Méricles T. Moretti MTM/UFSC

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1 Méricles T. Moretti MTM/UFSC
Números relativos: regra dos sinais para a multiplicação Méricles T. Moretti MTM/UFSC

2 Méricles T. Moretti MTM/UFSC
Números relativos: regra dos sinais para a multiplicação Méricles T. Moretti MTM/UFSC Um pouco de história e epistemologia - Os chineses usavam sem problemas os números negativos. Diofanto (III século d. C.) (a – b)(c – d) = ac – ad - bc + bd

3 Cria o primeiro termômetro na Inglaterra.
Um pouco de história Fahrenheit (século XVIII) Cria o primeiro termômetro na Inglaterra.

4 Fahrenheit (século XVIII) Cria o primeiro termômetro na Inglaterra.
Um pouco de história Fahrenheit (século XVIII) Cria o primeiro termômetro na Inglaterra. Escala bizarra: desejo de evitar os negativos.

5 Fahrenheit (século XVIII) Cria o primeiro termômetro na Inglaterra.
Um pouco de história Fahrenheit (século XVIII) Cria o primeiro termômetro na Inglaterra. Escala bizarra: desejo de evitar os negativos. Euler ( ) Não compreende a regra dos sinais para a multiplicação...

6 Resolução de equações algébricas
Em consequência da regra dos sinais, um número negativo não tem para raiz quadrada nenhum número real. - Para tornar possíveis todas as operações sobre números reais, surgem os números complexos.

7 Resolução de equações algébricas
Problema Dividir um segmento de 10cm de comprimento em duas partes de tal modo que o produto dos comprimentos dessas partes dê 40cm2.

8 Resolução de equações algébricas
Problema Dividir um segmento de 10cm de comprimento em duas partes de tal modo que o produto dos comprimentos dessas partes dê 40cm2.

9 Resolução de equações algébricas
O problema não tem solução prática real : De fato, não é possível dividir um segmento de 10cm e obter com o produtos deles o valor de 40cm2 .

10 Resolução de equações algébricas
O problema não tem solução prática real : De fato, não é possível dividir um segmento de 10cm e obter com o produtos deles o valor de 40cm2 . O algebrista podia dormir sossegado porque essa interpretação estava de acordo com a realidade e as necessidades da prática.

11 Resolução de equações algébricas
Cardano no século XVI :

12 Resolução de equações algébricas
Cardano no século XVI :

13 Resolução de equações algébricas

14 Será que os algebristas vão dormir em paz ?
Resolução de equações algébricas x = 4 é solução E Agora? Será que os algebristas vão dormir em paz ?

15 Resolução de equações algébricas
Cardano no século XVI : Este grande embaraço é que leva os matemáticos a uma forma de tratar estes números que mais tarde serão chamados de imaginários.

16 Resposta à questão da Regra dos sinais:
Teorema de Hankel (1867 ): a única multiplicação em  que prolonga a multiplicação usual sobre +, respeitando as distributividades à esquerda e à direita é aquela que obedece a regra usual dos sinais. Usual + × + = + + × – = – – × + = – – × – = +

17 Resposta à questão da Regra dos sinais:
Teorema de Hankel (1867 ): a única multiplicação em  que prolonga a multiplicação usual sobre +, respeitando as distributividades à esquerda e à direita é aquela que obedece a regra usual dos sinais. Usual + × + = + + × – = – – × + = – – × – = + A resposta é matemática, mas não é didática.

18 –3 × 1 = –3; –3 × 0 = 0; –3 × –1 = +3; –3 × –2 = +6
Como aparecem os números negativos nos PCNs - Conferir significado às quantidades negativas; - Reconhecer a existência de números nos dois sentidos a partir do zero; - Apresentam ainda a regra dos sinais por meio de uma tabela a ser completada sugerindo regularidades das seqüências construídas observando um padrão numérico (acrescentar 3 ou retirar 3): –3 × 1 = –3; –3 × 0 = 0; –3 × –1 = +3; –3 × –2 = +6

19 Modelos de explicação da regra dos sinais
- Modelo de Diofanto (a – b)(c – d) = ac – ad - bc + bd

20 Modelos de explicação da regra dos sinais
- Modelo de Diofanto (a – b)(c – d) = ac – ad - bc + bd Caraça (1951)

21 Modelos de explicação da regra dos sinais
- Modelo de Diofanto (a – b)(c – d) = ac – ad - bc + bd Pires, Curi e Pietropaolo (2002) – 6ª série (7 – 2) × (5 – 1) = 20 (+35) + (-7) + (-10) + (∆) = 20 (+18) + (∆) = 20 ∆ = +2 = –2 × –1

22 Modelos de explicação da regra dos sinais
- Modelo do lucro e prejuízo Este é um modelo que associa o sinal “+” ao lucro e ao sinal “–” ao prejuízo Alguém que perdeu R$ 8,00 e um dia e no dia seguinte também perdeu R$ 8,00, perde ao todo R$ 16,00 : –8 + –8 = –16 ou 2 × –8 = –16 Para explicar o caso, por exemplo, – × – = +, utiliza a idéia de tempo, associando ao sinal “–” o passado e ao sinal “+” o presente.

23 Modelos de explicação da regra dos sinais
- Modelo do lucro e prejuízo Bongiovanni, Leite e Laureano (1996, p.38) – 6a Quanto vale (-3) . (-2)? Um comerciante contabiliza os seus lucros da seguinte maneira: - um sinal positivo para as quantidades que representam um lucro e um sinal negativo para as que representam um prejuízo; um sinal positivo para representar o tempo futuro e sinal negativo para representar o tempo passado. Se esse comerciante perde R$3,00 por dia, veja como ele calcula quantos reais vai ter perdido daqui a dois dias (futuro): (-3) . 2 = -6. Daqui a dois dias vai ter perdido R$ 6,00. Se esse comerciante perde R$ 3,00 por dia, veja como ele calcula quantos reais a mais tinha dois dias antes (passado): (-3) . (-2) = 6. Dois dias antes este comerciante estava R$ 6,00 mais rico.

24 Modelos de explicação da regra dos sinais
- Modelo do lucro e prejuízo Guelli (2001, p. 26) – 6ª Imagine uma caixa-d´água, com capacidade de 720L, inicialmente vazia, sendo cheia com uma mangueira que despeja 20L de água por minuto na caixa. - Após 36 min, +36, a caixa estará cheia: (+20)(+36) = 720 - Há 18 min, -18, faltavam 360L para encher a caixa: (+20)(-18) = +360 Imagine esta mesma caixa-d´água, agora cheia, sendo utilizada para irrigar os campos. Seis litros por minuto estão saindo da caixa: -6. - após 36 min, +36, a caixa terá 216L a menos: (-6)(+36) = -216. - Há 18 min, -18, havia 108L a mais na caixa: (-6)(-18) = +108.

25 –1 × 2 = –2, –1 × 1 = –1, –1 × 0 = 0, –1 × –1 = +1, –1 × –2 = +2
Modelos de explicação da regra dos sinais - Modelo do prolongamento dos naturais –1 × 2 = –2, –1 × 1 = –1, –1 × 0 = 0, –1 × –1 = +1, –1 × –2 = +2

26 –1 × 2 = –2, –1 × 1 = –1, –1 × 0 = 0, –1 × –1 = +1, –1 × –2 = +2
Modelos de explicação da regra dos sinais - Modelo do prolongamento dos naturais –1 × 2 = –2, –1 × 1 = –1, –1 × 0 = 0, –1 × –1 = +1, –1 × –2 = +2 Jakubovic, Lellis, Centurión (1999, p. 40) – 6ª série

27 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
Usual Regra 2 Regra 3 + × + = + + × – = – + × – = + – × + = – – × – = + – × – = – –1 x (–3 + 2) –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = 1 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = 3 – 2 = 1

28 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
Usual Regra 2 Regra 3 + × + = + + × – = – + × – = + – × + = – – × – = + – × – = – –1 x (–3 + 2) –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = 1 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = 3 – 2 = 1 –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = 1 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = 3 – 2 = 1

29 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
Usual Regra 2 Regra 3 + × + = + + × – = – + × – = + – × + = – – × – = + – × – = – –1 x (–3 + 2) –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = 1 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = 3 – 2 = 1 –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = 1 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = 3 – 2 = 1 –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = –1 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = –3 – 2 = –5

30 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
Usual Regra 2 Regra 3 + × + = + + × – = – + × – = + – × + = – – × – = + – × – = – –1 x (–3 + 2) –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = 1 Usual –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = 3 – 2 = 1 Regra 2 –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = 1 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = 3 – 2 = 1 –1 x (–3 + 2) = –1 x –1 = –1 Regra 3 –1 x (–3 + 2) = (–1 x –3) + (–1 x 2) = –3 – 2 = –5

31 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
Usual Regra 2 Regra 3 + × + = + + × – = – + × – = + – × + = – – × – = + – × – = – (–3 + 2) x –1 (–3 + 2) x –1 = –1 x –1 = 1 (–3 + 2) x –1 = (–3 x –1) + (2 x –1) = 3 – 2 = 1 (–3 + 2) x –1 = –1 x –1 = 1 (–3 + 2) x –1 = (–3 x –1) + (2 x –1) = = 5

32 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
Usual Regra 2 Regra 3 + × + = + + × – = – + × – = + – × + = – – × – = + – × – = – (–3 + 2) x –1 (–3 + 2) x –1 = –1 x –1 = 1 Usual (–3 + 2) x –1 = (–3 x –1) + (2 x –1) = 3 – 2 = 1 Regra 2 (–3 + 2) x –1 = –1 x –1 = 1 (–3 + 2) x –1 = (–3 x –1) + (2 x –1) = = 5

33 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
As Regra 2 e Regra 3 não preservam as distributividades à direita e à esquerda. Dentre as várias tabelas de multiplicação possíveis devemos escolher somente uma delas. Qual delas?

34 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
As Regra 2 e Regra 3 não preservam as distributividades à direita e à esquerda. Dentre as várias tabelas de multiplicação possíveis devemos escolher somente uma delas. Qual delas? A usual porque preserva a distributividade à direita e à esquerda: Garantia do T. Hankel.

35 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
O papel das convenções na matemática Por exemplo: Hierarquia nas operações básicas 2 + 3 x 4 = 14 e não 20 (2 + 3) x 4 = 20

36 Reflexões de um ensino da regra dos sinais
O papel das convenções na matemática Por exemplo: Hierarquia nas operações básicas 2 + 3 x 4 = 14 e não 20 (2 + 3) x 4 = 20 Fora da matemática Por exemplo: as convenções e leis que disciplinam o trânsito nas ruas.

37 Escolha do tema - Números relativos: regra dos sinais para a multipl.

38 - Números relativos: regra dos sinais para a multipl.
Escolha do tema - Números relativos: regra dos sinais para a multipl. Análise histórica e epistemológica do tema: Como surgiu; como era utilizado; como evolui; como utilizamos hoje; dificuldades conceituais, etc...

39 - Números relativos: regra dos sinais para a multipl.
Escolha do tema - Números relativos: regra dos sinais para a multipl. Análise histórica e epistemológica do tema: Como surgiu; como era utilizado; como evolui; como utilizamos hoje; dificuldades conceituais, etc... Análise curricular - Como ensinamos; em que ano é ensinado; mudou ao longo do tempo; recomendações curriculares; como articular; relevância; etc.

40 Análise didática quais dificuldades; opções didáticas e metodológicas; escolha da série; recursos didáticos; etc...

41 Demonstração 0 = a . 0 = a.(b + op b) = a.b + a . op b
0 = 0 . op b = (op a + a).op b = op a . op b + a . op b

42 Demonstração 0 = a . 0 = a.(b + op b) = a.b + a . op b
0 = 0 . op b = (op a + a).op b = op a . op b + a . op b

43 Demonstração 0 = a . 0 = a.(b + op b) = a.b + a . op b
0 = 0 . op b = (op a + a).op b = op a . op b + a . op b Portanto: op a . op b = a.b