Informática Teórica Aula 8 Por: Tarcisio Coutinho da Silva {tcs5}@cin.ufpe.br David Barros Hulak {dbh}@cin.ufpe.br

Linguagem Turing-Irreconhecível Teorema Uma linguagem é Turing-decidível se e somente se ela é Turing-reconhecível e co-Turing-reconhecível. AMT é irreconhecível Como AMT é reconhecível se seu complemento fosse reconhecível, AMT seria decidível, como não é então AMT é irreconhecível.

Redutibilidade: noções Uma redução de A para B é usar uma solução de B para resolver A. Problema da orientação na cidade: reduz-se a achar um mapa. Problema da área do retângulo: reduz-se a medir o comprimento e a largura.

Redutibilidade: decidibilidade A é redutível a B B é decidível -------------------- A é decidível A é redutível a B A não é decidível --------------------- B não é decidível Repare que B é no mínimo tão difícil de resolver quanto A

Redutibilidade: estratégia Se queremos provar que um problema A é indecidível - Encontre um problema B já comprovadamente indecidível - Mostre que decidindo A, decidiríamos B. - Ou seja, fazemos uma redução de B para A - Isso é uma contradição, pois B é indecidível.

Problemas Indecidíveis PARAMT = {⟨M, w⟩| M é uma MT e para sobre a w} VMT = {⟨M⟩| M é uma MT e L(M) = ∅} REGULARMT = {⟨M⟩| M é uma MT e L(M) é regular} EQMT = {⟨M1, M2⟩| M1 e M2 são MTs e L(M1) = L(M2)}

PARAMT = {⟨M, w⟩| M é uma MT e para sobre a w}

VMT VMT = {⟨M⟩| M é uma MT e L(M) = ∅} (!!!) A melhor dica para compreender essa prova é entender L(M1).

Redução via História de Computação Outra técnica de redutibilidade História de computação Conjunto de configurações para a qual a cadeia é aceita ou rejeitada Sequências finitas Usada na prova do 10º problema de Hilbert

Autômato Linearmente Limitado (ALL) Máquina de Turing com memória finita AALL = {⟨M, w⟩| M é um ALL que aceita a cadeia w} Há ALL decisores para AALL, AAFD, AGLC, VAFD e VGL Não há decisores para VALL, TODGLC

ALL: Lema Seja M um ALL com q estados e f símbolos no alfabeto da fita e comprimento de fita n. Há exatamente n * q * fn configurações distintas. <> A cabeça pode estar em qualquer uma das n posições <> M pode estar em q estados <> Cada símbolo da fita pode estar em n posições: f f f (...) f ----------- n vezes (princípio da contagem)

AALL AALL = {⟨M, w⟩| M é um ALL que aceita a cadeia w} é decidível

Problema da Correspondência de Post O objetivo é construir dominós a partir da cadeia de entrada e emparelharmos simulando a história de computação PCP é indecidível

Problema da Correspondência de Post Modificado (PCPM) Precisamos evitar que não ocorra movimento além da extremidade esquerda Se w = ε, utilizamos ⊔ no lugar de w Precisamos determinar o estado inicial (primeiro dominó) PCPM = { ⟨P⟩ | P é uma instância do PCP com um emparelhamento que começa com o primeiro dominó } PCPM é indecidível

PCPM Construção dos dominós de MT (Q, ∑, Γ, δ, qo, qaceita, qrejeita) Passo 1 Ponha como primeiro dominó Passo 2 Para toda função δ(q, a) =(r, b, D), que move para direita, crie o dominó Passo 3 Para toda função δ(q, a) =(r, b, E), que move para esquerda, crie o dominó

PCPM Passo 4 Passo 5 Passo 6 Passo 7 Para todo a ∈ Γ, crie o dominó Crie os dominós e , para emparelhar o fim da configuração Passo 6 Crie os dominós e , para eliminar os símbolos a fim de emparelhar as configurações Passo 7 Crie o dominó para fechar o emparelhamento.

Exercício Seja a MT M = ({q0, q1, qr, qa}, {a, b}, {a, b, ⊔}, δ, q0, qr, qa) com δ definida da seguinte forma: δ(q0, a) = (q0, ⊔, D) δ(q0, b) = (q1, ⊔, D) δ(q1, a) = (qr, ⊔, D) δ(q1, b) = (q1, ⊔, D) δ(q1, ⊔) = (qa, ⊔, D), Mostre o emparelhamento para a palavra aabb.

Função Computável Seja uma função f: ∑* → ∑* Se alguma M para sobre toda entrada w com somente f(w) na fita, dizemos que f é computável Exemplos: Todas as operações aritméticas são computáveis, pois podemos construir uma máquina que recebe a entrada <m, n> e retorna m + n. Podemos construir uma função que receba uma MT M como entrada e retorne essa máquina modificada M’

Redutibilidade por Mapeamento A linguagem A é redutível por mapeamento à linguagem B (A ≤m B) se existe uma função computável f: ∑* → ∑* tal que w ∈ A ⟺ f(w) ∈ B A função f é chamada redução de A para B. Se A ≤m B e B é decidível então A é decidível. Se A ≤m B e A é indecidível então B é indecidível. Se A ≤m B e B é reconhecível então A é reconhecível. Se A ≤m B e A é irreconhecíve então B é irreconhecível.

Se A ≤m B e B é decidível então A é decidível.

Se A ≤m B e A não é reconhecível, B também não é. A ≤m B é o mesmo que A’ ≤m B’ Sabemos que A’AMT não reconhecível. Para provar que uma linguagem B não é reconhecível, utilizamos: A’AMT ≤m B AAMT ≤m B’

EQMT não é Turing-reconhecível nem co-Turing reconhecível

EQMT

Prova 2010.2: algumas questões Dê o esboço da prova de que PCP é indecidível Dê o esboço da prova que VMT é indecidível Explique por que se A ≤m B e B é reconhecível, A é reconhecível

Referências Michael Sipser: Introduction to the Theory of Computation (2nd edition)

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