ME623A Planejamento e Pesquisa

Comparações Múltiplas Na Análise de Variância, realizamos o teste F para verificar a igualdade de todas as médias dos tratamentos Suponha que H0 é rejeitada, ou seja, existe diferença entre as médias. Mas a partir desse teste não sabemos dizer exatamente quais médias diferem Para isso, utilizamos os chamados Métodos de Comparações Múltiplas Estes fazem comparações entre pares médias de tratamentos ou combinações lineares das médias

Comparações de Pares de Médias Suponha que queremos testar todas as possíveis combinações de pares de médias: E por que não devemos usar testes t individuais de nível para fazer tais comparações? Existem procedimentos para fazer tais comparações controlando o nível de significância geral, que discutiremos nessa aula

Teste de Tukey Tukey (1953) propôs um procedimento para comparar todos os a(a – 1)/2 possíveis pares de médias Nível de significância geral: exatamente α (balanceado) no máximo α (não balanceado) Quando pode ser aplicado, esse procedimento produz intervalos de confiança mais estreitos que qualquer outro teste de comparação das médias

Teste de Tukey Baseado na distribuição da amplitude studentizada onde e são a maior e menor média dos tratamentos, respectivamente Regra de decisão: duas médias μi e μj são significati- vamente diferentes se sendo Tabela VIII do Apêndice do livro contém os valores de

Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética) Temos a = 5 tratamentos. Para α=0.05, temos Então, a diferença é significativa se excede 5.37

Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética) No R > tTukey <- TukeyHSD(aov(Obs ~ factor(Algodao), data=dados)) diff lwr upr p adj 20-15 5.6 0.2270417 10.9729583 0.0385024 25-15 7.8 2.4270417 13.1729583 0.0025948 30-15 11.8 6.4270417 17.1729583 0.0000190 35-15 1.0 -4.3729583 6.3729583 0.9797709 25-20 2.2 -3.1729583 7.5729583 0.7372438 30-20 6.2 0.8270417 11.5729583 0.0188936 35-30 -10.8 -16.1729583 -5.4270417 0.0000624

Teste de Tukey (Exemplo da fibra sintética) No R > plot(tTukey, sub="Tukey’s Test", las=1)

Least Significance Difference (LSD) de Fisher Se o teste F da ANOVA é significante a um nível α, cada par de média é então testado por um teste t de nível α Desvantagem: controla apenas o nível α de cada teste, mas não controla o nível de significância geral Regra de decisão: duas médias μi e μj são significativa- mente diferentes se sendo

Teste LSD (Exemplo da fibra sintética) Com a = 5 tratamentos e α=0.05, temos Então, a diferença é significativa se excede 3.75 Representação gráfica dos resultados

Teste de Dunnett Comparando Médias a um Controle Suponha que o tratamento a é o controle e então iremos testar Para cada hipótese, calculamos a diferença: Rejeitamos H0 se em que é dado pela Tabela IX α é o nível de significância conjunto dos a – 1 testes

Teste de Dunnett (Exemplo Ansiedade) Nesse exemplo temos a=3 tratamentos, sendo um placebo (0mg) e duas dosagens (50mg e 100mg) Lembrem-se que: Calculamos e Ambas dosagens diferem significativamente do placebo

Contrastes Muitos métodos de comparações múltiplas usam a idéia de contrastes No exemplo da fibra sintética, a engenheira suspeita que a resistência aumenta com a % de algodão. Então podemos, por exemplo, comparar os níveis extremos: ou de forma equivalente,

Contrastes Contraste é uma combinação linear de parâmetros: onde a soma das constantes é 0, ou seja, As hipóteses a serem testadas são expressas em termos dos contrastes: ou

Contrastes No exemplo da fibra sintética para testar se as constantes do contraste são Testar hipóteses envolvendo contrastes pode ser feito de duas maneiras: Teste t Teste F

Contrastes Suponha que o contraste de interesse seja Substituindo a média populacional dos tratamentos pelas médias amostrais, temos A média e variância de C são:

Testando Contrastes – Test t Hipóteses: Se H0 é verdadeira e usando MSE para estimar σ2 Calcula-se o p-valor = Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma equivalente, se

Intervalo de Confiança para o Contraste Assim como construímos IC para a diferença entre duas médias, temos também IC para o contraste Um IC de nível 100(1 – α)% para o contraste Γ é Relação com o teste de hipótese: Se o IC contém zero, então não temos evidência para rejeitar H0

Testando Contrastes – Test F Hipóteses: Tomando-se o quadrado da estatística t0 anterior, temos a estatística F0 Calcula-se o p-valor = Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma equivalente, se

Testando Contrastes – Test F Defina a Soma de Quadrados do Contraste (SSC): com um grau de liberdade Então, podemos reescrever a estatística F0 como

Contrastes no Caso Não Balanceado Quando o número de replicações é diferente para cada tratamento, pequenas modificações são feitas nos resultados anteriores A definição de contraste para esse caso requer que Por exemplo, a estatística t0 e a SSC tornam-se:

Contrastes Ortogonais Dois contrastes com coeficientes {ci} e {di} são ortogonais se Quando temos a tratamentos, sempre existe um conjunto de a – 1 contrastes ortogonais que particiona SSA em componentes com 1 gl Então, testes em contrastes ortogonais são independentes Existem várias formas para escolher os coeficientes destes contrastes. A natureza do experimento sugere quais comparações devem ser de interesse

Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade) Voltando ao exemplo da ansiedade Veja que os contrastes com ci = −2, 1, 1 e di = 0, −1, 1 são ortogonais Contraste 1 com coeficientes ci = −2, 1, 1 Contraste 2 com coeficientes di = 0, −1, 1 Tratamento Dosagem (mg) Coeficientes para Contrastes Ortogonais 0 (placebo) −2 50 (nível 1) 1 −1 100 (nível 2)

Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade) Vamos calcular as SSC Faça o teste F para cada contraste Escreva os resultados na tabela ANOVA

Testando Contrastes (Exemplo Ansiedade) Calculando o valor dos contrastes e suas SS: Na Tabela ANOVA Contrastes C1 e C2 são significativos