© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 1 Capítulo 16 Limites

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 2 Objetivos de aprendizagem  Velocidade média e velocidade instantânea.  Distância com velocidade variável.  Limites no infinito.  Propriedades dos limites.  Limites de funções contínuas.  Limites unilaterais e bilaterais.  Limites envolvendo o infinito.

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 3 Velocidade média e velocidade instantânea  Velocidade média é o valor da variação da posição de um objeto (ou dizemos “variação do espaço percorrido”) dividido pelo valor da variação do tempo.  Uma bola rola uma distância de 16 pés em 4 segundos. Qual é a velocidade instantânea da bola no instante de tempo 3 segundos depois de ter começado a rolar?  Note como é fácil achar a velocidade média:

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 4 Velocidade média e velocidade instantânea  Agora, note como a nossa álgebra se torna inadequada quando tentamos aplicar a mesma fórmula para a velocidade instantânea:  Ela envolve divisão por zero e é, portanto, indefinida.  Assim Galileu fez o melhor que pôde para tornar t o menor possível experimentalmente, medindo os valores pequenos de s, e então encontrando os quocientes.  Isto é apenas a velocidade instantânea aproximada.

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 5 Limites no infinito Limite no infinito (informal)  Quando escrevemos, queremos dizer que f(x) aproxima-se de L à medida que x se torna arbitrariamente grande. Definição (informal) de limite em a  Quando escrevemos, queremos dizer que f(x) aproxima-se de L à medida que x aproxima-se arbitrariamente (mas não se iguala) a a.

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 6 Propriedades de limites Limite no infinito (informal)  Se tanto como, existem, então: 1.Regra da soma 2.Regra da diferença 3.Regra do produto 4.Regra do múltiplo constante

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 7 Propriedades de limites Limite no infinito (informal) 5.Regra do quociente 6.Regra da potência 7.Regra da raiz

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 8 Limites de funções contínuas  Considerando que uma função é contínua em a, se, isso significa que o limite (em a) de uma função pode ser encontrado estabelecendo-se uma “ligação em a”, desde que a função seja contínua em a.  A condição de continuidade é essencial quando se aplica essa estratégia. Limites unilaterais e bilaterais  O limite de f à medida que x se aproxima de c a partir da esquerda é o limite do lado esquerdo de f em c.

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 9 Limites unilaterais e bilaterais  Ao passo que o limite de f quando x se aproxima de c a partir da direita é o limite do lado direito de f em c.  A notação que usamos é esta:  Lado esquerdo:  Lado direito:  Algumas vezes, os valores de uma função f podem se aproximar de valores diferentes quando x se aproxima de c de lados opostos.

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 10 Limites unilaterais e bilaterais  O limite pode ser chamado limite bilateral, ou apenas o limite de f em c para distingui-lo dos limites unilaterais à esquerda e à direita de f em c. TEOREMA Limites unilateral e bilateral  A função f(x) tem um limite à medida que x se aproxima de c, se, e somente se, os limites à esquerda e à direita em c existem e são iguais. Isto é,

© 2013 Pearson. Todos os direitos reservados.slide 11 Limites envolvendo o infinito  Quando escrevemos, queremos dizer que f(x) se aproxima de L à medida que x se torna arbitrariamente grande.  Dizemos que f tem um limite L à medida que x se aproxima de ∞.  Quando escrevemos, queremos dizer que f(x) se aproxima de L à medida que -x se torna arbitrariamente grande.  Dizemos que f tem um limite L à medida que x se aproxima de -∞.