DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Tema: Álgebra

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Multiplicidade da raiz de um polinómio Definição Dado um polinómio 𝑃(𝑥) e uma raiz 𝛼 de 𝑃(𝑥), a “multiplicidade de 𝛼” é o maior número natural 𝑘, tal que 𝑃 𝑥 = 𝑥−𝛼 𝑘 ×𝑄(𝑥), para algum polinómio 𝑄(𝑥), com 𝑄(𝑥)≠0. Se a multiplicidade de 𝛼 for igual a 1, dizemos que 𝛼 é uma “raiz simples” do polinómio 𝑃(𝑥).

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 29 1 é raiz dos polinómios 𝐴 𝑥 = 𝑥−1 𝑥−3 = 𝑥 2 −4𝑥+3 𝐵 𝑥 = 𝑥−1 𝐴 𝑥 = 𝑥 3 −5𝑥 2 +7𝑥−3 𝐶 𝑥 = 𝑥−1 𝐵 𝑥 = 𝑥 4 −6𝑥 3 +12𝑥 2 −10𝑥+3 D 𝑥 =2𝐶 𝑥 = 2 𝑥 4 −12 𝑥 3 +24𝑥 2 −20𝑥+6 Repara que: 1 é raiz simples (ou de multiplicidade 1) de 𝐴(𝑥). Como 𝐵(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥−1)(𝑥−3)= 𝑥−1 2 (𝑥−3), 1 é raiz dupla (ou de multiplicidade de 2) de 𝐵(𝑥). Como 𝐶 𝑥 = 𝑥−1 3 (𝑥−3), 1 é raiz tripla (ou de multiplicidade de 3) de 𝐶(𝑥). Como 𝐷 𝑥 =2 𝑥−1 3 (𝑥−3), 1 é raiz tripla (ou de multiplicidade de 3) de 𝐷(𝑥).

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Fatorização de um polinómio Sejam 𝛼 1 , 𝛼 2 , …, 𝛼 𝑘 as raízes do polinómio 𝑃(𝑥) de grau 𝑛∈ℕ e 𝑛 1 , 𝑛 2 , …, 𝑛 𝑘 ≤𝑛 e existe um único polinómio sem raízes 𝑄(𝑥) tal que 𝑃 𝑥 = 𝑥− 𝛼 1 𝑛 1 × 𝑥− 𝛼 2 𝑛 2 ×…× 𝑥− 𝛼 𝑘 𝑛 𝑘 ×𝑄(𝑥) O polinómio 𝑄(𝑥) tem grau zero se e só se 𝑛 1 + 𝑛 2 + …+ 𝑛 𝑘 =𝑛 Propriedade 14

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 30 1, −2 e 3 são raízes do polinómio 𝐴 𝑥 = 𝑥−1 𝑥+2 𝑥−3 𝑥 2 +1 = 𝑥 5 −2 𝑥 4 −4 𝑥 3 +4 𝑥 2 −5𝑥+6 No caso de 𝐴(𝑥), repara que 𝑥 2 +1 é um polinómio de grau 2 e que não tem raízes reais, pois 𝑥 2 +1=0 (𝑥 2 +1=0⟺ 𝑥 2 =−1) é uma equação impossível em ℝ. Então, 𝐴(𝑥) é um polinómio de grau 1+1+1+2= 5, sendo 1,− 2 e 3 as suas raízes, todas de multiplicidade 1.

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 30 (continuação) 1, −2 e 3 são raízes do polinómio 𝐵 𝑥 = 𝑥−1 2 𝑥+2 𝑥−3 = 𝑥 4 −3 𝑥 3 −3 𝑥 2 +11𝑥−6 No caso de 𝐵(𝑥), temos 𝑄 𝑥 =1 de grau 0 e sem raízes, sendo então 𝐵 𝑥 = 𝑥−1 2 𝑥+2 𝑥−3 𝑄(𝑥). Então, 𝐵(𝑥) é um polinómio de grau 2+1+1+0=4, sendo 1,− 2 e 3 as suas raízes, todas de multiplicidade 2, 1 e 1 (respetivamente) .

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 30 (continuação) 1, −2 e 3 são raízes do polinómio 𝐶 𝑥 =3 𝑥−1 2 𝑥+2 𝑥−3 = 3𝑥 4 −9𝑥 3 −9𝑥 2 +33𝑥−18 No caso de 𝐶(𝑥), temos 𝑄 𝑥 =3 de grau 0 e sem raízes, sendo então 𝐶 𝑥 = 𝑥−1 2 𝑥+2 𝑥−3 𝑄 𝑥 . Então, 𝐶(𝑥) é um polinómio de grau 0+2+1+1=4, sendo 1,− 2 e 3 as suas raízes, todas de multiplicidade 2, 1 e 1 (respetivamente) .

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 31 Sabendo que 𝛼=2 é raiz do polinómio 𝐴 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 −8𝑥+12, vamos decompor 𝐴 𝑥 num produto de polinómios do 1.° grau. Podemos então dividir 𝐴 𝑥 por 𝑥−2 aplicando a Regra de Ruffini: 1 −1 −8 12 𝐴 𝑥 =(𝑥−2)×𝑄(𝑥) 2 2 2 −12 𝐴 𝑥 =(𝑥−2)× 𝑥 2 +𝑥−6 1 1 −6

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 31 (continuação) Como 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 +𝑥−6 é um polinómio de grau 2, podemos procurar as suas raízes utilizando a fórmula resolvente na equação 𝑄(𝑥)=0. Assim: 𝑥 2 +𝑥−6=0⟺ ⟺𝑥= −1± 1 2 −4×1× −6 2×1 ⟺ ⟺𝑥= −1± 1+24 2 ⟺ ⟺𝑥= −1±5 2 ⟺ ⟺𝑥=2∨𝑥=−3

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 31 (continuação) Sabendo que 𝛼=2 é raiz do polinómio 𝐴 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 3 −8𝑥+12, Como 2 e −3 são as raízes de 𝑄(𝑥), podemos escrever que 𝑄(𝑥)=(𝑥 − 2) (𝑥 + 3). Como, 𝐴 𝑥 =(𝑥−2)×𝑄(𝑥) Então, 𝐴(𝑥)=(𝑥−2) ×(𝑥−2) ×(𝑥 + 3), sendo todos estes polinómios do 1.° grau e 𝐴 𝑥 = 𝑥−2 2 × 𝑥 + 3 . A raiz 2 tem multiplicidade 2 e − 3 é um zero de multiplicidade 1, ou seja, é uma raiz simples.

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 32 Sendo 𝑘 um número real diferente de zero. Consideremos que o polinómio 𝐴 𝑥 =𝑘× 𝑥+1 3 × 𝑥+5 2 × 𝑥−3 admite −1 como raiz de multiplicidade 3, −5 como raiz de multiplicidade 2 e 3 como raiz simples ou de multiplicidade 1. O polinómio 𝐵 𝑥 =𝑘× 𝑥+1 2 × 𝑥+5 × 𝑥−5 × 𝑥 2 +1 tem grau 6 e admite 3 raízes: −1 como raiz de multiplicidade 2 e −5 e 5, como raízes de multiplicidade 1 (ou raízes simples).

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Dado um polinómio 𝑃(𝑥) de coeficientes inteiros, o seu termo de grau zero é múltiplo inteiro de qualquer raiz inteira de 𝑃(𝑥). Propriedade 15 Exemplo 33 Seja 𝑃 𝑥 = 𝑥−1 𝑥+2 𝑥−3 = 𝑥 3 −2 𝑥 2 −5𝑥+6. Repara que 𝑃 𝑥 é divisível por 𝑥−1, 𝑥+2 e 𝑥−3, pelo que 1, −2 e 3 são suas raízes. Repara também que o termo de grau zero é 6 e 6 é múltiplo de 1, −2 e 3: 6=6×1 6=−3×(−2) 6=2×3

DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS ÁLGEBRA DIVISÃO INTEIRA DE POLINÓMIOS Exemplo 34 O termo de grau zero de 𝐴 𝑥 = 𝑥 3 −3𝑥−2 é −2. Os divisores inteiros de −2 são 1, −1, 2 e −2. Para verificarmos se os números −1, 1, −2, 2 são raízes de 𝐴 𝑥 só precisamos de calcular 𝐴 𝛼 para 𝛼∈ −1, 1, −2, 2 . 𝐴 −1 = −1 3 −3× −1 −2=−1+3−2=0 𝐴 1 = 1 3 −3×1−2=1−3−2=−4≠0 𝐴 −2 = −2 3 −3× −2 −2=−8+6−2=−4≠0 𝐴 2 = 2 3 −3×2−2=8−6−2=0 Portanto, as raízes inteiras de 𝐴 2 são −1 e 2.