TEORIA DA PARTILHA EQUILIBRADA Ana Isabel Cebola Inês Silva Liliana Nogueira Raquel Santos

Estes são métodos de partilha justa. Caso Contínuo: O objecto em causa pode ser dividido em partes, por exemplo, o tempo, a terra, o dinheiro, a areia, um bolo ou uma pizza. Método do Divisor Selector Método do Divisor Único Método do Selector Único Método do Último a Diminuir Método da Faca Deslizante Estes são métodos de partilha justa.

No geral, um problema de divisão justa consiste em n indivíduos, chamados jogadores, a quem nós fazemos corresponder os números 1, 2, …, i, …, n-1, n. Eles devem dividir um conjunto S de ganhos (ou perdas) em n partes distintas S1, S2, …, Si, …, Sn-1, Sn. O objectivo é encontrar subconjuntos Si tais que cada pessoa i considere a sua parte recebida (Si) justa no seu sistema de valores pessoal.

Hmm… Deve haver uma maneira melhor de dividir um bolo…? É meu! É meu!

Método do Divisor-Selector A técnica para dividir um objecto S de uma maneira justa entre dois jogadores 1 e 2 é “um corta, o outro escolhe”: O jogador 1 divide o conjunto S em duas partes, S1 e S2; O jogador 2 escolhe uma das peças, S1 ou S2; O jogador 1 fica com a parte não escolhida pelo jogador 2. É comum lançar uma moeda ao ar no início para decidir qual dos jogadores será o cortador.

A Rita não tem qualquer preferência entre os sabores Exemplo: A Rita e a Sofia querem dividir um bolo de chocolate e amêndoa. A Rita não tem qualquer preferência entre os sabores enquanto que a Sofia prefere a amêndoa ao chocolate. Nem uma nem outra conhecem as preferencias da outra. Rita Sofia

Pode funcionar para potências de base 2. Após o lançamento da moeda ao ar, coube à Rita o papel de cortador. A Sofia escolheu a parte que tinha mais amêndoa. No final, ambos obtêm uma parte que para eles equivale a pelo menos metade do bolo. Importa ainda referir que, como se observa neste exemplo, não interessa se as parcelas são exactamente iguais ou não, mas sim o que cada uma significa para quem a recebe. Ou seja, as parcelas não necessitam de ser simétricas. Note que… Se fosse a Sofia a cortar, provavelmente, a divisão não seria a mesma. Pode funcionar para potências de base 2.

Método do Divisor Único 1ª etapa – DIVISÃO: O divisor corta a pizza em três partes. A divisão é racional apenas se cada parte tiver igual valor para o divisor; 2ª etapa – DECLARAÇÕES: Cada selector declara quais as partes que considera aceitáveis; Est metodo e 1 extensão do metodo do divisor selector 3ª etapa – DISTRIBUIÇÃO: Depende da escolha feita na 2ª etapa

Caso 1: O selector 1 declara mais do que uma parte aceitável. O selector 2 fica com a parte que escolheu, independentemente da escolha do selector 1. O selector 1 fica com uma das partes que escolheu. O divisor fica com a parte que sobrou.

Caso 2: Ambos os selectores declaram uma só parte distinta. Cada selector fica com a parte que escolheu e o divisor fica com a restante.

Caso 3: Ambos os selectores declaram a mesma parte. O divisor escolhe uma das partes que os selectores não escolheram. Para dividir, as duas partes que restam, pelos selectores utiliza-se o método do Divisor-Selector. Podemos facilmente estender este método a mais jogadores, se necessário.

Método do Selector Único Passo 1: PRIMEIRA DIVISÃO – Os dois divisores cortam o bolo pelo Método do Divisor-Selector. Passo 2: SEGUNDA DIVISÃO – Cada divisor divide agora a sua parte em três porções que considera de igual valor. Passo 3: SELECÇÃO – O selector escolhe uma parte de cada um dos divisores, e cada divisor fica com o que restou da sua parte.

Exemplo: O Afonso, a Lara e a Diana querem dividir um bolo de laranja e ananás que custou 27€. O Afonso não tem qualquer preferência de sabores. A Lara detesta ananás. A Diana prefere duas vezes mais ananás do que laranja.

Por sorteio vai ser a Diana a selectora e o Afonso vai ser o primeiro a dividir por não ter preferências. A Lara, a outra divisora, escolhe dividir a parte do bolo com mais laranja.

A Diana escolhe, retirando uma parte a cada um dos outros dois. Afonso Lara Cada um dos divisores corta a sua parte em três porções que considere igualmente valiosas. A Diana escolhe, retirando uma parte a cada um dos outros dois.

Afonso Lara Diana No final da divisão cada um deles obtém uma parte que equivale a pelo menos 1/3 do valor total do bolo. Conclusão: O que é importante é o valor e não o tamanho de cada parcela, para quem a recebe.

Método do Último a Diminuir Todos os participantes são simultaneamente divisores e selectores; Estipula-se inicialmente a ordem dos cortadores; Vejamos como este método funciona para três amigos (o Luís, a Sara e a Vera) que querem dividir um bolo de ananás. Uma abordagem do genero de “divisao e escolha” de casos de n participantes é chamada o metodo do ultimo a diminuir. Em que a ordem de corte é Luís – Sara – Vera.

Vera Luís Sara Luís Vera Sara Luís Luís Vera Sara Sara Vera Sara Vera O Luís corta uma parte (sombreada) do bolo que ele considera ser 1/3. Será que a Sara pensa que a parte sombreada é mais do que 1/3? Não Sim Será que a Vera pensa que a parte sombreada é mais do que 1/3? A Sara corta a parte sombreada de modo a que a fatia quadriculada seja, do seu ponto de vista, 1/3. Não Sim O Luís tira a parte sombreada; a Sara corta outra fatia; a Vera escolhe. A Vera tira a parte sombreada; a Sara corta outra fatia; o Luís escolhe. Vera Será que a Vera pensa que a quadriculada é 1/3 ou mais? Luís Sara Luís Os últimos dois jogadores podem continuar da mesma maneira ou decidir usar o método do divisor selector; Vera Sim Sara Não A Vera pega numa parte quadriculada; a Sara corta a outra em dois bocados; o Luís escolhe. A Sara pega numa parte quadriculada; a Vera corta a outra em dois bocados; o Luís escolhe. Luís Vera Sara Luís Sara Vera Sara Luís Vera Luís

Método da Faca Deslizante A faca move-se contínua e lentamente sobre a porção do bolo; Qualquer uma das pessoas pode dizer “pára” a qualquer momento; A parte que é então cortada pertence à pessoa que disse “pára”; As outras pessoas repetem o processo com a restante porção de bolo.

Divisão proporcional: Caso Discreto: Os objectos não podem ser divididos em partes arbitrariamente pequenas de nenhuma maneira. Partilha justa: Exemplos: casas, carros, cd’s, chocolates,… Uma abordagem neste caso é tentar atribuir valores numéricos, quantias em euros, aos objectos e depois dividir o total em partes justas. A abordagem final pode pois ser alcançada atribuindo os valores numéricos ou os próprios objectos . Divisão proporcional: Exemplos: distribuição de lugares numa assembleia Distribuição de lugares em função do número de pessoas de cada estado.

Os vários métodos… Partilha justa Divisão proporcional Método das licitações secretas Partilha justa Método dos marcadores Método de Hamilton Método de Jefferson Divisão proporcional Método de Adams Método de Webster-Willcox Método de Huntington-Hill

SERÁ ESTA A MELHOR FORMA DE DIVIDIR BENS?

Método das licitações secretas 1ª etapa: LICITAÇÃO – Cada herdeiro atribui um valor monetário a cada bem da herança, colocando o valor da sua licitação dentro de um envelope fechado. Ana Raquel Inês Liliana € 120 000 € 200 000 € 40 000 € 24 000 € 140 000 € 180 000 Antigo e muito usado, especialmente por advogados € 60 000 € 90 000 € 50 000 € 30 000 € 20 000 € 20 000

2ª etapa: DISTRIBUIÇÃO – Cada bem é entregue ao herdeiro que lhe atribuiu maior valor monetário. Se o valor atribuído a cada bem for superior/inferior à divisão justa, então o herdeiro terá de pagar/receber a diferença. Ana Raquel Inês Liliana € 120 000 € 200 000 € 140 000 € 180 000 € 60 000 € 40 000 € 90 000 € 50 000 Soma das ofertas Porção justa Objecto atribuído Diferença € 30 000 € 24 000 € 20 000 € 20 000 € 210 000 € 264 000 € 250 000 € 250 000 € 52 500 € 66 000 € 62 500 € 62 500 Soma / nº herdeiros € 22 500 €(-) 134 000 € (-) 27 500 € 62 500 Porção justa - oferta

3ª etapa: EXCESSO – Existe quase sempre dinheiro em excesso, que deve ser dividido igualmente pelos herdeiros. Ana Raquel Inês Liliana € 120 000 € 200 000 € 140 000 € 180 000 € 60 000 € 40 000 € 90 000 € 50 000 € 30 000 € 24 000 € 20 000 Soma das ofertas € 210 000 € 264 000 € 250 000 Porção justa € 52 500 € 66 000 € 62 500 Objecto atribuído Diferença € 22 500 € (-) 134 000 € (-) 27 500 Excesso total Divisão do excesso Distribuição final Um resultado positivo significa que o jogador recebe o dinheiro, enquanto que um resultado negativo significa que o jogador paga o dinheiro € 76 500 € 19 125 € 19 125 € 19 125 € 19 125 € 81 625 + € 41 625 - € 114 875 - € 8 375

Circunstâncias necessárias Cada herdeiro deve ter dinheiro suficiente para as suas licitações. Cada herdeiro deve aceitar dinheiro como um substituto de qualquer bem. É obrigatório que cada herdeiro, antes de licitar, não tenha nenhuma informação útil sobre as licitações dos outros herdeiros.

Método dos Marcadores Exemplo: Distribuição de 12 cd’s (numerados de 1 a 12) por três amigos (Francisco, Gonçalo e Pedro). 1ª etapa: Colocam-se os cd’s numerados, aleatoriamente, em linha; 12 11 10 9 8 7 1 6 5 3 4 2 F1 F2 2ª etapa: colocam-se os marcadores;

3ª etapa: Constrói-se uma tabela para colocar os segmentos efectuados por cada amigo; Francisco Gonçalo Pedro 1 2 -3 4 -12 1 - 5 6 - 10 11 - 12 1 - 3 4 - 9 10 - 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F1 F2

Neste exemplo, é o marcador do Francisco. 4ª etapa: Observa-se a linha da esquerda para a direita até se encontrar o primeiro marcador. 1 12 11 10 9 8 7 6 5 3 4 2 F 1 F2 Neste exemplo, é o marcador do Francisco. 5ª etapa: Este primeiro segmento é entregue ao Francisco e são retirados todos os seus marcadores;

6ª etapa: Procura-se agora o primeiro marcador do segundo segmento. 1 12 11 10 3 2 9 8 7 6 5 4 No nosso exemplo é o marcador do Pedro; 1 2 3 F G P 7ª etapa: Este segmento é entregue ao Pedro 2-3 e retiram-se os seus marcadores. 6-10 4-9

Este pertence ao Gonçalo pois é o único que resta. 8ª etapa: Encontra-se ainda um marcador pertencente ao terceiro segmento. 1 12 11 3 2 4 5 6 7 8 9 10 Este pertence ao Gonçalo pois é o único que resta. 1 2 3 F G P 4-12 É-lhe entregue então o último segmento; 11-12 10-12

Neste caso a ordem será Gonçalo – Francisco – Pedro Todos os amigos receberam cd’s. Contudo ainda sobram alguns. 10 3 2 Francisco Pedro Gonçalo Se houver + cd’s do q amigos usa-se novamente o método dos marcadores Como distribui-los?... Estipula-se aleatoriamente uma ordem entre os amigos. Cada um vai escolhendo um cd até acabarem. Neste caso a ordem será Gonçalo – Francisco – Pedro

Circunstâncias necessárias: Em Resumo: 12 11 10 9 8 7 1 6 5 3 4 2 Circunstâncias necessárias: Deve haver um número de cd’s superior ao número de amigos; Cada amigo deve poder dividir os cd’s em segmentos de valor igual.

Definições necessárias: Nº lugares Quociente eleitoral = Pop. Total Quota = Pop. de cada estado Quociente eleitoral Quota mínima é a aproximação da quota por defeito. Quota máxima é a aproximação da quota por excesso. Regra da quota: cada estado deve receber a sua quota mínima ou a sua quota máxima na distribuição final.

1º passo: Calcular a quota de cada círculo eleitoral; Método de Hamilton: 1º passo: Calcular a quota de cada círculo eleitoral; 2º passo: atribuir a cada círculo um número de lugares igual à parte inteira da quota (quota mínima); Embora o método de Hamilton não tenha sido o 1º a aparecer, vamos discuti-lo 1º pq ele é matematica/ mais simples. Tb é conhecido por metodo do maior resto ou metodo de vinton 3º passo: atribuir os lugares sobrantes, um a um, aos círculos com quota com maior parte decimal.

I ENCONTRO DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA Exemplo: Encontro de estudantes de Matemática 92,3 92 0,3 92 82,31 82 0,31 82 1,39 1 0,39 1º 2 175 176 100 Nº lugares Quociente eleitoral= Total O quociente eleitoral significa que uma universidade levará ao encontro um representante por cada 100 estudantes. Quota= Nº estudantes Quociente eleitoral A quota é o número exacto de representantes que cada faculdade deveria ter no encontro. Quota mínima é a aproximação da quota por defeito. I ENCONTRO DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA Parte decimal = quota – quota mínima

De facto, para uma só aplicação, este método é provavelmente o mais simples de usar. A única confusão que pode ocorrer é quando existem duas partes decimais iguais porque dificulta a atribuição de lugares. Neste caso, vai ser a universidade com quota mínima mais elevada que irá receber o lugar extra. Pode surgir alguma controvérsia se este método for aplicado repetidamente durante um certo período de tempo.

Falhas do Método de Hamilton Paradoxo dos Novos Estados Paradoxo da População A descoberta do paradoxo de Alabama em 1880 foi o golpe fatal no metodo de hamilton. Ironicamente,mais tarde, foram descobertas 2 outras deficiências graves no método Hamilton. Paradoxo de Alabama

Paradoxo de Alabama: Aumento no tamanho do corpo legislativo Perda de um representante de um estado individual

É necessário fazer uma nova distribuição dos lugares. Suponhamos que há um aumento do número de lugares de representantes no encontro de 176 para 177. É necessário fazer uma nova distribuição dos lugares. 92.82 92 0.82 1º 93 82.77 82 0.77 2º 83 1.40 1 0.40 1 175 177 99.44 Tinha 2 rep.

Paradoxo da População: Um estado X pode perder lugares para um estado Y mesmo que a população de X cresça muito mais do que a de Y

Exemplo: Núcleo de estudantes de Matemática da Universidade de Évora 10.929 10 0.929 1º 11 2.459 2 0.459 2 6.148 6 0.148 6 5.464 5 0.464 2º 6 23 25 36.6 Transferiram-se para esta universidade 20 alunos 10.695 10 0.695 1º 11 2.647 2 0.647 2º 3 6.106 6 0.106 6 5.642 5 0.642 5 Ganhou mais estudantes, mas perdeu um rep. 23 25 37.4

Paradoxo dos novos estados O aparecimento de um novo estado e um aumento do número de lugares pode afectar a divisão de lugares dos outros estados.

Contabilizando-se o ano de estágio… Tinha 2 rep. 10.821 10 0.821 1º 11 2.435 2 0.435 2º 3 6.087 6 0.087 6 5.411 5 0.411 5 3.246 3 0.246 3 Tinha 6 rep. 26 28 36.964

Isto é, satisfaz a REGRA DA QUOTA . A existência destes três paradoxos não significa que o método de Hamilton seja inválido ou incorrecto. Ao utilizar o método de Hamilton, cada estado recebe ou a sua quota mínima ou a sua quota máxima na distribuição final. Isto é, satisfaz a REGRA DA QUOTA . A maior fragilidade deste método surge no 3º passo. Seria bom eliminá-lo, modificando a quota, para que não haja lugares sobrantes. 3º passo= atribuir os lugares sobrantes,um a um, aos circulos com quota com maior parte decimal Assim, surge um novo método…

2º Passo: atribuir a cada círculo a sua quota mínima modificada. Método de Jefferson 1º passo: encontrar um quociente eleitoral (modificado) de modo que as quotas modificadas arredondadas, às unidades, por defeito (quotas mínimas modificadas) somem o número exacto de lugares; Este metodo pode ser resolvido por tentativas… 2º Passo: atribuir a cada círculo a sua quota mínima modificada.

Soma inferior 1ª tentativa: TENTATIVA FALHADA!!! Q. mod= Nº estudantes Q. modificado 1ª tentativa: 91.84 91 81.90 81 1.38 1 173 100 100.5 Soma inferior TENTATIVA FALHADA!!!

OUTRA TENTATIVA FALHADA!!! 93.23 93 83.14 83 1.40 1 177 100 99 Soma superior OUTRA TENTATIVA FALHADA!!!

3ª tentativa: 93.04 93 82.97 82 1.40 1 176 100 99.2 Consegui!!!

Será este quociente modificado único? 93.06 93 82.99 82 1.40 1 176 100 99.18 NÃO!!!

Outro modo de resolver sem ser por tentativas Este é o valor mais alto 92.3 92 93 94 99.247 98.191 1º 93 82.31 82 83 84 99.169 97.988 82 1.39 1 2 3 69.5 46.333 1 175 176 100 Olhar em simultaneo para as duas colunas do q. modificado, é o valor mais alto das duas. Este facto é polémico. Quota máxima = Quota mínima + 1 Quota modificada 1 = Nº Estudantes Quota mínima Nº Estudantes Quota máxima Quota modificada 2 =

Encontramos a perfeição? Este método tem uma falha. Por vezes, viola a regra da quota. O problema está na análise simultânea das duas colunas das quotas modificadas.

Neste exemplo é violada a REGRA DA QUOTA Exemplo: Simpósio de estudantes de Arquitectura da Universidade de Coimbra 1º lugar 2º lugar 39.36 39 40 41 8.200 8.000 39 166.56 166 167 168 8.311 8.262 1º 2º 168 3.6 3 4 5 7.500 6.000 3 50.4 50 51 52 8.235 8.077 50 16.32 16 17 18 8.000 7.556 16 23.76 23 24 25 8.250 7.920 3º 24 3º lugar 297 300 8.333 Falta distribuir 3 lugares Neste exemplo é violada a REGRA DA QUOTA

2ºPasso: atribuir a cada círculo a sua quota máxima modificada. Método de Adams 1º Passo: encontrar um quociente eleitoral (modificado) de modo que as quotas modificadas arredondadas, às unidades, por excesso (quotas máximas modificadas) somem o número exacto de lugares; Sem dúvida k adams pensou k fazendo isto escapava as violaçoes da cota, a grande fragilidade do metodo de jefferson. 2ºPasso: atribuir a cada círculo a sua quota máxima modificada.

Soma inferior TENTATIVA FALHADA!!! 1ª tentativa: 88.75 89 79.14 80 1.34 2 171 100 104 Soma inferior TENTATIVA FALHADA!!!

OUTRA TENTATIVA FALHADA!!! 93.23 94 83.14 84 1.4 2 180 100 99 Soma superior OUTRA TENTATIVA FALHADA!!!

3ª tentativa: 91.84 92 81.9 82 1.38 2 176 100 100.5 Consegui!!! No nosso exemplo, a regra da quota não foi violada. No entanto, este método viola esta regra. O problema começa na escolha do quociente modificado. Contudo, os exemplos são escassos pois este método nunca foi utilizado na prática.

Método de Webster-Willcox 1º Passo: encontrar um quociente eleitoral (modificado) de modo que as quotas modificadas arredondadas, às unidades, de modo convencional somem o número exacto de lugares; 2º Passo: atribuir a cada círculo a sua quota arredondada de modo convencional.

Soma inferior TENTATIVA FALHADA!!! 1ª tentativa: 91.39 91 81.50 82 1.38 1 174 100 101 Soma inferior TENTATIVA FALHADA!!!

OUTRA TENTATIVA FALHADA!!! 92.76 93 82.72 83 1.40 1 177 100 99.5 Soma superior OUTRA TENTATIVA FALHADA!!!

3ª tentativa: 92.50 93 82.49 82 1.39 1 176 100 99.78 Consegui!!!

Será este o método ideal? O problema que surge neste método é mais teórico do que prático, já que as violações da regra da quota são consideradas raras. Do ponto de vista prático este é considerado por muitos especialistas o melhor de todos os métodos de partilha.

Método de Huntington-Hill REGRA DE ARREDONDAMETO DE HUTINGTON-HILL Se a quota está entre L e L+1, o ponto de viragem é H = Lx(L+1) . Se a quota é inferior a H, arredonda-se por defeito, caso contrário, arredonda-se por excesso. 1º Passo: encontrar um quociente modificado tal que quando cada quota modificada é arredondada pela regra de Huntington-Hill, o total dos arredondamentos é exactamente o número de lugares a distribuir; 2º Passo: Atribuir a cada círculo a sua quota modificada arredondada pela regra de Huntington-Hill.

Soma inferior L = 88 H = Lx(L+1) TENTATIVA FALHADA!!! 1ª tentativa: 88.75 88.50 89 79.14 79.50 79 1.34 1.41 1 169 100 104 Soma inferior TENTATIVA FALHADA!!!

OUTRA TENTATIVA FALHADA!!! 92.76 92.50 93 82.72 82.50 83 1.40 1.41 1 177 100 99.5 Soma superior OUTRA TENTATIVA FALHADA!!!

Este exemplo não viola a regra da quota. 3ª tentativa: 92.50 92.50 93 82.49 82.50 82 1.39 1.41 1 176 100 99.78 Consegui!!! Este exemplo não viola a regra da quota.

Teorema da impossibilidade de Balinski e Young Qualquer método de partilha que não viole a regra da quota produz paradoxos e qualquer método de partilha que não produza paradoxos viola a regra da quota. nenhum metodo pode ser considerado melhor que os outros já que nenhum é perfeito.

Favorece universidades pequenas Favorece universidades grandes Viola a regra da quota 92.30 92 93 92 93 93 82.31 82 82 82 82 82 1.39 2 1 2 1 1 176 176 176 176 176 100 O metodo de hamilton e baseado no respeito pela quota enquanto os outros baseiam-se na filosofia d que as quotas podem ser convenientemente modificadas pela escolha de um quociente apropriado. Favorece universidades grandes Possui paradoxos

Caso Misto: É um combinação entre o caso contínuo e discreto, ou seja, existem objectos divisíveis e indivisíveis para distribuir. Como, por exemplo, no caso de uma herança em que haja para dividir uma casa, um piano e um terreno.

Aplicação no secundário: No curso geral de Ciências Sociais e Humanas e no curso tecnológico de Ordenamento de Território, vai-se introduzir no próximo ano lectivo uma nova disciplina designada por Matemática Aplicada às Ciências Sociais (MACS). É no capítulo dos Métodos de Apoio à Decisão do 10º ano que se estuda a Teoria da Partilha Equilibrada. Ainda não existem manuais para esta nova disciplina.

“Justiça” depende de quem a define…

FIM