Lógica Proposicional Dedução Natural

Conseqüência lógica Definição informal: Definição formal: Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira. Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses b, H é conseqüência lógica de b num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de b

Notação de Conseqüência Lógica e Teorema Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses b={H1,H2,...Hn}, diz-se que: b├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses ├ H

Cálculo Proposicional Cálculo = Lógica + Sistema de Prova (ou dedução) Um sistema de prova serve para analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.

Sistema de dedução natural Alfabeto da Lógica Proposicional Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional Conjunto de regras de dedução (ou regras de inferência)

Regras de inferência de dedução natural Servem para inserção e retirada de conectivos lógicos, criando derivações Regras de Introdução Regras de Eliminação Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.

Regras de inferência - conjunção Introdução da conjunção (^I): H G -> derivação H^G Eliminação da conjunção (^E): H^G H^G H G

Prova Dados H uma fórmula e b um conjunto de fórmulas (hipóteses) Uma prova de H a partir de b é uma derivação onde As regras de inferência são aplicadas tendo como premissas fórmulas de b A última fórmula da derivação é H

Exemplo de prova P ^ Q, R |- Q ^ R P ^ Q (Premissa) Q (^E) R (Premissa) Q^R (^I) Exercícios: (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S P^Q |- Q^P (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)

Regras da Dedução Natural - implicação Eliminação da implicação - modus ponens (E) H H  G G Introdução da implicação (I) [H] (hipótese eliminada) | G . H  G

Exemplo de eliminação da implicação P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) P^Q P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)

Exemplo de introdução da implicação ├ (P ((PQ)Q) Supor os antecedentes Eles não poderão ser usados depois [P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E) (PQ)Q) (I) (P ((PQ)Q) (I)

Exercício ├ (P(Q P)) ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))

Exercícios 1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P 2. {P  (Q R), PQ, P} |- R 3. {P (P  Q), P} |- Q

Regras da Dedução Natural - disjunção Introdução da disjunção (vI) H G . HvG HvG Eliminação da disjunção (vE) [H] [G] (hipóteses) D1 D2 HvG E E E

Exemplo de Eliminação da disjunção {PvQ,Q,P} |- false PvQ . [P] P (prem.) [Q] Q (prem.) false false false

Regras da Dedução Natural - negação De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa [H] (I) [H] (E ou RAA) | | false false reductio ad H H absurdum Exercícios: HH e H H

Exercício Mostre que o seguintes argumento é válido: Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.

Solução Identificando as Sentenças: Formalizando: P: as premissas deste argumento são verdadeiras. S: este argumento é correto. V: este argumento é válido. Formalizando: {(S ^ V)  P, P, V} ├ S

Exercício Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!

Quando tudo o mais falhar EFQ: ex falso quodlibet ou regra da contradição Podemos estar loucos, então qualquer literal é aceitável! false H

Prova de EFQ {P, P} ├ Q Q . P P (prem.) false Q (E)

Exemplo Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q

Lógicas clássicas Lógica minimal: {^v} x {IE} Lógica intuicionista = Lógica minimal U EFQ

Exercícios {P (QR), P, Q} |= R {P  Q, P} |= Q {P  (Q ^ R), P} |= P ^ Q {(P ^ Q)  (R ^ S), P, Q} |= S {AB, C(DvE), DC, AE} |= (C  B) {Cv(B  A), A  R, (B  R)  S} |= (C  S)