Modelagem de misturas. Modelos cúbicos para três componentes  O modelo quadrático geralmente reproduz satisfatoriamente os valores das respostas nos.

Apresentação em tema: "Modelagem de misturas. Modelos cúbicos para três componentes  O modelo quadrático geralmente reproduz satisfatoriamente os valores das respostas nos."— Transcrição da apresentação:

1 Modelagem de misturas

2 Modelos cúbicos para três componentes  O modelo quadrático geralmente reproduz satisfatoriamente os valores das respostas nos vértices e nas arestas do triângulo de concentrações. (componentes puros e suas misturas binárias)  Entretanto, modelos que tem termos cúbicos podem ser importantes para descrever a mistura nos pontos do interior do triângulo.

3  A dedução da equação do modelo cúbico completo, estabelece uma equação com 10 termos (logo teríamos que realizar experimentos em mais quatro pontos)  Entretanto podemos em algumas situações descrever a região experimental com a adição de um único ponto.  Um ponto central correspondendo a mistura ternária em partes iguais.  O planejamento é chamado centróide simplex...

4  O modelo ajustado possui sete parâmetros e é denominado modelo cúbico especial e possui apenas um termo a mais que modelo quadrático...  Logo para o novo modelo, teremos a equação...

5  No estudo de membranas para fabricação de eletrodos a sensibilidade é funçao de x1, x2 e x3....  Determinar os valores b1, b2, b3, b12, b13, b23 e b123 para ajuste do modelo cúbico especial mostrado abaixo... X1X2X3sinal11003,23,0 20100,50,4 30010,40,3 4½½01,91,22,0 5½0½3,94,44,1 60½½0,30,30,2 71/31/31/33,43,6

6  Ir até Experimental Design (DOE) Selecionar : Misture designs....e clicar OK  Para este experimento temos 3 fatores (x1, x2 e x3)  Para ajustar o modelo cúbico especial precisamos de um ensaio adicional...7 experimentos...  Selecionar na aba Simplex-centroid designs com 3 fatores...

7  Na aba Quick... escolher “standard order”  Na aba “add to design” informar 1 ou 2 replicates...e clicar em “Summary”...

8 Temos inicialmente o planejamento de 7 ensaios em duplicata... Como são 17 ensaios (2 x 7 =14...+ 3 pontos de misturas 50:50...

9  Copiar o planejamento para a planilha e adicionar os 3 ensaios que faltam...em uma planilha com 17 cases !!!

10 Informamos os dados experimentais...

11 Voltar para “Analyse design”...

12 Selecionar...variáveis (dep. e indep.)...2xOK...

13 Temos um resumo do nosso experimento e as possibilidades de análise...

14 Na aba Model... Selecionar selecionar “Special cubic”...e pode-se inicial a análise na aba Quick...

15 Ao clicar em “Summary Estimates:...” temos os coeficientes da equação... Equação e desenho (pg. 318, 319...)

16  Modelo com todos os coeficientes... Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 0,35x 3 -0,30x 1 x 2 + 9,63x 1 x 3 - 0,53x 2 x 3 + 33,00 x 1 x 2 x 3  Eliminando os termos com coeficientes não significativos... Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 9,63x 1 x 3 + 33,00 x 1 x 2 x 3

17 Curvas de contorno para Y...

18 Avaliação de modelos... ANOVA...para o modelo com 6 termos.. (pg. 320)  Valor tabelado de F (6,10)0,99 = 5,39  Comparado ao valor calculado F = 119  O modelo é altamente significativo...

19 ANOVA...para o modelo com os termos significativos... Y = 3,10x 1 + 0,45x 2 + 9,63x 1 x 3 + 33 x 1 x 2 x 3  Ajuste do modelo Ftab. < F calc  Valor tabelado de F (4,12)0,99 = 5,41  Comparado ao valor calculado F = 200,9  Falta de ajuste do modelo... Ftab. > F calc  Valor tabelado de F (2,10)0,99 = 7,56  Comparado ao valor calculado F = 0,3  O modelo também é altamente significativo...

20 Pseudocomponentes  Na análise realizada encontrou-se uma composição ótima onde um dos componentes não estava presente na mistura.  Na prática uma mistura requer a presença de todos os componentes e esta situação foi considerada no exemplo analisado.  Os componentes x1,x2 e x3 apresentados no problema anterior, são pseudocomponentes (misturas dos componentes propriamente ditos)

21 Pseudocomponentes  Esta situação pode ser generalizada para uma mistura qualquer, em que as proporções dos componentes puros tenham de obedecer a limites inferiores não- nulos, que é chamado de a i.  Na análise realizada encontrou-se uma composição ótima onde um dos componentes não estava presente na mistura.  Na prática uma mistura requer a presença de todos os componentes e esta situação foi considerada no exemplo analisado.  Os componentes x1,x2 e x3 apresentados no problema anterior, são pseudocomponentes (misturas dos componentes propriamente ditos)

22  Se estabelecem limites inferiores para cada componente e sua soma (a i ) deve ser menor que a unidade.  No exemplo o componente indicado com a composição (1,0,0) corresponde a uma mistura de proporções (0,8; 0,1; 0,1)

23  Exemplo da membrana....  Todos os limites inferiores ai são iguais a 0,1....  i = 1, 2 e 3.....  Substituindo na equação temos uma resposta em função das proporções dos constituintes da mistura...  Y = 0,34 + 3,43 C 1 + 0,97 C 2 - 1,0 C 3 – 9,67 C 1 C 2 + 9,98 C 1 C 3 - 9,67 C 2 C 3 + 93,74 C 1 C 2 C 3 + 9,98 C 1 C 3 - 9,67 C 2 C 3 + 93,74 C 1 C 2 C 3

24 Desenvolvimento de um novo produto (pseudocomponentes)  O açúcar, o amido e o leite em pó são os componentes em maior proporção na formulação de um pudim.  A proporção de amido é um dos fatores que mais influenciam propriedades de textura.  No estudo foram avaliadas cinco respostas: Firmeza, Fraturabilidade, Adesividade, Coesividade, Elasticidade

25 Planejamento das formulações Ordem Amido(x 1 ) Leite (x 2 ) Açúcar (x 3 ) Firmeza 40,1760,00,82442,041,045,0 70,00,01,011,011,010,0 90,00,4120,58810,010,511,0 60,00,8240,1769,09,510,0 20,1760,4120,41234,031,032,5 30,0880,8240,08824,024,526,0 50,0880,00,91228,025,528,5 10,0880,4120,5017,018,520,0 80,1760,8240,0048,049,550,0

26  Coeficientes do modelo  Conclusões :  O modelo cúbico especial é o que melhor se ajusta.  O amido é o componente mais importante.... Termo x1x1x1x1 x2x2x2x2 x3x3x3x3 x 1 x 2 x1x3x1x3x1x3x1x3 x2x3x2x3x2x3x2x3 x1x2x3x1x2x3x1x2x3x1x2x3 Firmeza213,711,38,9-473,1 Elastic.-19,31,92,227,223,6-1,622,4

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28 OTIMIZAÇÃO SIMPLEX  Método que permite otimizar um sistema sem conhecer ou postular, qualquer relação matemática entre a resposta e as variáveis independentes.  Um destes métodos é o simplex sequencial simplex sequencial

29 características  Só podemos fazer um experimento de cada vez.  Característica que o torna interessante para instrumentos de rápida resposta, como sistemas de fluxo.  Só podemos utilizar o método quando avaliamos variáveis quantitativas.  Só podemos avaliar uma resposta de cada vez, dificuldade que pode ser contornada usando como “resposta” uma combinação das respostas.

30  Definição de Simplex  “uma configuração espacial de n dimensões determinada por n+1 pontos num espaço de dimensão igual ou superior que n”

31  Existem vários tipos de otimização simplex:  Simplex básico  Simplex modificado  Simplex supermodificado

32  Diferença: o número total de experimentos é menor comparativamente ao simplex básico.  A eficiência do simplex, em comparação com métodos univariados, cresce com o número de fatores.

33 Simplex básico  Se o número de fatores é dois, temos um triângulo equilátero, com três um tetraedro regular.  Não temos nenhum conhecimento prévio sobre a forma da superfície, pois se tivéssemos, usaríamos outra técnica.  A técnica é deslocar o simplex sobre a superfície de modo a evitar regiões de resposta insatisfatória.  Não há duplicatas nos experimentos.

34 Regras...  Regra 1 - O primeiro simplex é determinado fazendo-se um número de experimentos igual ao número de fatores mais 1.  Regra 2 – o novo simplex é formado rejeitando-se o vértice correspondente a pior resposta  Regra 3 – Quando o vértice refletido tiver a pior das respostas devemos rejeitar o segundo pior vértice.  Regra 4 – se um mesmo vértice tiver sido mantido em P+1 simplexes, antes de construir o próximo simplex, devemos determinar novamente a resposta correspondente a este vértice.  Regra 5 – Se o novo vértice ultrapassar os limites aceitáveis para qualquer uma das variáveis que estão sendo ajustadas, devemos atribuir um valor indesejável a resposta neste vértice.

35 Simplex modificado  Na proposição inicial o simplex é refletido.  No algoritmo modificado o simplex pode alterar seu tamanho e sua forma e consequentemente adaptar-se melhor a superfície de resposta.  Essa estratégia permite uma aproximação mais rápida da região de interesse.

36 Movimentos  Reflexão (simplex básico)  Expansão  Contração  Contração com mudança de direção  (pg 356, livro)  Uso de geometria analítica elementar permite a localização dos vértices a medida que o simplex se movimenta.

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38  Vetores  P = V2 + V3 / 2  Reflexão simples R  R = P + (P – V1)  Expansão simples  S = P + 2 * (P – V1)  Contração C  C = P + ½ * (P – V1)

39  Movimentos de reflexão, expansão e contração.  Exemplo: simplex bidimensional (2 fatores) MovimentoVérticeSimplextConcResp InicialAABC68056 InicialBABC562159 InicialCABC802161 ReflexãoExpansãoDD’BCDBCD’??

40  Modelagem de misturas : propriedades de emulsificação de proteínas  Simplex: produção de carotenóides  desenvolvimento de nanopartículas