INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL

Apresentação em tema: "INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL"— Transcrição da apresentação:

1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 8 – LIMITES E CONTINUIDADE

2 Conteúdo Programático
Noção intuitiva de limite Definição Unicidade do limite 4. Propriedades básicas 5. Limite de uma função 6. Limites laterais 7. Função contínua FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6

3 IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1 . Vamos colorir de azul metade dessa figura.

4 IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Vamos colorir de amarelo metade do que restou de branco. Vamos colorir de vermelho metade do que restou de branco.

5 IDEIA INTUITIVA DE LIMITE
Continuando esse processo podemos notar que a região colorida vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a área vai se aproximando de 1. Dizemos então que o limite dessa soma é igual a 1. Quando dizemos que a área da região colorida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor.

6 Vamos observar o gráfico da função f(x) = x + 2 definida nos reais.
2,3 2,9 2,99 ... 3,01 3,4 3,9 4 f(x) 4,3 4,9 4,99 5,01 5,4 5,9 6

7 Note que à medida que os valores de x se aproximam de 3 (pela esquerda e pela direita), a função f(x) se aproxima de 5. Podemos escrever: Lê-se: o limite de f(x) quando x tende a 3 é igual a 5.

8 DEFINIÇÃO DE LIMITE Seja f(x) uma função e a é um número real. Podemos escrever e dizemos que o limite da função f(x), quando x se aproxima de um determinado número “a”, é o número real L, se, e somente se, os números reais da imagem da função permanecem próximos de L, para os infinitos valores de x próximos de “a”.

9 UNICIDADE DO LIMITE TEOREMA
Se e então L1 = L2 . Ou seja, uma função não pode se aproximar de dois números diferentes quando x se aproxima de a.

10 EXEMPLO

11 EXEMPLO

12 EXEMPLO

13 EXEMPLO Determine o limite da f(x) quando x se aproxima de 1.

14 PROPRIEDADES BÁSICAS Suponha: , e c uma constante.

15 PROPRIEDADES BÁSICAS

16 Limites Laterais Considerando o exemplo dado no início da aula: f(x) = x + 2 O limite da f(x) quando x tende a 3 pela esquerda é igual a 5, e indicamos por:

17 Limites Laterais O limite da f(x) quando x tende a 3 pela direita é igual a 5, e indicamos por: Os limites à esquerda e à direita são chamados de limites laterais.

18 DEFINIÇÃO DE LIMITES LATERAIS
Limite lateral à direita Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c). Então, o limite de f(x) em a pela direita é o número L, e escrevemos:

19 LIMITES LATERAIS Limite lateral à esquerda
Seja f(x) uma função definida num intervalo aberto (a,c). Então, o limite de f(x) em a pela esquerda é o número L, e escrevemos:

20 LIMITES LATERAIS TEOREMA O limite existe e é igual ao número L se, e
somente se, os limites laterais de f(x) em a existirem e forem iguais a L. Isto é: =

21 EXEMPLO Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.

22 EXEMPLO Calcule, caso exista, o limite da função dada no número p dado.

23 CONTINUIDADE Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas: Existe Existe f(a) f(a) = Função contínua em um ponto: o ponto deve pertencer ao domínio da função

24 EXEMPLO A função f(x) = 3x + 2 definida nos reais é contínua, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 5 e a f(1) = 5.

25 EXEMPLO A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função quando x se aproxima de 1 é igual a 3 e a f(1) = 7.

26 EXEMPLO A função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois o limite da função não existe.

27 EXEMPLO Não podemos afirmar que a função f(x) definida em R não é contínua em 1, pois x = 1 não pertence ao domínio da função.

28 EXEMPLO Determine se a função é contínua

29 EXEMPLO Determine os Limites Laterais e verifique se a função f é contínua 3 7 2

30 EXEMPLO A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. G é uma função contínua de r? Justifique sua resposta.

31 RESOLUÇÃO

32 RESUMINDO Definição Teorema da Unicidade do limite
Propriedades básicas Limite de uma função Limites laterais Função contínua

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