarmos um núcleo com um número ímpar de prótons e um número ímpar de nêutrons, significa que teremos 1 próton e 1 nêutron isolados em um nível de energia, cada qual em seu poço de potencial. Mas, geralmente existe uma pequena diferença de energia entre os níveis de Fermi de prótons e nêutrons, o que abre a possibilidade da passagem de um nucleon de um poço para outro através da emissão de radiação beta, formando um estado de energia mais baixo. F887 Física Nuclear, Aula 08

Os números mágicos F887 Física Nuclear, Aula 08

Números mágicos da física atômica: COULOMB Os números mágicos observados nas propriedades atômicas são bem descritos dentro do modelo atômico que considera os elétrons confinados em estados quantizados em torno do núcleo e obedecendo ao princípio de exclusão de Pauli. Os níveis das camadas eletrônicas são definidos resolvendo a equação de Schrödinger considerando o potencial coulombiano gerado pelo núcleo. F887 Física Nuclear, Aula 08

Números mágicos da física atômica: A estabilidade e a periodicidade dos diferentes elementos da tabela periódica podem ser explicadas pela quantização do momento angular orbital, pela existência do spin e pela estatística de Fermi-Dirac. Em particular, as propriedades atômicas variam suavemente entre átomos que possuem o mesmo número de camadas eletrônicas, e apresentam variações abruptas quando se começa a preencher nova camada eletrônica (próximo aos gases nobres). F887 Física Nuclear, Aula 08

Números mágicos nucleares: Observando os isótopos do cálcio, observamos que existem dois isótopos, com os números de nêutrons 20 e 28, para os quais a energia de ligação do nêutron é maior do que a energia de ligação do nêutron dos demais isótopos. O mesmo ocorre com outros nuclídeos, como por exemplo: F887 Física Nuclear, Aula 08

Números mágicos nucleares, na energia de separação de prótons e nêutrons: Energia de separação de dois prótons para seqüências de isótonos. Energia de separação de dois nêutrons para seqüências de isótopos. F887 Física Nuclear, Aula 08

O núcleo 208Pb (Z=82, N=126), que tem Z e N mágicos, tem o primeiro nível de excitação excepcionalmente elevado. F887 Física Nuclear, Aula 08

Abundância relativa: 2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126 A abundância dos diferentes isótopos/isótonos na Terra é maior para os isótopos com número atômico Z ou número de nêutrons N iguais aos números mágicos: 2, 8, 20, 28, 50, 82 ou 126 F887 Física Nuclear, Aula 08

Características dos núcleos mágicos Maior quantidade de isótopos e isótonos com N e Z mágicos. F887 Física Nuclear, Aula 08

Outras peculiaridades de núcleos mágicos: Núcleos com N ou Z mágicos possuem momento de quadrupolo próximo de zero (não são deformados). F887 Física Nuclear, Aula 08

Seção de choque de absorção de nêutrons: Núcleos com número de nêutrons N mágico possuem uma seção de choque de absorção de nêutrons menor do que os núcleos com N não mágicos. F887 Física Nuclear, Aula 08

Propriedades nucleares que apresentam números mágicos 2, 8, 20, 28, 50, 82 e 126: Energia de ligação acima do valor dado pela fórmula semi-empírica da massa. Energia de separação de nêutrons (prótons) tem picos para N (Z) mágicos. Elementos com Z (N) mágicos possuem isótopos (isótonos) em maior abundância do que os demais isótopos. Elementos com Z mágico são mais abundantes que os elementos vizinhos. Núcleos com N mágico possuem uma seção de choque de absorção de nêutrons menor do que os núcleos com N não mágicos. A energia do primeiro estado excitado 2+ de núcleos par-par possui valor excepcionalmente elevado no caso de Z e N mágicos. Existência de “ilhas de isomerismo” (estados excitados com meia vida longa). F887 Física Nuclear, Aula 08

O modelo de camadas F887 Física Nuclear, Aula 08

Modelo atômico e modelo nuclear: A existência de números mágicos nucleares, similar aos números mágicos no caso atômico, nos leva a considerar que o núcleo pode ser descrito por um modelo de camadas similar ao modelo de camadas atômico. No entanto existem diferenças: No caso atômico, o potencial que atua nos elétrons é um potencial externo. No caso nuclear, os nucleons estão sujeitos a um potencial que eles mesmo criam. No caso atômico, os elétrons se movimentam em camadas quantizadas que podem ser interpretadas como órbitas espaciais. Já no caso de um núcleo atômico, compactado, é difícil imaginar camadas orbitais onde os nucleons estariam se movimentando dentro de um núcleo. F887 Física Nuclear, Aula 08

Etapas que vamos tomar para a determinação do modelo nuclear: Supomos que os nucleons se movem dentro do núcleo sem interagir (como no modelo do gás de Fermi), ou seja, tratamos o problema como se fossem partículas independentes. A escolha natural a se fazer de início é escolher entre os potenciais conhecidos do poço de potencial finito, oscilador harmônico e o potencial de Woods-Saxon. Resolvemos a equação de Schrödinger e obtemos os auto-estados. Utilizando o princípio de Pauli, vamos preencher cada estado (nível) com nucleons. Agora vamos buscar os números mágicos. F887 Física Nuclear, Aula 08

Exemplo : Casos unidimensionais!! OSC. HARMÔNICO QUADRADO Exemplo : Casos unidimensionais!! F887 Física Nuclear, Aula 08

Poço esférico infinito tridimensional: A solução da equação de Schrödinger para um potencial V(r) com simetria esférica é obtida resolvendo as equações: Considerando que a parte angular é dada pelas funções conhecidas dos harmônicos esféricos, tudo que temos de fazer é resolver a parte radial, considerando V(r): F887 Física Nuclear, Aula 08

Poço esférico infinito tridimensional: Rℓ (r) é a solução da parte radial da equação radial de Schrödinger: Esta equação, para V(r)=0 possui soluções conhecidas: as chamadas funções de Bessel esféricas jℓ(kr) e as funções de Neumann esféricas nℓ(kr). Mas as funções de Neumann não são regulares na origem, e como as condições de contorno exigem que as soluções sejam finitas para qualquer valor de r, as únicas soluções aceitáveis são as funções de Bessel esféricas. F887 Física Nuclear, Aula 08

Poço esférico infinito tridimensional: As autofunções da equação radial de Schrödinger são dadas pelas soluções das funções esféricas de Bessel aplicando as condições de contorno em r=a: Esta condição exige que ka=, onde “a” é o raio do núcleo, e “” é um “zero” da função de Bessel. As funções de Bessel terão um “zero” para cada valor de “ℓ” e teremos diferentes autovalores de energia para diferentes valores de “n” e “ℓ” . F887 Física Nuclear, Aula 08

Sobre o número quântico n: n=1, ℓ = 0 corresponde ao primeiro zero da função de Bessel com ℓ = 0 ( estado 1s). n=2, ℓ = 0 corresponde ao segundo zero da função de Bessel com ℓ = 0 ( estado 2s). n=3, ℓ = 0 corresponde ao terceiro zero da função de Bessel com ℓ = 0 ( estado 3s). n=1, ℓ = 1 corresponde ao primeiro zero da função de Bessel com ℓ = 1 ( estado 1p). n=2, ℓ = 1 corresponde ao segundo zero da função de Bessel com ℓ = 1 ( estado 2p). e assim por diante.... F887 Física Nuclear, Aula 08

Degenerescência dos estados: Os autovalores de energia da equação de Schrödinger tridimensional serão caracterizados pelos números quânticos n e ℓ. Ou seja, os níveis de energia só dependem dos números quânticos n e ℓ. As soluções não dependem do número quântico mℓ. Portanto, aparece uma degenerescência de estados e para cada valor de ℓ, podem existir mℓ= -ℓ,-ℓ+1,..,0,.,ℓ+1, ℓ, portanto 2 ℓ +1 estados. Além disso, cada estado também terá dois estados de spin : ms=+1/2, -1/2. Portanto a degenerescência total será de 2(2ℓ +1) estados com o mesmo valor de energia. Ou seja, em cada estado de prótons (nível de energia) podemos colocar 2(2 ℓ +1) prótons e em cada estado de nêutrons, 2(2 ℓ +1) nêutrons. F887 Física Nuclear, Aula 08

Degenerescência dos estados: Momento angular orbital Número de prótons ou nêutrons no estado Número total de nucleons até este nível ℓ=0 s 2 ℓ=1 p 6 8 ℓ=2 d 10 18 ℓ=3 f 14 32 F887 Física Nuclear, Aula 08

Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!! ESFÉRICO Caso tridimensional! Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!! F887 Física Nuclear, Aula 08

Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!! ESFÉRICO OSC. HARMÔNICO Os números mágicos aparecem somente parcialmente!!! F887 Física Nuclear, Aula 08

n=2, ℓ=0 n=1, ℓ=2 n=1, ℓ=1 n=1, ℓ=0 COULOMB ESFÉRICO OSC. HARMÔNICO F887 Física Nuclear, Aula 08

Utilizando um potencial mais realista, o de Woods-Saxon: A utilização de um potencial tipo poço finito faz com que as funções de onda se estendam para fora de potencial, na região proibida, o que tem como efeito reduzir o valor da energia. Além disso, algumas degenerescências do oscilador harmônico são quebradas, mas os números mágicos ainda não aparecem!!! F887 Física Nuclear, Aula 08

Expressões para os potenciais : Tipo oscilador harmônico: Tipo Woods-Saxon (grande desvantagem: apenas solução numérica!) : F887 Física Nuclear, Aula 08

A solução do problema dos números mágicos F887 Física Nuclear, Aula 08

Interação Spin-Órbita. Como podemos modificar o potencial para obter os números mágicos observados experimentalmente? A solução se encontra na inclusão de uma interação do tipo spin-órbita L.S no potencial médio que descreve o núcleo. Neste caso, o momento angular L e o spin S se referem às grandezas do nucleon se movendo na órbita definida pelo potencial, como no caso do elétron se movendo em torno do núcleo. Para cada nucleon do núcleo, existirá uma interação L.S com cada um dos demais nucleons do núcleo. Assim sendo, o efeito médio da interação L.S em um nucleon no centro do núcleo será zero, pois o efeito causado por um nucleon em uma direção será anulado por um outro nucleon na direção oposta. Por este raciocínio, o efeito da interação L.S deve ser maior na superfície do núcleo, e portanto deve variar com o raio nuclear. Mayer, Haxel, Suess e Jensen em 1949. F887 Física Nuclear, Aula 08

Maria Goeppert-Mayer e Hans Jensen: PN Física 1963 F887 Física Nuclear, Aula 08

Observação: Ao contrário do que acontece no caso atômico, em que a interação spin-órbita é de origem eletromagnética e dá origem à estrutura fina, aqui estamos introduzindo uma interação spin-órbita de caráter nuclear, não eletromagnético, e o seu efeito é substancial, a ponto de inverter a ordem de alguns níveis! F887 Física Nuclear, Aula 08

e os valores de j serão dados por: A presença da interação L.S faz com que novamente consideremos o momento angular total dado por: Como o operador L.S comuta com J2, L2, Jz e S2, mas não comuta com Lz e nem com Sz, os números quânticos que irão descrever o nucleon são dados por: e os valores de j serão dados por: Quando ℓ=0 , a única solução possível é j=1/2, pois não existe a interação L.S. Mas para valores de ℓ>0, o potencial terá valores diferentes, e portanto, assim como no caso atômico, o acoplamento L.S irá resultar na quebra da degenerescência. Os autovalores do operador L.S são dados por: Exercício 8.1 do Williams F887 Física Nuclear, Aula 08

O que é este acoplamento spin-órbita? Quais são seus autovalores? Quebra a degenerescência que existia no momento angular. F887 Física Nuclear, Aula 08

Assim, a diferença entre os níveis será de: Quando o momento angular orbital (ℓ ≠0) estiver alinhado com o spin teremos: Quando o momento angular orbital (ℓ ≠0) estiver antiparalelo com o spin teremos: Assim, a diferença entre os níveis será de: F887 Física Nuclear, Aula 08

Quebra da degenerescência devido a interação L Quebra da degenerescência devido a interação L.S e o aparecimento dos números mágicos: Portanto, a inclusão do termo de interação spin-órbita no potencial do núcleo tem como conseqüência a adição de um termo extra no valor do nível de energia. Só que este termo varia se o acoplamento spin- órbita fôr paralelo: j=ℓ+1/2 ou antiparalelo: j=ℓ-1/2. F887 Física Nuclear, Aula 08

Quebra da degenerescência devido a interação L Quebra da degenerescência devido a interação L.S e o aparecimento dos números mágicos: Conseqüentemente, haverá o cruzamento entre certos níveis de energia. No estado p(3/2), cabem 4 nucleons, pois: mj=-3/2,-1/2,+1/2,+3/2. Ou seja, para cada j, existem (2j+1) estados. Observe que p(3/2) é preenchido antes do estado p(1/2). Para obter concordância com os dados experimentais, W(r) precisa ser negativo. Assim, o estado j=ℓ+1/2 tem energia menor do que o estado j=ℓ-1/2. F887 Física Nuclear, Aula 08

Os níveis de energia considerando a interação L.S F887 Física Nuclear, Aula 08

Os níveis de energia considerando a interação LS F887 Física Nuclear, Aula 08

Os níveis de energia considerando a interação LS F887 Física Nuclear, Aula 08

Os níveis de energia considerando a interação L.S F887 Física Nuclear, Aula 08

O diagrama de níveis de Mayer-Jensen (PrêmioNobel 1963) F887 Física Nuclear, Aula 08

Exercícios F887 Física Nuclear, Aula 08

Exercícios Descreva em linhas gerais o princípio do modelo de camadas. Discuta alguns exemplos que comprovam o modelo de camadas. Para quais casos a previsão do modelo de camadas não é tão boa? Por que os números mágicos nucleares não são os mesmos dos números mágicos atômicos? (8.1 do Williams) Determine os autovalores do operador de interação spin-órbita (L.S) e obtenha os valores médios de L.S para o caso do momento angular orbital paralelo e antiparalelo ao spin. Qual o conceito ou lei fundamental da física que é responsável pela existência dos números mágicos? Cite três propriedades peculiares a núcleos contendo números de prótons ou nêutrons iguais aos números mágicos. F887 Física Nuclear, Aula 08

Exercícios: Cite algumas características dos núcleos com Z ou N mágicos que estão evidenciadas no gráfico abaixo: F887 Física Nuclear, Aula 08

Para o oscilador harmônico 3D em coordenadas esféricas vale: com O número quântico n está relacionado ao número de zeros da função de onda radial! F887 Física Nuclear, Aula 08